Ecuaciones Diferenciales: Métodos Analíticos y Transformada de Laplace

UNIVERSIDAD
TECNOLOGICA DE
PUEBLA
Alumnos:
García Bonilla Ángel Brayan
Ramiro Sánchez Jorge
Vázquez Vázquez Eduardo Julián
Miranda González Fernando
Pérez Ávila Uziel
Docente: Saldaña González Sara
Materia: Matemáticas para la ingeniería II
Carrera: Mecatrónica
Grado y grupo 8° F
Turno: Vespertino
INTRODUCCION
Métodos numéricos se define como un procedimiento mediante el cual se obtiene,
casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando
cálculos puramente aritméticos y lógicos como operaciones aritméticas
elementales, cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo
preposicional, etc. El procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones
precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas
conocida como algoritmo, que producen o bien una aproximación de la solución del
problema o bien un mensaje. La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación
depende, en parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de las
características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo.
El algoritmo es un procedimiento que describe, sin ambigüedades, una serie finita
de pasos a realizar en un orden especifico. El objetivo del algoritmo es poner en
práctica un procedimiento para resolver un problema o aproximarse a una solución.
¿Qué es la transformada de Laplace?
La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de
ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada
de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están
definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable
de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser
usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales.
Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general
se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el
conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a
relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una
función seccionada.
OBJETIVO
El alumno resolverá ecuaciones diferenciales a través de métodos analíticos,
transformadas de Laplace y métodos numéricos para contribuir a la solución de
problemas en ingeniería.
Variables separadas
1)
𝑦
𝑥
𝑑𝑦 =
𝑑𝑥
2
3+𝑦
2 + 𝑥2
𝑢1 = 3 + 𝑦 2
𝑑𝑢1 = 2𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑢1
𝑑𝑦 =
2𝑦
𝑢2 = 2 + 𝑥 2
𝑑𝑢2 = 2𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑢2
𝑑𝑥 =
2𝑥
∫
𝑦 𝑑𝑢1
𝑥 𝑑𝑢2
∗
=∫
∗
𝑢1 2𝑦
𝑢2 2𝑥
1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢2
∫
= ∫
2 𝑢1 2 𝑢2
1
1
𝐼𝑛|𝑢1| + 𝑐 = 𝐼𝑛|𝑢2| + 𝑐
2
2
1
1
𝐼𝑛|2𝑦 2 | + 𝑐 = 𝐼𝑛|2𝑥 2 | + 𝑐
2
2
2)𝑥 3 𝑑𝑥 + √𝑦𝑑𝑦 = 0
1
∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 + ∫ 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0
2
3) 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑑𝑥 + 5 𝑒 3𝑦+2 𝑑𝑦 = 0
4
𝑢1 = 3𝑥
𝑑𝑢1 = 3𝑑𝑥
𝑑𝑢1
𝑑𝑦 =
3
𝑢2 = 3𝑦 + 2
𝑑𝑢2 = 3𝑑𝑦
𝑑𝑢2
𝑑𝑥 =
3
𝑥 4 2𝑦 3/2
+
