ET1 CALC 1 2400 2019 2 - SOLUCION

EXAMEN T1 (90 MINUTOS) SOLUCIÓN
CÁLCULO 1
CALIFICACIÓN
CÓDIGO BANNER DEL ESTUDIANTE: __________________________
___________________________________________
Apellidos y nombres del estudiante
_____________________________
Firma del estudiante
CÓDIGO DE CLASE (NRC): 2400
FECHA: _____/09 /2019
INDICACIONES
1. Desarrolle en forma ordenada las preguntas propuestas, utilizando lapicero. Los cálculos con lápiz
no serán considerados en la calificación.
2. No se permite el uso de material de consulta ni el préstamo de útiles de escritorio.
3. Mantenga apagado el celular o cualquier otro dispositivo electrónico.
4. Considere la siguiente información:
Según el Art. 12° del Reglamento de disciplina del estudiante, constituyen faltas muy graves:
a.i. Intentar o realizar un plagio parcial o total, al rendir una evaluación, una práctica o durante
la elaboración o presentación de un trabajo o asignación académica, usando cualquier
medio, modalidad, objeto o equipos para tal fin, en forma directa o a través de terceros.
a.vii. La suplantación de identidad (suplantar y/o ser suplantado) al momento de rendir una
evaluación o actividad académica, de cualquier tipo, en beneficio propio o ajeno.
Según el Art. 13° del Reglamento de disciplina del estudiante, del título de sanciones:
c.
Desaprobación con calificación de cero: Sanción académica que resulta aplicable a una
falta cometida contra la probidad académica.
Al recibir este examen calificado, tome en cuenta las sugerencias de su docente:
 Llene con esmero la carátula
 Haga los cálculos con más esmero
 Presente su trabajo con orden
 Responda a las preguntas planteadas
 Presente su trabajo con limpieza
 Revise su examen antes de entregarlo
 Explique mejor su procedimiento
 Venga mejor preparado
Calificación
Examen
1
Puntaje
obtenido
Pregunta
2
3
Total
4
5
Aplicación/Análisis
1. (4 puntos) suponga que 𝑓(2) = 0, 𝑓 ′ (2) = 3, 𝑔(2) = 3,𝑔′ (2) = −2 determine el valor de
2𝑓 − 3𝑔 ′
(
) (2)
𝑓−𝑔
SOLUCIÓN: Aplicando las propiedades de la derivada, se tiene
(
(2𝑓 − 3𝑔)′ (2)(𝑓 − 𝑔)(2) − (2𝑓 − 3𝑔)(2)(𝑓 − 𝑔)′ (2)
2𝑓 − 3𝑔 ′
) (2) =
(𝑓 − 𝑔)2 (2)
𝑓−𝑔
=
(2𝑓 ′ (2) − 3𝑔′ (2))(𝑓(2) − 𝑔(2)) − (2𝑓(2) − 3𝑔(2))(𝑓 ′ (2) − 𝑔′ (2))
2
(𝑓(2) − 𝑔(2))
=
(2 ⋅ 3 − 3 ⋅ (−2))(0 − 3) − (2(0) − 3(3))(3 − (−2))
(0 − 3)2
=
(12)(−3) − (−9)(5) −36 + 45
=
=1
9
9
5
2. (2 puntos C/U) Considere la siguiente función 𝑓(𝑥) = ln (𝑥 2 +1) y el punto 𝑃 = (−2; 0)
a) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓 en el punto 𝑃.
5
SOLUCIÓN: Aplicando la regla de la cadena a la función 𝑓(𝑥) = ln (𝑥 2 +1) se obtiene
𝑓
′ (𝑥)
′
′
5
1
5
𝑥 2 + 1 0(𝑥 2 + 1) − 5(2𝑥)
2𝑥
= (ln ( 2
)) =
( 2
) =
(
)=− 2
2
2
5
(𝑥
𝑥 +1
5
+ 1)
𝑥 +1
( 2
) 𝑥 +1
𝑥 +1
4
De esta manera, 𝑓 ′ (−2) = 5. Como (𝑎; 𝑓(𝑎)) = (−2; 0). Reemplazando en la expresión
𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎)
con 𝑎 = −2 se tiene que la recta tangente es:
4
𝑦 − 0 = (𝑥 − (−2))
5
4
8
𝑦= 𝑥+
5
5
b) Determine la ecuación de recta normal a la gráfica de la función 𝑓 en el punto 𝑃.
