UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PUEBLA Alumnos: García Bonilla Ángel Brayan Ramiro Sánchez Jorge Vázquez Vázquez Eduardo Julián Miranda González Fernando Pérez Ávila Uziel Docente: Saldaña González Sara Materia: Matemáticas para la ingeniería II Carrera: Mecatrónica Grado y grupo 8° F Turno: Vespertino INTRODUCCION Métodos numéricos se define como un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos como operaciones aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo preposicional, etc. El procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas conocida como algoritmo, que producen o bien una aproximación de la solución del problema o bien un mensaje. La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación depende, en parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo. El algoritmo es un procedimiento que describe, sin ambigüedades, una serie finita de pasos a realizar en un orden especifico. El objetivo del algoritmo es poner en práctica un procedimiento para resolver un problema o aproximarse a una solución. ¿Qué es la transformada de Laplace? La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada. OBJETIVO El alumno resolverá ecuaciones diferenciales a través de métodos analíticos, transformadas de Laplace y métodos numéricos para contribuir a la solución de problemas en ingeniería. Variables separadas 1) 𝑦 𝑥 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 2 3+𝑦 2 + 𝑥2 𝑢1 = 3 + 𝑦 2 𝑑𝑢1 = 2𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑢1 𝑑𝑦 = 2𝑦 𝑢2 = 2 + 𝑥 2 𝑑𝑢2 = 2𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑢2 𝑑𝑥 = 2𝑥 ∫ 𝑦 𝑑𝑢1 𝑥 𝑑𝑢2 ∗ =∫ ∗ 𝑢1 2𝑦 𝑢2 2𝑥 1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢2 ∫ = ∫ 2 𝑢1 2 𝑢2 1 1 𝐼𝑛|𝑢1| + 𝑐 = 𝐼𝑛|𝑢2| + 𝑐 2 2 1 1 𝐼𝑛|2𝑦 2 | + 𝑐 = 𝐼𝑛|2𝑥 2 | + 𝑐 2 2 2)𝑥 3 𝑑𝑥 + √𝑦𝑑𝑦 = 0 1 ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 + ∫ 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0 2 3) 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑑𝑥 + 5 𝑒 3𝑦+2 𝑑𝑦 = 0 4 𝑢1 = 3𝑥 𝑑𝑢1 = 3𝑑𝑥 𝑑𝑢1 𝑑𝑦 = 3 𝑢2 = 3𝑦 + 2 𝑑𝑢2 = 3𝑑𝑦 𝑑𝑢2 𝑑𝑥 = 3 𝑥 4 2𝑦 3/2 + +𝑐 = 0 4 3 2 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 ∫ + 5∫ 4 3 3 1 5 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 + ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 6 3 cos 𝑢 5 𝑢 cos 3𝑥 5 3𝑦+2 + 𝑒 +𝑐 = + 𝑒 +𝑐 =0 6 3 6 3 Variables separables 1)𝑒 𝑥 (𝑡𝑔(𝑦))𝑑𝑥 + (1 − 𝑒 𝑥 )𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦)𝑑𝑦 = 0 𝑒 𝑥 (𝑡𝑔(𝑦))𝑑𝑥 (𝑡𝑔(𝑦))(1 − 𝑒 𝑥 ) + (1 − 𝑒 𝑥 ) 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦) 𝑑𝑦 (𝑡𝑔(𝑦))(1 − 𝑒 𝑥 ) 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦) 𝑑𝑦 + (1 − 𝑒 𝑥 ) (𝑡𝑔(𝑦)) ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 1 = ∫ ∗ = ∫ − = 𝐼𝑛 |𝑢| = −𝐼𝑛|1 − 𝑒 𝑥 | + 𝑐 𝑥 𝑥 1−𝑒 𝑢 𝑒 𝑢 𝑢 = 1 − 𝑒𝑥 𝑑𝑢 = −𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒 𝑥 𝑑𝑢 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦) 𝑑𝑦 (𝑡𝑔(𝑦)) 𝑢 = 𝑡𝑔 (𝑦) 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦) 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦)𝑑𝑦 1 1 = ∫ ∗ = ∫ = 𝐼𝑛 |𝑢| + 𝑐 = 𝐼𝑛|𝑡𝑔(𝑦)| + 𝐶 𝑢 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦) 𝑢 −𝐼𝑛|1 − 𝑒 𝑥 |(𝐼𝑛|𝑡𝑔 (𝑦)| + 𝑐 2) (1 + 𝑥)𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 0 (1 + 𝑥)(1)𝑑𝑥 (1)(1)𝑑𝑦 + (𝑦)(1) (𝑦)(1) (1 + 𝑥)𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑦 ∫(1 + 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 1𝑑𝑥 + ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 + ∫ 𝑥² +𝑐 