Laplace.ss

TRANSFORMADA DE LAPLACE
Quispe Auccatinco, Nilson
17160059
Salazar Barrón Cristofer
17160225
Arango Moccho Samuel
Rupay Andamayo Rubí
17160061
Limay Culqui Danny
17160073
Esquivel Ramos John
E.A.P. Ingeniería de minas
DEFINICIÓN

La transformada de Laplace es un operador LINEAL muy ´útil para la
resolución de ecuaciones diferenciales.

La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los
problemas simples donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente.
Sea f(t) definida en [0,∞)
L[f(t) ] =
∞
0
e𝑡𝑥 f(x)d𝑥 = F(t)
PROPIEDADES DE LA T.L
1) Producto por una constante
L[a.f(t) ] = a.L[f(t) ]
L[7.sin(8t)] = 7[L.sin(8t)]
8
L[7.sin(8t)] = 7 [ 𝑡 2 +64 ]
2) Linealidad f(t),g(t) …… a, b = ctes
L [a.f(t) ± b.f(t) ] = L [a.f(t) ] ± L [ b.f(t) ]
L [a.f(t) ] ± L [ b.f(t) ]= a.L [f(t) ] ± b L[ f(t) ]
3) Propiedad de traslación
L[𝑒 𝑎𝑡 f(t) ] = F(t-a)
F (t)= L[f(t) ]
4) Propiedad de la derivada
L[𝑡 𝑛 f(t) ] = (−1)𝑛 . F 𝑛𝑖 (t)
F (t)= L[f(t) ]
Resolver la EDO :
𝒚′′ + 𝟐𝒚′ + 𝒚 = 𝟎 𝒄𝒐𝒏 𝒚 𝟎 = 𝒚𝟎 𝒆 𝒚′ 𝟎 = 𝒚′𝟎
Al igual que el problema anterior:
𝑨
ƪ[y]= 𝒕+𝟏 +
𝑩
(𝒕+𝟏)𝟐
Como antes tenemos ƪ[𝑒 𝑥 ]= 1/(t+1) y nos hace falta encontrar la F cuya
transformada
Sea ƪ[f]= 1/(𝒕 + 𝟏)𝟐 . Para hallar esta transformada haremos uso de una de las
propiedades previamente mencionadas y la transformada ƪ[f]= 1/𝑡 2 , tenemos
que:
ƪ[𝑥𝑒 𝑎𝑥 ]= 1/(𝑡 − 𝑎)2 por tanto escogiendo a=-1 tenemos
ƪ[𝒙𝒆𝒂𝒙 ]= 1/ 1/(𝒕 + 𝟏)𝟐
Y por tanto :
ƪ[y]=
𝑨
𝒕+𝟏
+
𝑩
(𝒕+𝟏)𝟐
= A ƪ[𝒆−𝒙 ] + B ƪ[𝒙𝒆−𝒙]= ƪ[𝑨𝒆−𝒙 + B𝒙𝒆−𝒙 ]  y(x)= 𝑨𝒆−𝒙 + B𝒙𝒆−𝒙
EJERCICIO 1:
Encontrar la anti-transformada de :
[t/(t+a)2+b2]
EJERCICIO 2:
Encontrar la anti-transformada de :
EJERCICIO 3:
Resolver EDO de :
𝒚′′ + 𝟑𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝟎 𝒄𝒐𝒏 𝒚 𝟎 = 𝒚𝟎 𝒆 𝒚′ 𝟎 = 𝒚′𝟎
EJERCICIO 4