+𝑐 = 0
4
3
2 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢
𝑒 𝑢 𝑑𝑢
∫
+ 5∫
4
3
3
1
5
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 + ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢
6
3
cos 𝑢 5 𝑢
cos 3𝑥 5 3𝑦+2
+ 𝑒 +𝑐 =
+ 𝑒
+𝑐 =0
6
3
6
3
Variables separables
1)𝑒 𝑥 (𝑡𝑔(𝑦))𝑑𝑥 + (1 − 𝑒 𝑥 )𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦)𝑑𝑦 = 0
𝑒 𝑥 (𝑡𝑔(𝑦))𝑑𝑥
(𝑡𝑔(𝑦))(1 − 𝑒 𝑥 )
+
(1 − 𝑒 𝑥 ) 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦) 𝑑𝑦
(𝑡𝑔(𝑦))(1 − 𝑒 𝑥 )
𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦) 𝑑𝑦
+
(1 − 𝑒 𝑥 )
(𝑡𝑔(𝑦))
∫
𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑒 𝑥 𝑑𝑥
1 𝑑𝑢
1
=
∫
∗
= ∫ − = 𝐼𝑛 |𝑢| = −𝐼𝑛|1 − 𝑒 𝑥 | + 𝑐
𝑥
𝑥
1−𝑒
𝑢
𝑒
𝑢
𝑢 = 1 − 𝑒𝑥
𝑑𝑢 = −𝑒 𝑥
𝑑𝑥
= −𝑒 𝑥
𝑑𝑢
∫
𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦) 𝑑𝑦
(𝑡𝑔(𝑦))
𝑢 = 𝑡𝑔 (𝑦)
𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦)
𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦)𝑑𝑦
1
1
= ∫
∗
=
∫
= 𝐼𝑛 |𝑢| + 𝑐 = 𝐼𝑛|𝑡𝑔(𝑦)| + 𝐶
𝑢
𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦)
𝑢
−𝐼𝑛|1 − 𝑒 𝑥 |(𝐼𝑛|𝑡𝑔 (𝑦)| + 𝑐
2) (1 + 𝑥)𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 0
(1 + 𝑥)(1)𝑑𝑥 (1)(1)𝑑𝑦
+
(𝑦)(1)
(𝑦)(1)
(1 + 𝑥)𝑑𝑥 =
𝑑𝑦
𝑦
∫(1 + 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 1𝑑𝑥 + ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 +
∫
𝑥²
+𝑐
2
𝑑𝑦
= 𝐼𝑛|𝑦| + 𝑐
𝑦
𝑥+
𝑥²
− 𝐼𝑛|𝑦| + 𝑐
2
3) 2𝑦 −2 𝑑𝑥 + (1 − 𝑥)𝑑𝑦
1(2𝑦 −2 )𝑑𝑥 (1 − 𝑥) 1 𝑑𝑦
+
(1)(2𝑦 −2 )
(1)(2𝑦 −2 )
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+
(1 − 𝑥)
(2𝑦 −2 )
∫
1
1
1
1
𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑢 = ∫ ∗ (−1) = ∫ − = −𝐼𝑛|1 − 𝑥| + 𝑐
1−𝑥
𝑢
𝑢
𝑢
𝑢 =1−𝑥
𝑑𝑢 = −1
∫
1
1
1
1
1 𝑦3 𝑦3
2
𝑑𝑦
=
∫
𝑑𝑦
=
∫
𝑦
𝑑𝑦
=
∗
=
2𝑦 −2
2 𝑦 −2
2
2 3
6
𝑦3
−𝐼𝑛|1 − 𝑥| ( ) + 𝑐
6
Homogéneas
1)𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑦 2 𝑑𝑦 = 2𝑥 2 𝑑𝑥
𝑥 2 𝑑𝑥 − 2𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0
−𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0
− ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0
𝑥3 𝑦3
+
+𝑐 =0
3
3
−𝑥 2 𝑑𝑥 + (𝑢𝑥)2 (𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢)
−𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑢2 𝑥 2 (𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢)
−𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑢3 𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑢2 𝑥 3 𝑑𝑢 = 0
𝑥 2 𝑑𝑥 + (−1 + 𝑢3 ) + 𝑢2 𝑥 3 𝑑𝑢 = 0
𝑥 2 𝑑𝑥 + (−1 + 𝑢3 ) = −𝑢2 𝑥 3 𝑑𝑢
𝑥2
−𝑢2
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
𝑥3
−1 + 𝑢3
𝑑𝑥
𝑢2
∫
= −∫ 3
𝑑𝑢
𝑥
𝑢 −1
1
𝐼𝑛|𝑥| + log(𝑢3 − 1) + 𝑐 = 0
3
−
2.
(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0
(𝑥 − 𝑢𝑥)𝑑𝑥 − 𝑥(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢)
𝑥(1 − 𝑢)𝑑𝑥 + 𝑥𝑢𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑑𝑢 = 0
𝑥𝑑𝑥[(1 − 𝑢) + 𝑢] + 𝑥 2 𝑑𝑢 = 0
𝑥𝑑𝑥(1) + 𝑥 2 𝑑𝑢 = 0
𝑥𝑑𝑑 = −𝑥 2 𝑑𝑢
𝑥
− 2 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
𝑥
𝑑𝑥
−∫
= ∫ 𝑑𝑢
𝑥
−𝐼𝑛|𝑥| + 𝑐 = 𝑢
𝑢 + 𝐼𝑛|𝑥| + 𝑐 = 0
3.
