Modulacion AM

Sistemas de Modulación Lineal
Modulación AM
Introducción
• La modulación lineal recibe su nombre porque el espectro
que produce está relacionado en forma lineal con el espectro
del mensaje:
• Tipos de modulación lineal: AM, DSB, SSB, VSB.
Convenciones:
• El mensaje x(t) está limitado a una banda de frecuencias W1
• Mensaje normalizado, esto es: x(t) 1
• Cuando el mensaje es un tono, se asume:
𝑥 𝑡
𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑡
• El análisis de Fourier permite representar señales
sinusoidales y emplear superposición en sistemas lineales.
Como la portadora de onda continua es sinusoidal, la señal
resultante de la modulación con ancho de banda pequeño,
puede analizarse como sinusoide pura.
2
Señales pasabanda =
• Son aquellas cuyo espectro está concentrado en la vecindad
de una frecuencia llamada portadora fc 0. Por tanto una
señal pasabanda puede verse como una señal modulada por
una portadora, tal como se muestra en la Figura:
Modulador
3
Típica señal pasabanda en el dominio
del tiempo
Como se aprecia en la Figura,
una señal pasabanda
𝑥 𝑡 centrada en la
frecuencia de la portadora
presenta cambios en la
envolvente y la fase.
Formalmente se puede escribir como:
𝑥
𝑡
𝑅 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑡
 𝑡
dónde: 𝑅 𝑡 : Envolvente y  𝑡 : Fase. En consecuencia, ambas
son funciones del tiempo.
4
Representación fasorial de
El plano completo rota a c
La envolvente y la fase se pueden
escribir como:
R (t )  xi2 (t )  xq2 (t )
  t  = arctg
xq (t )
xi (t )
Expandiendo la ecuación de 𝑥𝐵𝑃 𝑡
𝑥
𝑡
.
𝑅 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑡
𝑅 𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝜔 𝑡
5
Componentes en fase y cuadratura
𝑥 𝑡
Se define:
• Por tanto:
𝑅 𝑡 𝐶𝑜𝑠  𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑡
𝑅 𝑡 𝑆𝑒𝑛  𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝜔 𝑡
𝑥 𝑡 ≡ 𝑅 𝑡 𝐶𝑜𝑠  𝑡
𝑥 𝑡 ≡ 𝑅 𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑡
𝑥
𝑡
𝑥 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑡
𝑥 𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝜔 𝑡
Donde: 𝑥 𝑡 : Componente en fase de la señal pasa‐banda.
𝑥 𝑡 : Componente en cuadratura de la señal pasa‐
banda
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Representación en frecuencia
• Al pasar la señal pasabanda (anterior) al dominio de la
frecuencia y aplicando Transformada de Fourier:
X BP ( f )
 X i ( f  fc )  X i ( f  fc )   X q ( f  fc )  X q ( f  fc ) 
j



2
2

 

Puesto 𝑞𝑢𝑒 𝑋𝐵𝑃 𝑓 existe alrededor de 𝑓𝑐, entonces: 𝑥𝑖 𝑡
y 𝑥𝑞 𝑡 son señales pasa‐bajos.
7
¿Cómo determinar
partir de
• Multiplicando 𝑥
)y
?
a
𝑡 por 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑡 ∶
Sen2c t
 1  Cos 2ct 
xBP (t ) Cos c t  [ xi (t )Cos c t  xq (t ) Sen c t ]Cos c t  xi (t ) 

x
(
t
)
 q
2
2


Aplicando transformada de Fourier a este resultado:
X i ( f ) 1  X i ( f  2 fc )  X i ( f  2 fc )  1  X q ( f  2 fc )  X q ( f  2 fc ) 
F [ xBP (t ) Coswc t ] 
 

 2j
2
2
2
2



.
Pasando esta señal por un filtro pasabajos de ganancia 2 se puede
encontrar 𝑥 𝑡 .
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Obtención de las componentes en
fase y en cuadratura
. Obtención
de la componente en fase:
Obtención de la componente en cuadratura:
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Modulación de Amplitud (AM)
• Como su nombre lo indica, consiste en variar la amplitud de una
sinusoide de acuerdo al mensaje que se desea transmitir. A la
sinusoide se le llama PORTADORA debido a que llevará la
información sobre si.
• Sea 𝑥 𝑡 un mensaje normalizado (con ancho de banda = 𝑊).
• Si la portadora es de la forma:
𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑡
𝑥 𝑡
• La señal modulada en amplitud AM se expresa como:
𝑥
𝑡
𝐴 1 𝑚𝑥 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑡
• Donde m es el índice de modulación y 0 < m  1.
10
Señal modulada en AM con m=1
a) Señal x(t), (b) Señal: 1+mx(t)
(c) Portadora, (d) Señal modulada en AM con m=1
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Sobremodulación
Si m>1 (SOBREMODULACION) se
presenta un cambio de fase en la
señal modulada en AM, lo que
representa perder el parecido de
la envolvente con el mensaje.
Por ejemplo si m =2, la envolvente
contiene el mensaje ahora
distorsionado.
En consecuencia, con
sobremodulación la envolvente
no se parece al mensaje.
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Índice de modulación
De la expresión temporal
puede derivarse m:
𝑎
𝑏
Luego:
Señal AM modulada con un tono
𝐴𝑐 1
𝐴𝑐 1
𝑚
𝑚
a-b
m
ab
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Espectro de una señal AM
• Asumiendo un mensaje x(t) con ancho de banda W y un
espectro como se muestra en la Figura, se pude obtener el
espectro de la señal AM.
• 𝑥
𝑡
𝐴
Partiendo de la ecuación general
del AM en el tiempo:
𝑥
𝑥
Espectro de la señal x(t)
X AM
f 