SOLUCIÓN: La ecuación de la recta normal está dada por
𝑦 − 𝑓(𝑎) = −
1
𝑓 ′ (𝑎)
(𝑥 − 𝑎), 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑓 ′ (𝑎) ≠ 0
Reemplazando, se obtiene que la recta normal es:
1
(𝑥 − (−2))
4
5
5
5
𝑦=− 𝑥−
4
2
𝑦−0=−
3. (4 puntos) calcule el siguiente limite mediante la regla de L’Hôpital
cos(4𝑥) − 𝑒 2𝑥 + 2𝑥 + 10𝑥 2
𝑥→0
𝑥3
lím
SOLUCIÓN: Aplicando sucesivamente la regla de L’Hôpital se obtiene
0
cos(4𝑥) − 𝑒 2𝑥 + 2𝑥 + 10𝑥 2 0
− 4sen(4𝑥) − 2𝑒 2𝑥 + 2 + 20𝑥
lím
=
=
⏞
lím
𝑥→0
𝑥→0
𝑥3
3𝑥 2
0
0
−16 cos(4𝑥) − 4𝑒 2𝑥 + 20
𝑥→0
6𝑥
==
⏞ lím
0/0
64 sen(4𝑥) − 8𝑒 2𝑥
8
4
=− =−
𝑥→0
6
6
3
= =
⏞ lím
4. (2 puntos C/U) Calcular la derivada implícita de las siguientes expresiones
a)
𝑥
𝑦2
+
𝑦2
𝑥
=5
SOLUCIÓN: Antes de proceder, podemos reescribir la expresión de la siguiente forma
𝑥2 + 𝑦4
= 5 ⟺ 𝑥 2 + 𝑦 4 = 5𝑦 2 𝑥
𝑦2𝑥
Aplicando la derivación implícita.
2𝑥 + 4𝑦 3 𝑦 ′ = 10𝑦𝑦 ′ 𝑥 + 5𝑦 2
Despejando a 𝑦 ′ se tiene
4𝑦 3 𝑦 ′ − 10𝑦𝑦 ′ 𝑥 = 5𝑦 2 − 2𝑥 ⟺ 𝑦 ′ =
5𝑦 2 − 2𝑥
4𝑦 3 − 10𝑥𝑦
b) ln(𝑥 2 + 𝑦 2 ) = 2𝑥𝑦
SOLUCIÓN: Aplicando derivación implícita obtenemos
2𝑥 + 2𝑦𝑦 ′
= 2𝑦 + 2𝑥𝑦 ′
𝑥2 + 𝑦2
Despejando a 𝑦 ′ se tiene
2𝑥 + 2𝑦𝑦 ′ = 2𝑦(𝑥 2 + 𝑦 2 ) + 2𝑥(𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑦 ′
2𝑦𝑦 ′ − 2𝑥(𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑦 ′ = 2𝑦(𝑥 2 + 𝑦 2 ) − 2𝑥
(2𝑦 − 2𝑥 3 − 2𝑥𝑦 2 )𝑦 ′ = 2𝑦𝑥 2 + 2𝑦𝑥 2 − 2𝑥
𝑦′ =
2𝑦𝑥 2 + 2𝑦𝑥 2 − 2𝑥
2𝑦 − 2𝑥 3 − 2𝑥𝑦 2
Síntesis/Evaluación
5. (4 puntos) La velocidad molecular promedio 𝑣 de cierto gas (en cm/s) contenido en un recipiente
está dada por 𝑣 = 29√𝑇, donde T es la temperatura (medida en Kelvins). La temperatura se
encuentra relacionada con la presión (medida en atmosferas) por la expresión 𝑇 = 200𝑃.
Determine la variación de la velocidad molecular respecto a la presión cuando está es de 1,5
atmosferas.
𝑑𝑣
SOLUCIÓN, Debemos encontrar 𝑑𝑃 (1,5), aplicando la regla de la cadena obtenemos
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑇
(1,5) =
(1,5)
(𝑇(1,5))
𝑑𝑝
𝑑𝑇
𝑑𝑃
Determinando los términos involucrados
𝑑𝑣
29
=
,
𝑑𝑇 2√𝑇
𝑑𝑇
= 200,
𝑑𝑃
𝑇(1,5) = 300 𝐾
Reemplazando, se obtiene
𝑐𝑚
𝑑𝑣
29
290 𝑠
(1,5) =
⋅ 200 =
𝑑𝑃
2√300
√3 𝑎𝑡𝑚
𝑐𝑚
Por lo tanto, la variación de la velocidad molecular respecto a la presión es de
290 𝑠
.
√3 𝑎𝑡𝑚