𝑥𝑑𝑥 + (𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑦 = 0
𝑥𝑑𝑥 + (𝑢𝑥 − 2𝑥)(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0
𝑥𝑑𝑥 + 𝑢2 𝑥𝑑𝑥 + 𝑢𝑥 2 𝑑𝑢 − 2𝑥𝑢𝑑𝑥 − 2𝑥 2 𝑑𝑢 = 0
𝑥𝑑𝑥(1 + 𝑢2 − 2𝑢) + 𝑥 2 𝑑𝑢(𝑢 − 2) = 0
𝑥𝑑𝑥
(𝑢 − 2)
= −𝑑𝑢
2
𝑥
(𝑢 − 1)2
(𝑢 − 2)
𝑑𝑥
∫
= −∫
𝑑𝑢
(𝑢 − 1)2
𝑥
1
𝐼𝑛|𝑥| −
+ 𝐼𝑛|1 − 𝑢| + 𝑐
1−𝑢
Octavo Cuatrimestre de Ingeniaría en Mecatrónica
Grupo “F”
Asignatura: Matemáticas para ingeniería II
Profesora: González Saldaña Sara
Alumnos: Pérez Ávila Uziel
Ramiro Sánchez Jorge
Miranda González Fernando
Garcia Bonilla Angel Brayan
Vázquez Vázquez Eduardo Julián
Contenido
¿Qué es la transformada de Laplace? ...............................................3
Definición de la Transformada Inversa .............................................4
Ejemplo de la transformada de Laplace ............................................4
Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor ...................................4
Función de transferencia ...............................................................6
¿Qué es la transformada de Laplace?
La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de
ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada
de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras.
Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian
una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La
transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales
Lineales y Ecuaciones Integrales.
Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general
se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el
conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a
relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una
función seccionada.
Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una
ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar
la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada.
El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente
tenga una cierta expresión como transformada.
Sea f una función definida para
define como
, la transformada de Laplace de f(t) se
cuando tal integral converge
Notas
1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de
integracion se considera constante
2. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una función en la
variable s
3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
 De orden exponencial
 Continúa a trozos
Definición de la Transformada Inversa
La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función
de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir
si es que acaso
Esta definición obliga a que se cumpla:
y
Ejemplo de la transformada de Laplace
Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor
Se tiene un intercambiador de calor 1-1, de tubos y coraza. En condiciones estables,
este intercambiador calienta 224 gal/min de agua de 80°F a 185°F por dentro de
tubos mediante un vapor saturado a 150 psia. En un instante dado, la temperatura
del vapor y el flujo de agua cambian, produciéndose una perturbación en el
intercambiador.
:
a) Obtenga la función de transferencia del cambio de la temperatura de salida del
agua con respecto a un cambio en la temperatura del vapor y un cambio en el flujo
de agua, suponiendo que la temperatura de entrada del agua al intercambiador se
mantiene constante en 80°F.
b) Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo
escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el
flujo de agua.
c) Grafique la variación de la temperatura de salida del agua con respecto al tiempo.
Ecuación diferencial que modela el intercambiador de calor
Donde:






















Ud0: Coeficiente global de transferencia de calor referido al diámetro exterior
(BTU/h °F ft2)
ATC0: Área de transferencia de calor referida al diámetro exterior (ft2)
Cp : Capacidad calorífica (BTU/lb °F)
tv : Temperatura del vapor (°F)
te : Temperatura del agua a la entrada (°F)
ts : Temperatura del agua a la salida (°F)
(te+ ts) / 2 :Temperatura del agua dentro de tubos (°F)
tref : Temperatura de referencia (°F)
w : Flujo de agua (lb/h)
m : Cantidad de agua dentro de tubos (lb)
tv, ts, tw: Valores en condiciones estables
Tv , Ts , W Variables de desviación
Datos físicos
Largo del intercambiador = 9 ft
Diámetro de coraza = 17 ¼’’
Flujo = 224 gal/min
Temperatura de entrada =80°F
Temperatura de salida = 185°F
Presión de vapor =150psia.
Número de tubos= 112
Diámetro exterior de tubo = ¾ ’’ de diámetro y BWG 16, disposición cuadrada
a 90°, con un claro entre tubos de 0.63’’.
Conductividad térmica de los tubos = 26 BTU/hft°F,


Factor de obstrucción interno = 0.0012 hft2°F/BTU; externo = 0.001
hft2°F/BTU
Coeficiente global de transferencia de calor = 650 BTU/hft2°F
Al calcular las constantes:
Función de transferencia
Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo
escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el
flujo de agua.
La respuesta del proceso en el tiempo
Transformada inversa de Laplace
UNIVERSIDAD
TECNOLOGICA DE
PUEBLA
Alumnos:
García Bonilla Ángel Brayan
Ramiro Sánchez Jorge
Vázquez Vázquez Eduardo Julián
Miranda González Fernando
Pérez Ávila Uziel
Docente: Saldaña González Sara
Materia: Matemáticas para la ingeniería II
Carrera: Mecatrónica
Grado y grupo 8° F
Turno: Vespertino
Métodos numéricos se define como un procedimiento mediante el cual se obtiene,
casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando
cálculos puramente aritméticos y lógicos como operaciones aritméticas
elementales, cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo
preposicional, etc. El procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones
precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas
conocida como algoritmo, que producen o bien una aproximación de la solución del
problema o bien un mensaje. La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación
depende, en parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de las
características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo.