2 𝑑𝑦 = 𝐼𝑛|𝑦| + 𝑐 𝑦 𝑥+ 𝑥² − 𝐼𝑛|𝑦| + 𝑐 2 3) 2𝑦 −2 𝑑𝑥 + (1 − 𝑥)𝑑𝑦 1(2𝑦 −2 )𝑑𝑥 (1 − 𝑥) 1 𝑑𝑦 + (1)(2𝑦 −2 ) (1)(2𝑦 −2 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + (1 − 𝑥) (2𝑦 −2 ) ∫ 1 1 1 1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑢 = ∫ ∗ (−1) = ∫ − = −𝐼𝑛|1 − 𝑥| + 𝑐 1−𝑥 𝑢 𝑢 𝑢 𝑢 =1−𝑥 𝑑𝑢 = −1 ∫ 1 1 1 1 1 𝑦3 𝑦3 2 𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑦 𝑑𝑦 = ∗ = 2𝑦 −2 2 𝑦 −2 2 2 3 6 𝑦3 −𝐼𝑛|1 − 𝑥| ( ) + 𝑐 6 Homogéneas 1)𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑦 2 𝑑𝑦 = 2𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 − 2𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0 −𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0 − ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0 𝑥3 𝑦3 + +𝑐 =0 3 3 −𝑥 2 𝑑𝑥 + (𝑢𝑥)2 (𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) −𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑢2 𝑥 2 (𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) −𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑢3 𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑢2 𝑥 3 𝑑𝑢 = 0 𝑥 2 𝑑𝑥 + (−1 + 𝑢3 ) + 𝑢2 𝑥 3 𝑑𝑢 = 0 𝑥 2 𝑑𝑥 + (−1 + 𝑢3 ) = −𝑢2 𝑥 3 𝑑𝑢 𝑥2 −𝑢2 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑥3 −1 + 𝑢3 𝑑𝑥 𝑢2 ∫ = −∫ 3 𝑑𝑢 𝑥 𝑢 −1 1 𝐼𝑛|𝑥| + log(𝑢3 − 1) + 𝑐 = 0 3 − 2. (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0 (𝑥 − 𝑢𝑥)𝑑𝑥 − 𝑥(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) 𝑥(1 − 𝑢)𝑑𝑥 + 𝑥𝑢𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑑𝑢 = 0 𝑥𝑑𝑥[(1 − 𝑢) + 𝑢] + 𝑥 2 𝑑𝑢 = 0 𝑥𝑑𝑥(1) + 𝑥 2 𝑑𝑢 = 0 𝑥𝑑𝑑 = −𝑥 2 𝑑𝑢 𝑥 − 2 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑥 𝑑𝑥 −∫ = ∫ 𝑑𝑢 𝑥 −𝐼𝑛|𝑥| + 𝑐 = 𝑢 𝑢 + 𝐼𝑛|𝑥| + 𝑐 = 0 3. 𝑥𝑑𝑥 + (𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑦 = 0 𝑥𝑑𝑥 + (𝑢𝑥 − 2𝑥)(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0 𝑥𝑑𝑥 + 𝑢2 𝑥𝑑𝑥 + 𝑢𝑥 2 𝑑𝑢 − 2𝑥𝑢𝑑𝑥 − 2𝑥 2 𝑑𝑢 = 0 𝑥𝑑𝑥(1 + 𝑢2 − 2𝑢) + 𝑥 2 𝑑𝑢(𝑢 − 2) = 0 𝑥𝑑𝑥 (𝑢 − 2) = −𝑑𝑢 2 𝑥 (𝑢 − 1)2 (𝑢 − 2) 𝑑𝑥 ∫ = −∫ 𝑑𝑢 (𝑢 − 1)2 𝑥 1 𝐼𝑛|𝑥| − + 𝐼𝑛|1 − 𝑢| + 𝑐 1−𝑢 Octavo Cuatrimestre de Ingeniaría en Mecatrónica Grupo “F” Asignatura: Matemáticas para ingeniería II Profesora: González Saldaña Sara Alumnos: Pérez Ávila Uziel Ramiro Sánchez Jorge Miranda González Fernando Garcia Bonilla Angel Brayan Vázquez Vázquez Eduardo Julián Contenido ¿Qué es la transformada de Laplace? ...............................................3 Definición de la Transformada Inversa .............................................4 Ejemplo de la transformada de Laplace ............................................4 Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor ...................................4 Función de transferencia ...............................................................6 ¿Qué es la transformada de Laplace? La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada. Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada. Sea f una función definida para define como , la transformada de Laplace de f(t) se cuando tal integral converge Notas 1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se considera constante 2. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una función en la variable s 3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función: De orden exponencial Continúa a trozos Definición de la Transformada Inversa La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir si es que acaso Esta definición obliga a que se cumpla: y Ejemplo de la transformada de Laplace Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor Se tiene un intercambiador de calor 1-1, de tubos y coraza. En condiciones estables, este intercambiador calienta 224 gal/min de agua de 80°F a 185°F por dentro de tubos mediante un vapor saturado a 150 psia. En un instante dado, la temperatura del vapor y el flujo de agua cambian, produciéndose una perturbación en el intercambiador. : a) Obtenga la función de transferencia del cambio de la temperatura de salida del agua con respecto a un cambio en la temperatura del vapor y un cambio en el flujo de agua, suponiendo que la temperatura de entrada del agua al intercambiador se mantiene constante en 80°F. b) Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua. c) Grafique la variación de la temperatura de salida del agua con respecto al tiempo. Ecuación diferencial que modela el intercambiador de calor Donde: Ud0: Coeficiente global de transferencia de calor referido al diámetro exterior (BTU/h °F ft2) ATC0: Área de transferencia de calor referida al diámetro exterior (ft2) Cp : Capacidad calorífica (BTU/lb °F) tv : Temperatura del vapor (°F) te : Temperatura del agua a la entrada (°F) ts : Temperatura del agua a la salida (°F) (te+ ts) / 2 :Temperatura del agua dentro de tubos (°F) tref : Temperatura de referencia (°F) w : Flujo de agua (lb/h) m : Cantidad de agua dentro de tubos (lb) tv, ts, tw: Valores en condiciones estables Tv , Ts , W Variables de desviación Datos físicos Largo del intercambiador = 9 ft Diámetro de coraza = 17 ¼’’ Flujo = 224 gal/min Temperatura de entrada =80°F Temperatura de salida = 185°F Presión de vapor =150psia. Número de tubos= 112 Diámetro exterior de tubo = ¾ ’’ de diámetro y BWG 16, disposición cuadrada a 90°, con un claro entre tubos de 0.63’’. Conductividad térmica de los tubos = 26 BTU/hft°F, Factor de obstrucción interno = 0.0012 hft2°F/BTU; externo = 0.001 hft2°F/BTU Coeficiente global de transferencia de calor = 650 BTU/hft2°F Al calcular las constantes: Función de transferencia Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua. La respuesta del proceso en el tiempo Transformada inversa de Laplace UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PUEBLA Alumnos: García Bonilla Ángel Brayan Ramiro Sánchez Jorge Vázquez Vázquez Eduardo Julián Miranda González Fernando Pérez Ávila Uziel Docente: Saldaña González Sara Materia: Matemáticas para la ingeniería II Carrera: Mecatrónica Grado y grupo 8° F Turno: Vespertino Métodos numéricos se define como un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos como operaciones aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo preposicional, etc. El procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas conocida como algoritmo, que producen o bien una aproximación de la solución del problema o bien un mensaje. La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación depende, en parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo. El algoritmo es un procedimiento que describe, sin ambigüedades, una serie finita de pasos a realizar en un orden especifico. El objetivo del algoritmo es poner en práctica un procedimiento para resolver un problema o aproximarse a una solución. Cifras significativas. Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos. 1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar qué tan precisos son los resultados obtenidos. 