“AÑO DE LA CONSOLIDACIÓN DEL MAR DE GRAU” Universidad Católica de Santa María Facultad de Ingenierías Físicas y Formales Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Curso: Cálculo Diferencial Tema: Aplicaciones de la derivada en la ingeniería e industria Profesor: Palza Delgado Walther Abel Sección: “C” Aula: A-301 Arequipa – Perú APLICACIÓN DE LA DERIVADA EN LA INGENIERÍA La derivada en las industrias alimentarias se aplica sobre todo en las operaciones de transferencia de cantidad de movimiento (o momentum), de calor y de masa. Regular y propiamente el cálculo se aplica para el desarrollo de los modelos matemáticos que representan estos fenómenos de transferencia (movimiento, calor y masa). Una vez definidos los modelos que se concretan en ecuaciones o fórmulas, solamente aplicas estas ecuaciones. La salida o resultados de esto es el dimensionamiento (por ejemplo potencias, velocidades, áreas y longitudes) en el diseño de los equipos o en el control de los procesos. Sin embargo la aplicación más en corto y común del cálculo diferencial se tiene en balance de materia, balance de energía y termodinámica. Los balances, sobre todo el de materia, es lo que más se aplica en la industria de alimentos, para el cálculo de rendimientos y evaluación de la eficiencia de los procesos. Esto es especialmente en procesos no estacionarios y con recirculación, por ejemplo la impregnación de solutos (sales o azúcares) en tanques con bombeo para recirculación de las salmueras o jarabes, para poder calcular la alimentación con nuevas soluciones de las sales o los azúcares. También se aplica para la modelación de la cinética de las reacciones, las cuales sirven para calcular la cantidad de las sustancias (como aditivos o nutrimentos) para estandarizar tanto procesos como productos terminados, y para calcular predictivamente la vida útil a través de modelos en los que se juega con la temperatura, como el Q10 o Arrehnius. Dos cinéticas muy especiales de alto interés y uso en la ingeniería de alimentos son la cinética microbiana y la enzimática. Por ejemplo en la microbiana, se aplica en los cálculos que deben realizarse para determinar el tiempo de tratamiento térmico que asegure la inocuidad y garantice la vida útil en los productos enlatados. APLICACIONES EN ALGUNAS RAMAS DE LA INGENIERIA ➢ INDUSTRIAS ALIMENTARIAS VELOCIDAD DE REACCION. Cuando se produce una reacción química, las concentraciones de cada uno de los reactivos y productos va variando con el tiempo, hasta que se produce el equilibrio químico, en el cual las concentraciones de todas las sustancias permanecen constantes. La velocidad de una reacción es la derivada de la concentración de un reactivo o producto con respecto al tiempo tomada siempre como valor positivo. Es decir, es el cociente de la variación de la concentración de algún reactivo o producto por unidad de tiempo cuando los intervalos de tiempo tienden a 0. Ejemplos a. Empresa en la cual se aplicó: Promotora Deportiva EPIX Fecha: Los días de producción en la fábrica. Aplicación de la técnica: Calculo de la velocidad de reacción en una ecuación química. Resultados: Calculo de la velocidad de formación del producto (bebidas infantiles) con respecto a la concentración de cada uno de los reactivos que la constituyen. b. Empresa en la cual se aplicó: Industrias Citrícolas de Montemorelos, del Grupo del Monte. Fecha: Los días de producción en la fábrica. Aplicación de la técnica: Balance de materia Resultados: Estudios de optimización de tratamiento térmico de gajos de toronja en almíbar ligero para mejorar la textura. Se hizo en Industrias Citrícolas de Montemorelos, del Grupo Del Monte. ➢ APLICACIÓN EN LA INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS En ingeniería en sistemas, la derivada tiene infinidad de aplicaciones, ya que Esta rama de la Ingeniería va de la mano con todos las demás ramas del conocimiento. La derivada puede tener aplicaciones sobre el diseño de algunos programas que involucren velocidades Para el ingeniero industrial el uso de esta herramienta es muy importante especialmente porque es una carrera muy amplia, dependiendo de la empresa en la cual se desempeñe serán las aplicaciones que se utilizarán, por ejemplo en una empresa donde se fabrican cajas podemos ocuparlo para conocer lo máximo que podemos obtener de una lámina para la elaboración de una caja. A continuación algunas aplicaciones que podría encontrar un Ingeniero industrial y de Sistemas. 1. Tensión de un material Si consideramos un cuerpo sometido a cargas exteriores en equilibrio, y lo dividimos en dos partes mediante la intersección con un plano cualquiera, sabemos que en la sección originada aparecerán fuerzas que mantienen el equilibrio de la porción. Si en la sección tomamos un punto P y un entorno de área ∆Ω, sobre dicha área existirá una fuerza elemental ∆F. Haciendo el cociente de ∆F/∆Ω, con ∆Ω tendiendo a cero, definiremos como “vector tensión total o tensión resultante en el punto P, al siguiente límite Ejemplo Empresa: Shimadzu (aparatos medidores de tensión) Fecha: días de producción de la fabrica Aplicación de la técnica: sus aparatos miden la tensión debe aplicarse el cálculo para que el aparato pueda medir lo requerido Resultados: aparatos que miden la tensión 2. Control de Procesos En años recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez más importante en el desarrollo y avance de la civilización moderna y la tecnología. Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria: – tales como control de calidad de los productos manufacturados, líneas de ensamble automático, control de máquinas-herramienta, tecnología espacial y sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transporte, sistemas de potencia, robótica y muchos otros El campo de aplicación de los sistemas de control es muy amplio. Y una herramienta que se utiliza en el diseño de control clásico es precisamente: La transformada de Laplace En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo. Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso. El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal: Operaciones de transformación Laplace Empresa: MAIVAINSA S.L. (diseño y montaje de instalaciones industriales de fluidos) Fecha: Días de producción Aplicación de la técnica: En la regulación derivada la posición de la válvula será proporcional a la velocidad de cambio de la variable controlada. Así, la válvula sufrirá un mayor o menor recorrido dependiendo de la velocidad de cambio del error del sistema. Resultados: El control derivativo nos permite tener una mayor velocidad de corrección de las desviaciones del sistema, contribuye a una operación más estable y continua. ➢ INGENIERIA MECATRONICA 1. Fenómenos electromagnéticos: Los fenómenos electromagnéticos están siempre presentes en la mecatrónica, ya que la electrónica es una de las ramas principales de esta carrera, ya sea para crear circuitos, campos magnéticos, etc. Un claro y sencillo ejemplo es el campo magnético que se crea en un motor para hacer girar una bobina. 2. Rotacional El rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. El rotacional de un campo vectorial se define como la capacidad de un vector de rotar alrededor de un punto. También es definido como la circulación del vector sobre por un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a ser cero. La aplicación del cálculo diferencial en el rotor, se puede ver desde límites, hasta derivadas, aunque no con un grado tan sencillo, y la aplicación en la realidad de esto lo podemos ver en muchos motores donde se utiliza un rotor, como los molinos de viento para generar energía eólica. Empresa: Repowering Solutions(Venta de Agrogrogeneradores). Fecha: La técnica rotacional se aplica todos los días en la producción de la empresa. Aplicación de la Técnica: Se utiliza para hacer los rotores de los agrogeneradores. Resultados: Se producen y venden Turbinas Eólicas. 3. Experimento de Melde El experimento de Melde es un experimento científico realizado por el físico alemán Franz Melde sobre las ondas estacionarias producidas en un cable tenso unido a un pulsador eléctrico. Este experimento pudo demostrar que las ondas mecánicas experimentan fenómenos de interferencia. Ondas mecánicas viajando en sentido contrario forman puntos inmóviles, denominadas nodos. Estas ondas fueron denominadas estacionarias por Melde ya que la posición de los nodos y los vientres (puntos de vibración) permanece estática. Franz hizo uso del Calculo diferencial y las derivadas para obtener las ecuaciones necesarias para crear el sistema SONAR por sus siglas en ingles “Sound Navigation And Ranging” Melde reformuló esta última expresión con base en términos de diferenciales para obtener una aproximación más precisa cercana a casos reales. Melde cambió el parámetro del ángulo con base en su dependencia funcional con respecto a la posición y el tiempo. Por lo que estableció que la tangente del ángulo dependería del diferencial de una altura con respecto al diferencial de la posición. Empresa: Ocean Gate Aplicación de la técnica: Se aplica la tecnología SONAR por esta compañía, en los submarinos, para poder crear mapas debajo del mar. Resultados: Al aplicar el cálculo en las vibraciones del sonido, podemos obtener diversos resultados, como un mapa del área, ver que está cerca, que se mueve, etc. 4. La dilatación térmica. La dilatación térmica corresponde al efecto en el que los materiales se dilatan o se “agrandan” al aumentar la temperatura. En los objetos sólidos, la dilatación térmica produce un cambio en las dimensiones del cuerpo. Esto es muy necesario saber y calcular para los macarrónicos, sobre todo al momento de diseñar piezas metálicas, plásticas, tarjetas, etc., o en los carros por ejemplo al diseñar piezas para los motores, que deben de tomar en cuenta estas expansiones a altas temperaturas, ya que fallas en los cálculos pueden resultar en roturas de engranes, problemas de acoplamiento de piezas, entre otros. El uso de grúas en muchas aplicaciones de mover objetos pesados de algún lado a otro. Las grúas, ya sean móviles o fijas, tienen la finalidad de transportar o mover algún objeto de peso y dimensiones considerables. Los sistemas de tele presencia en grúas se usan para las grúas fijas, para tener un control más eficaz de la unidad y una mayor seguridad para el usuario. Para los diseñadores de la grúa, es necesario pensar en las tensiones y los ángulos que puede tener la grúa, para evitar accidentes fatales INGENIERIA QUIMICA: ➢ INGENIERIA QUIMICA Se utiliza la derivada para: La