El algoritmo es un procedimiento que describe, sin ambigüedades, una serie finita
de pasos a realizar en un orden especifico. El objetivo del algoritmo es poner en
práctica un procedimiento para resolver un problema o aproximarse a una solución.
Cifras significativas.
Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda
usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones
importantes en el estudio de los métodos numéricos.
1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe
desarrollar criterios para especificar qué tan precisos son los resultados obtenidos.
2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden
expresar exactamente con un número finito de cifras.
Exactitud y Precisión.
La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor
verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido
o calculado respecto a los otros.
La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La
imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los
valores.
Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que
cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería.
Error.
En general, para cualquier tipo de error, la relación entre el número exact9 y el
obtenido por aproximación se define como:
Error = Valor real -valor estimado
En ocasiones, se sabrá exactamente el valor del error, que denotaremos como Ev,
o deberemos estimar un error aproximado.
Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en el cálculo el error
detectado, podemos normalizar su valor.
Ea = Error relativo (fracción) = error estimado I valor verdadero
Como el valor de Ea puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos
interesa saber más la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor absoluto
de este.
Aplicación de los métodos numéricos en la ingeniería
Calcule las tensiones de nodo en el circuito que se muestra en la figura a.
En el nodo 1, la aplicación de la LCK y de la ley de
Ohm produce.
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
5=
𝑉1 − 𝑉2 𝑉1
+
4
2
Multiplicando por 4
3𝑉1 − 𝑉2 = 20
En el nodo 2 se hace lo mismo
𝑖2 + 𝑖4 = 𝑖1 + 𝑖5
𝑉1 − 𝑉2
𝑉2
+ 10 = 5 +
4
6
Multiplicando por 12, y haciendo la suma algebraica
se obtiene.
−3𝑉1 + 5𝑉2 = 60
Acomodando las dos ecuaciones en forma matricial
Haciendo uso de los metodos numericos podemos resolver esta matriz por el
metodo de Gauss Jordan.
Podemos colocar la matriz, como una matriz aumentada.Quedando de la siguiente
manera.
Resolviendo. Sumamos el primer reglon al segundo.
[
3 −1 20
]
−3 5 60
𝑟2 = 𝑟1 + 𝑟2
3
[
0
−1 20
]
4 80
Multiplicamos por 1/3 el primer reglón.
1
𝑟1 = ( )𝑟1
3
1 20
3 3]
4 80
1
[
0
−
1
[
0
−
Multiplicamos el segundo reglón por ¼
1
𝑟2 = ( )𝑟2
4
1 20
3 3]
1 20
Por ultimo para eliminar el -1/3 del primer reglón, multiplicamos el primer reglón
por 1/3 y se lo sumamos al primer reglón.
1
𝑟1 = ( ) 𝑟2 + 𝑟1
3
1
[
0
0 13.333
]
1 20
De lo cual obtenemos que el Valor de los voltajes en los nodos son:
𝑉1 = 13.333 𝑉
𝑦
𝑉2 = 20 𝑉
Otra manera de resolver la matriz es con la regla de
Cramer.
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes.
Para obtener el Valor de una incognita, se cambia la columna de la incognita
con la matriz columna de resultados.
ERROR Y EXACTITUD, APLICACIÓN EN LA INGENIERIA
Cuatro observadores efectuaron un conjunto de mediciones independientes de
voltaje, que se registraron como 117.02 v, 117.11 v, 117.08 v y 117.08 v.
Calcúlese a) el voltaje promedio b)rano del error
Solucion
Primeramente, lo primero que observamos es que todas las mediciones son
cercanas entre si, por lo cual decimos que son precisas.
a) 𝐸𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑 =
𝐸1 +𝐸2 +𝐸3 +𝐸4
𝑁
=
117.02+117.11+117.08+117.03
4
= 117.06
b) 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝐸𝑚𝑎𝑥 − 𝐸𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑 = 117.11 − 117.06 = 0.05 𝑉
Pero también
𝐸𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑 − 𝐸𝑚𝑖𝑛 = 117.06 − 117.02 = 0.04
El rango de promedio del error equivale a
0.05 + 0.04
= ±0.05 𝑉
2
CONCLUSION
Las Ecuaciones diferenciales son de importancia ya que para realizar actividades
en el campo profesional se implementan mucho desde la variación del tiempo en
una determinada máquina que está trabajando a un determinada velocidad hasta la
captura del voltaje que tanto se eleva y que temperatura debe de tener para que no
ocurran cosas desagradables eso es por qué realizar cálculos hace tener una idea
del porcentaje de éxito que se tendrá así como el margen de error que se puede
obtener