Resumen y tablas de fourier

SERIES DE FOURIER
DEFINICIÓN PRINCIPAL
f ( x ) con periodo p = 2 L es:
La serie de Fourier de una función
a
f ( x) = 0 +
2
∞
∑⎜⎝a cos nLπx +b sen nLπx ⎟⎠
⎛
⎞
n
n
n=1
donde los coeficientes de Fourier están dados por:
a0 =
1
L
∫
L
−L
f ( x ) dx
an =
1
L
∫
L
nπx
dx
L
f ( x ) cos
−L
bn =
1
L
∫
L
−L
f ( x ) sen
nπx
dx
L
FUNCIONES PARES E IMPARES
f ( x ) con periodo p = 2 L
Serie de Fourier de una función par
a
f ( x) = 0 +
2
∞
∑ a cos nLπx
n
n=1
–L
L
–L
L
–L
L
nπx
f ( x ) sen
dx
L
–L
L
nπx
dx
L/2
–L
L
nπx
bn = 0
f ( x ) dx
f ( x ) cos
dx
0
0
L
Serie de Fourier de una función impar f ( x ) con periodo p = 2 L
2
a0 =
L
∫
2
an =
L
L
∫
L
∞
f ( x) =
∑b sen nLπx
n
n=1
a0 = 0
2
bn =
L
an = 0
∫
L
0
nπx
f ( x ) sen
dx
L
EXTENSIONES DE MEDIO INTERVALO DE LA SERIE DE FOURIER
Extensión par (serie de cosenos con periodo
a0
+
2
f ( x) =
p = 2L )
∞
∑ a cos nLπx
n
n=1
nπx
dx
0
0
L
Extensión impar (serie de senos con periodo p = 2 L )
2
a0 =
L
∫
L
f ( x ) dx
2
an =
L
∫
L
f ( x ) cos
bn = 0
∞
f ( x) =
∑b sen nLπx
n
n=1
a0 = 0
2
bn =
L
an = 0
Extensión periódica (serie de Fourier con periodo
f ( x) =
2
a0 =
L
Revisión 1
56757.90
∫
L
0
f ( x ) dx
a0
+
2
2
an =
L
∞
∫
L
0
p=L )
∑⎜⎝a cos Lnπ/ x2 +b sen Lnπ/ x2 ⎟⎠
⎛
⎞
n
n
n=1
∫
L
0
f ( x ) cos
nπx
dx
L/2
bn =
2
L
∫
L
0
f ( x ) sen
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SERIES DE FOURIER
SERIE COMPLEJA DE FOURIER
Serie compleja (o exponencial) de Fourier, para una función
f ( x ) con periodo p = 2 L
∞
f ( x) =
∑c e
nωo xi
donde la frecuencia fundamental es
n
ω0 =
n=−∞
1
c0 =
2L
Coeficientes complejos
Relación con
coeficientes de
la serie de Fourier
∫
L
−L
c0 =
f ( x ) dx
a0
2
1
cn =
2L
∫
cn =
L
−L
2π
p
f ( x ) e−nω xi dx
1
(a − b i )
2 n n
0
c−n = cn
(complejo
conjugado)
c−n =
1
(a +bni )
2 n
NOTA: Al efectuar la sumatoria, siempre tomar el mismo número de coeficientes positivos y negativos.
ALGUNAS INTEGRALES ÚTILES AL TRABAJAR CON SERIES DE FOURIER
∫ x sen axdx = a1 sen ax − ax cos ax +C
∫ x cos axdx = a1 cos ax + ax sen ax +C
2
2
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Revisión 1
56757.90
⎛ 2 x2 ⎞
2x
x 2 sen axdx =⎜ 3 − ⎟cos ax + 2 sen ax + C
a⎠
a
⎝a
⎛ x2 2 ⎞
2x
x 2 cos axdx =⎜ − 3 ⎟sen ax + 2 cos ax + C
a
⎝a a ⎠
⎛ 6 x x3 ⎞
⎛ 3x 2 6 ⎞
x sen axdx =⎜ 3 − ⎟cos ax +⎜ 2 − 4 ⎟sen ax + C
a⎠
a ⎠
⎝a
⎝a
⎛ x3 6 x ⎞
⎛ 3x 2 6 ⎞
x3 cos axdx =⎜ − 3 ⎟sen ax +⎜ 2 − 4 ⎟cos ax + C
a ⎠
⎝a a ⎠
⎝a
3
⎛ 4 x3 24 x ⎞
⎛ x 4 12 x 2 24 ⎞
x 4 sen axdx =⎜ 2 − 4 ⎟sen ax −⎜ − 3 + 5 ⎟cos ax + C
a ⎠
a
a ⎠
⎝a
⎝a
⎛ 4 x3 24 x ⎞
⎛ x 4 12 x 2 24 ⎞
x 4 cos axdx =⎜ 2 − 4 ⎟cos ax +⎜ − 3 + 5 ⎟sen ax + C
a ⎠
a
a ⎠
⎝a
⎝a
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