Teoría General de Sistemas y Simulado Tarea 2. Ruth Islas Juárez 1. Indique cual es la interpretación física de una función de transferencia G(s), donde dicho número esta expresado como una función racional. La función de transferencia es una representación matemática (proveniente de transformar una ecuación diferencial lineal de orden n al dominio de la frecuencia, en condiciones iniciales cero) de las características físicas de un sistema y se expresa como el cociente de salida sobre la entrada. 2. Indique el significado de la variable compleja s. La variable compleja s es igual a un término real σ y a un número imaginario ω; por lo tanto, s=σ+ω. 3. ¿Cuál es el significado físico de los ejes real o imaginario del plano s? El eje real se asocia con la velocidad de respuesta de un sistema con respecto a la posición de sus polos dominantes, mientras la parte imaginaria se relaciona con la frecuencia angular de oscilación del sistema. 4. Represente en el plano s las siguientes funciones de transferencia e indique si los sistemas asociados son estables o inestables. a) 𝐺(𝑠) = 25 (𝑠2 −16) (𝑠+1.5)(𝑠+3)2 (𝑠2 +2𝑠+10)2 Son la constante de sistema, K=25; los ceros, 𝑧1 = 4 y 𝑧1 = -4; los polos, 𝑝1 = −1.5, 𝑝2 = 𝑝3 = −3 𝑦 𝑝4.5 = −1 ± 2𝑗. El diagrama de polos y ceros se muestra en la siguiente figura. b) 𝐺(𝑠) = −2.5 (𝑠2 −4) 𝑠(𝑠−0.5)(𝑠+2.5)2 (𝑠2 +2𝑠+10)2 5. ¿Qué es un polo dominante? Un polo dominante es aquel que ejerce el mayor efecto en la respuesta transitoria del sistema, que es a la vez el polo más cercano al origen del plano s. 6. Indique la relación entre una ecuación diferencial lineal, una homogénea y una de orden n con respecto a una función de transferencia G(s) en forma de función racional. La transformada de Laplace convierte una ecuación diferencial lineal de orden n en una ecuación algebraica (relación de polinomios denominada función racional) del mismo grado que de la ecuación diferencial original: 𝑑𝑛 𝑑𝑛−1 𝑑 𝑑𝑚 𝑑𝑚−1 𝑑 [ 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 + 𝑎0 ] 𝑦 = [ 𝑚 + 𝑏𝑚−1 𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1 + 𝑏0 ] 𝑟(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Con lo que al transformar al dominio s, se obtiene una funcione racional: 𝑌(𝑠) 𝑠𝑚 +𝑏𝑚−1 𝑠𝑚−1+⋯+ 𝑏1 𝑠+𝑏0 𝑠𝑛 +𝑎𝑛−1 𝑠𝑛−1+⋯+ 𝑎1 𝑠+𝑎0 c) 𝐺(𝑠) = 𝑅(𝑠) Si el grado del polinomio del denominador es mayor o igual que el grado del polinomio del numerador, se dice que la función racional es propia. Si el grado del numerador es mayor al grado del denominador, se trata de una función racional impropia. 7. Para el diagrama de polos y ceros de la figura 2.15, obtenga su función de transferencia G(s). 8. ¿Cuál es la interpretación física del término que hace no homogénea una ecuación diferencial? El término que hace no homogénea a una ecuación diferencial s el miembro derecho de la ecuación diferencial: 𝑑𝑛 𝑑𝑛−1 𝑦 𝑑𝑦 𝑎𝑛 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 + 𝑎0 𝑦 = 𝑏0 𝑟(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Y 𝑏0 𝑟(𝑡) se interpreta como la entrada que se le aplica al sistema. 9. Para los siguientes sistemas descritos por sus correspondientes ecuaciones diferenciales lineales y no homogéneas, obtenga sus funciones de transferencia G(s) como una relación de salida Y(s) entre entrada R(s). a) b) 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 + 9 + 20𝑦 = 𝑟(𝑡) 𝑑𝑡 3 𝑑𝑡 𝑑3 𝑑2 𝑑 + 15 + 71 𝑑𝑡 + 105] 𝑦 [𝑑𝑡 3 𝑑𝑡 2 𝑑 = [𝑑𝑡 + 2] 𝑟(𝑡) 10. Con respecto al problema 9, inciso b), ¿Cuál es la interpretación física del miembro derecho de la ecuación? 11. Obtenga los polos y ceros del problema 9, inciso b). 12. Para las siguientes funciones de transferencia, obtenga las correspondientes ecuaciones diferenciales. 𝑌(𝑠) 10 𝑌(𝑠) (𝑠2 +6𝑠+8) a) 𝐺(𝑠) = 𝑅(𝑠) = (𝑠+1)(𝑠+3)(𝑠2 +2𝑠+5) b) 𝐺(𝑠) = 𝑅(𝑠) = (𝑠+3)(𝑠+5)(𝑠2 +𝑠+5) 13. Obtenga la transformada de Laplace de las siguientes funciones: a) 𝑔(𝑡) = 4𝑒 3−2𝑡 b) 𝑔(𝑡) = 2𝑡 2 + 𝑒 5𝑡 c) 𝑔(𝑡) = cos ( 2𝑛𝜋 𝑡) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑇 𝑛, 𝜋 𝑦 𝑇 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 d) 𝑔(𝑡) = cos(𝜔𝑡 + 𝜃) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜃 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. Sugerencia: cos(𝜔𝑡 + 𝜃) = 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝑠𝑒𝑛𝜃 a) 𝑔(𝑡) = (𝑡 + 2)2 𝑒 𝑡 14. Obtenga las transformadas inversas de Laplace de: a) 𝐺(𝑠) = b) 𝐺(𝑠) = c) 𝐺(𝑠) = 2 𝑠4 5𝑠+4 2𝑠−18 + 𝑠2 +16 𝑠3 3𝑠+2 4𝑠2 +12𝑠+9 15. Por descomposición en fracciones parciales, obtenga g(t): a) 𝐺(𝑠) = b) 𝐺(𝑠) = c) 𝐺(𝑠) = 𝑠2 −𝑠−3 𝑠(𝑠−1)(𝑠+3) 6𝑠2 +26𝑠+8 2 𝑠3+4𝑠 +14𝑠+20 10𝑠2 +51𝑠+56 (𝑠+4)(𝑠+2)2 16. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por medio de la transformada de Laplace: a) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 3𝑦 = 4 𝑈(𝑡), 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒 𝑦(0) = 0 𝑦 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦(0) = −2 b) c) 𝑑𝑦 2 𝑑𝑡 𝑑𝑦 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑦 + 9 𝑑𝑡 + 20𝑦 = 𝛿(𝑡), 𝑐𝑜𝑛 𝑦(0) = 𝑦 ′ (0) = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑟 3 𝑑𝑟 2 𝑑𝑟 + 2 𝑑𝑡 + 8𝑦 = 𝑑𝑡 3 + 3 𝑑𝑡 2 + 10 𝑑𝑡 + 15𝑟(𝑡), 𝑠𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑡𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑟(𝑡) = 𝛿(𝑡)𝑦 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜.