𝑡
𝑡
𝐴
1
𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑡
𝑚𝑥 𝑡
𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑡
𝑚𝐴 𝑥 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑡
Al transformar por Fourier:
Ac
mAc
 X  f  fc   X ( f  fc) 
 ( f  fc)   ( f  fc) 
2
2
14
¿Cómo se escoge fc en relación
con W?
• Conviene observar que el ancho de banda fraccional definido
como:
se encuentre limitado entre: 0,01
0,1
• Considerando: 𝑓𝑐
𝑊, el espectro del mensaje es
trasladado en frecuencia hacia 𝑓𝑐, tal como se aprecia en la
Figura:
Espectro de la señal modulada en AM
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Que se deduce del espectro del AM?
• Se puede concluir que el espectro de la señal modulada en
AM implica que:
1. El ancho de banda ocupado por la señal 𝐴𝑀 es 2𝑊.
2. Se define Banda lateral superior 𝑈𝑆𝐵 la porción del espectro
por encima de 𝑓𝑐 y Banda lateral inferior 𝐿𝑆𝐵 la porción por
debajo de 𝑓𝑐.
3. La señal modulada contiene la portadora con gran parte de la
potencia.
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Potencia de la señal AM
• Se puede determinar mediante la función de autocorrelación de la señal AM:
𝑥
𝑡
𝐴
1
𝑚𝑥 𝑡
𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑡
• Aplicando la función de autocorrelación:
𝑅𝑥
𝜏
𝐸𝐴
𝑅𝑥
𝜏
𝐸𝑥
𝑡 .𝑥
1 𝑚𝑥 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑡. 𝐴 1
𝑡 𝜏
𝑚𝑥 𝑡
𝜏
𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑡
𝜏
• Teniendo en cuenta que el mensaje tiene media nula:
𝑅𝑥
𝑅𝑥
𝐴
𝜏
𝐸
𝜏
𝐴
1
𝐶𝑜𝑠 2𝜔 𝑡
2
𝐸
𝜔 𝜏
1
𝑚 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡
𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑡
𝜏
1
𝐶𝑜𝑠 2𝜔 𝑡
2
𝑚 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡
𝜏 𝐶𝑜𝑠 2𝜔 𝑡
𝜔 𝜏
𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑡
𝜔 𝜏
𝑚 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡
𝜏 𝐶𝑜𝑠 2𝜔 𝜏
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Autocorrelación de la señal AM
• Considerando:
 Cos (2c t  c ) 
E
0

2


E  x(t ) x(t   )Cos (2c t  c )   0
Nota: , Si:
• 𝑥 𝑡 𝑦 𝑦 𝑡) tienen simetrías diferentes
• 𝑥 𝑡 𝑦 𝑦 𝑡 no coinciden en el tiempo
• 𝑥 𝑡 𝑦 𝑦 𝑡 no coinciden en frecuencia
E  x(t ) x(t   ).Cosc    Rx( )  Cosc
Ac 2
Ac 2 m 2
Rx AM ( ) 
Cosc 
  Rx( ) Cosc
2
2
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Potencia promedio total en AM
• El valor de la potencia promedio total se obtiene evaluando la
autocorrelación en  = 0
X
2
AM
Ac 2 Ac 2 m 2 2
 RAM (0) 

x
2
2
• Se pude deducir:
𝑋
𝑃𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎
𝑃𝑐 Ac 22𝑃𝑆𝐵
Pc 
Luego: 𝑃
2
2 𝑃𝑜𝑡. 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
Ac 2 m 2 2
m2 x 2
PSB 
x  PC
4
2
La portadora consume más de la mitad de
potencia total de transmisión AM. En
consecuencia, es necesario realizar el
cálculo de la eficiencia del AM.
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Cálculo de la eficiencia de un sistema
de transmisión AM
 AM
2 PSB
PC m 2 x 2
100%


2
2
PT
PC (1  m x )
 AM 
m2 x 2
1 m x
2
2
100%
La máxima eficiencia se logra cuando 𝑃𝑐
Si: m 2 x 2  1
2𝑃𝑆𝐵
AM MAX = 50%
Lo cual indica que los sistemas AM tienen una pésima eficiencia.
20
Modulación AM con un tono
• En este caso: 𝑥 𝑡
𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑡
𝑥
𝑡
𝐴 1 𝑚 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑡
𝑥
𝑡
𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑡
x AM  t   A c Cosc t 
𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑡
𝑚 𝐴 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑡
mAm Ac
mAm Ac
Cos (c  m )t 
Cos (c  m )t
2
2
Para obtener el espectro se transforma la ecuación anterior:
X AM ( f ) 
Ac
mA A
 ( f  fc)   ( f  fc)  m c  ( f  fc  fm)   ( f  fc  fm) 
2
4

mAm Ac
 ( f  fc  fm)   ( f  fc  fm)
4
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Espectro de la señal AM modulada
con tono
La Densidad Espectral de Potencia se calcula elevando el
espectro en magnitud al cuadrado.
22
Eficiencia del AM con un tono
Ac2
m 2 Am2 Ac2 Ac2 m 2 Am2 Ac2
PotenciaTrasmitida 
4


4
16
2
4
La eficiencia en este caso es:
 AM
m 2 Am2 Ac2
2 2
m
Am
4
 2

2 2 2
Ac m Am Ac 2  m 2 Am2

2
4
La máxima eficiencia ocurre cuando m=1 y Am=1
AM max(1tono)= (1/3) *100%  33%
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Modulación AM con un tono en la
forma fasorial
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