determinación de volúmenes: Valga la redundancia estamos hablando que cada cuerpo posee un volumen y hay una fórmula para hallarlo con sus distintas dimensiones y unidades. Calculo de cambio de masa en un sistema en estado transitorio Para deducir una ecuación para el vaciado de un tanque con la leyes de las gases ideales ➢ INGENIERIA CIVIL Para esta rama se ocupan las derivadas para relacionar las ecuaciones de cargas estáticas con las ecuaciones de momentos flexionantes. - También en la parte hidráulica, por ejemplo al momento de construir una represa de agua En la resistencia de materiales: Para deducir la ecuación de la elástica es necesario usar cálculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana en un punto ‘P(x,y)’ puede determinarse mediante la expresión ELECTRONICA: NGENIERIA ➢ INGENIERÍA MECANICA y FÍSICA En esta área se ocupa para calcular inercias, velocidades, aceleraciones, y por lo tanto fuerzas internas y externas que actúan en un mecanismo. También las utilizamos en: - Estática: Se dice que un sistema material está en equilibrio cuando todas sus partículas se encuentran en reposo y permanecen en el mismo estado de reposo. Para que se verifique el equilibrio y este sea estable han de dársena serie de condiciones, cuyo análisis constituye el objeto de la estática en el que podremos analizar varios problemas. Las aplicaciones prácticas de la estática en la ingeniería son muy numerosas, siendo quizá la parte de la mecánica más empleada. Estos así especialmente en el análisis estructural: por lo general las estructuras se diseñan para estar y permanecer en reposo bajo las cargas de servicio estáticas, o para que su movimiento bajo cargas dinámicas sea pequeño y estable (vibraciones). - Inercia: Si sobre un sistema material no actúa fuerza alguna sigue en reposo o movimiento rectilíneo uniforme si inicialmente lo estaba. Si sobre un sistema material actúa una fuerza, toma una aceleración cuya magnitud o módulo es el cociente del módulo de la fuerza partido por la masa del sistema material, y su dirección y sentido es el de la fuerza. Si un sistema material ejerce una fuerza sobre otro sistema material, éste último ejerce sobre el primero una fuerza igual en magnitud y dirección pero de sentido opuesto; el par directamente opuesto (acción, reacción) puede ser de contacto directo o de acción a distancia. “La derivada respecto al tiempo de la cantidad de movimiento de una partícula o punto material es igual a la resultante de las fuerzas que actúan sobre dicho punto o partícula “ “La derivada respecto al tiempo del momento cinético respecto a un punto O, es igual al momento de la fuerza con respecto al punto O”, constituye el teorema del momento cinético. - En la mecánica de fluidos: La mecánica de los fluidos es la ciencia que estudia el comportamiento mecánico de los fluidos (en reposo o en movimiento) y su efecto sobre su entorno, tal como superficies de sólidos o interfaces con otros fluidos. Al momento de aplicar las derivadas se definen en función a las Fundamentales, velocidad, densidad, viscosidad, etc -En la termodinámica: Se puede aplicar para examinar procesos, en los cuales se mantienen constantes una o más variables de estado, como por ejemplo volumen constante, presión constante, etc. La identidad termodinámica se mantiene válida para cualquier cambio infinitesimal en un sistema, tanto tiempo como la presión y la temperatura estén bien definidas. Se supone que el número de partículas es constante (o sea, estamos tratando con el mismo sistema antes y después del cambio).A menudo, la definición de temperatura se hace en función de la energía cinética trasnacional media de las partículas; a esta se le llama temperatura cinética. Se puede hacer una definición alternativa de la temperatura desde la identidad termodinámica: - En el comportamiento de energía térmica: Aunque todos los materiales son capaces de transferir energía térmica está claro que, cuantas más partículas participen en choques con las vecinas, mayor conductividad térmica mostrará un sistema, más rápidamente se producirá el intercambio de energía. Así los sistemas densos, sólidos y líquidos, tendrán mayor capacidad de conducción del calor que los gases. Por otra parte los metales y los fluidos ionizados, además de sus átomos ionizados, disponen de electrones aumentando el número de partículas capaces de transferir la energía térmica (y también carga). La rigidez del sólido también favorece la conducción ya que se transmite cualquier movimiento con mayor facilidad, el diamante es una de los mejores conductores del calor. Los aislantes usuales son sólidos poco rígidos: blandos. La variable que caracteriza la capacidad de conducción térmica se llama conductividad térmica κ y se define a través de la relación: Flujo de calor = - κ A dT/dx que relaciona el flujo de calor Q, energía térmica, por unidad de tiempo que atraviesa una superficie de área A de un material de espesor dx con una diferencia de temperatura dT entre sus extremos. La ley de Fourier se puede rescribir como: dQ/dt = - κ A dT/dx - En problemas de dinámica de fluidos, para conseguir una mejor aerodinámica. - En física, en cualquier situación de la vida real que se relacione el espacio en función del tiempo, se puede aplicar la derivada