2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras. Exactitud y Precisión. La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros. La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería. Error. En general, para cualquier tipo de error, la relación entre el número exact9 y el obtenido por aproximación se define como: Error = Valor real -valor estimado En ocasiones, se sabrá exactamente el valor del error, que denotaremos como Ev, o deberemos estimar un error aproximado. Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en el cálculo el error detectado, podemos normalizar su valor. Ea = Error relativo (fracción) = error estimado I valor verdadero Como el valor de Ea puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos interesa saber más la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor absoluto de este. Aplicación de los métodos numéricos en la ingeniería Calcule las tensiones de nodo en el circuito que se muestra en la figura a. En el nodo 1, la aplicación de la LCK y de la ley de Ohm produce. 𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3 5= 𝑉1 − 𝑉2 𝑉1 + 4 2 Multiplicando por 4 3𝑉1 − 𝑉2 = 20 En el nodo 2 se hace lo mismo 𝑖2 + 𝑖4 = 𝑖1 + 𝑖5 𝑉1 − 𝑉2 𝑉2 + 10 = 5 + 4 6 Multiplicando por 12, y haciendo la suma algebraica se obtiene. −3𝑉1 + 5𝑉2 = 60 Acomodando las dos ecuaciones en forma matricial Haciendo uso de los metodos numericos podemos resolver esta matriz por el metodo de Gauss Jordan. Podemos colocar la matriz, como una matriz aumentada.Quedando de la siguiente manera. Resolviendo. Sumamos el primer reglon al segundo. [ 3 −1 20 ] −3 5 60 𝑟2 = 𝑟1 + 𝑟2 3 [ 0 −1 20 ] 4 80 Multiplicamos por 1/3 el primer reglón. 1 𝑟1 = ( )𝑟1 3 1 20 3 3] 4 80 1 [ 0 − 1 [ 0 − Multiplicamos el segundo reglón por ¼ 1 𝑟2 = ( )𝑟2 4 1 20 3 3] 1 20 Por ultimo para eliminar el -1/3 del primer reglón, multiplicamos el primer reglón por 1/3 y se lo sumamos al primer reglón. 1 𝑟1 = ( ) 𝑟2 + 𝑟1 3 1 [ 0 0 13.333 ] 1 20 De lo cual obtenemos que el Valor de los voltajes en los nodos son: 𝑉1 = 13.333 𝑉 𝑦 𝑉2 = 20 𝑉 Otra manera de resolver la matriz es con la regla de Cramer. Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes. Para obtener el Valor de una incognita, se cambia la columna de la incognita con la matriz columna de resultados. ERROR Y EXACTITUD, APLICACIÓN EN LA INGENIERIA Cuatro observadores efectuaron un conjunto de mediciones independientes de voltaje, que se registraron como 117.02 v, 117.11 v, 117.08 v y 117.08 v. Calcúlese a) el voltaje promedio b)rano del error Solucion Primeramente, lo primero que observamos es que todas las mediciones son cercanas entre si, por lo cual decimos que son precisas. a) 𝐸𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑 = 𝐸1 +𝐸2 +𝐸3 +𝐸4 𝑁 = 117.02+117.11+117.08+117.03 4 = 117.06 b) 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝐸𝑚𝑎𝑥 − 𝐸𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑 = 117.11 − 117.06 = 0.05 𝑉 Pero también 𝐸𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑 − 𝐸𝑚𝑖𝑛 = 117.06 − 117.02 = 0.04 El rango de promedio del error equivale a 0.05 + 0.04 = ±0.05 𝑉 2 CONCLUSION Las Ecuaciones diferenciales son de importancia ya que para realizar actividades en el campo profesional se implementan mucho desde la variación del tiempo en una determinada máquina que está trabajando a un determinada velocidad hasta la captura del voltaje que tanto se eleva y que temperatura debe de tener para que no ocurran cosas desagradables eso es por qué realizar cálculos hace tener una idea del porcentaje de éxito que se tendrá así como el margen de error que se puede obtener
