60 LECCIÓN 3: OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL ASOCIADA A UN HAZ DE CURVAS JUSTIFICACIÓN: En el curso de Análisis Matemático II, cuando se resuelven integrales indefinidas se obtienen primitivas o antiderivadas las cuales representan haces de curvas, pues involucran constantes arbitrarias. Aquí veremos que una forma de obtener ecuaciones diferenciales ordinarias, es a través del proceso de eliminación de las constantes arbitrarias esenciales de un haz de curvas. OBJETIVOS: El estudiante podrá: 1- Obtener la ecuación diferencial asociada a un haz de curvas por medio del proceso de eliminación de constantes arbitrarias esenciales involucradas en el haz de curvas. PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE: INTRODUCCIÓN: ¿Qué estudiamos en la lección anterior? ♦ Estudiamos la solución de una ecuación diferencial y los distintos tipos de soluciones que puede tener una ecuación diferencial. 61 Correcto. ¿Qué características esenciales dijimos que tiene cada tipo de solución estudiado? ♦ La solución general involucra unas constantes arbitrarias y el número de esas constantes coincide con el orden de la ecuación diferencial. ♦ La solución particular se obtiene de la solución general asignándole valores específicos a las constantes arbitrarias ♦ La solución singular no se puede obtener de la solución general. Muy bien. ¿Qué otro aspecto estudiamos? ♦ El problemas de valor inicial y el problema de valor de frontera Exacto. ¿Cómo identificamos cuándo un problema dado es de valor inicial o de valor de frontera? ♦ Para identificar que tipo de problema se está planteando basta con analizar que tipo de condiciones nos están dando. Si las condiciones dadas son sobre la función desconocida y sus derivadas en un valor de la variable independiente el problema planteado es un problema de valor inicial; si las condiciones dadas son sobre la función desconocida en dos o más valores de la variable independiente, el problema planteado es un problema de valor de frontera. Exactamente. ¿Qué relación importante establecimos entre el orden de la ecuación diferencial, el número de condiciones dadas y el número de constantes 62 arbitrarias de la solución general en los problemas de valor inicial y los problemas de valor de frontera? ♦ Establecimos que el orden de la ecuación diferencial, el número de constantes arbitraria de la solución general y el numero de condiciones dadas en cualquiera de los dos tipos de problemas es exactamente el mismo. Excelente. El tema que vamos a tratar en la clase de hoy es muy importante, pues nos conducirá a obtener ecuaciones diferenciales a partir de la ecuación de una familia de curvas. Origen de una Ecuación Diferencial: En los problemas que hemos resuelto hasta el momento, si se conoce la ecuación diferencial asociada a dicho problema ¿qué procedimiento se ha realizado para obtener la función que satisface la ecuación diferencial?. Dicho de otra forma ¿qué procedimiento hemos seguido a fin de conseguir la solución general? ♦ Lo que se ha hecho es integrar la ecuación diferencial tantas veces como sea necesario, hasta conseguir la función solución de dicha ecuación diferencial. Correcto. Lo que nos proponemos resolver en este momento es el problema inverso, es decir, conocida la ecuación del haz de curvas obtener la ecuación diferencial asociada que tiene como solución el haz de curvas conocido. Es importante que recuerden que ninguna ecuación diferencial contiene constantes arbitrarias; por lo tanto, debemos eliminar las constantes 63 arbitrarias que aparezcan en el haz de curva para obtener la ecuación diferencial asociada. EJEMPLO 1: Dado el haz de curvas y = C e-2x + 3x -4, obtener la ecuación diferencial asociada. ¿Cuantas constantes arbitrarias tiene el haz de curvas dado? ♦ Tiene sólo una constante arbitraria, C Si ya se había dicho que para conseguir la solución de una ecuación diferencial se debe integrar ¿qué sugieren ustedes hacer para conseguir la ecuación diferencial que tiene como solución general el haz de curvas dado? ♦ Deberíamos derivar el haz de curvas respecto de x. ¿Que obtienen al derivar el haz de curva? ♦ Al derivar obtenemos y' = -2 C e-2x + 3 Muy bien, pero observen que no se logró aún eliminar la constante arbitraria C. Sin embargo se tienen ahora dos ecuaciones que involucran a esa constante ⎧ y = C e − 2 x + 3x − 4 ⎪ ⎨ ⎪⎩ y' = − 2 C e − 2x + 3 64 ¿Qué sugieren ustedes que hagamos ahora? ♦ Ahora deberíamos eliminar C del sistema de ecuaciones anterior. Correcto. ¿Cómo lo hacemos? ♦ Despejamos Ce-2x de la primera ecuación y queda Ce-2x = y + 4 - 3x luego sustituimos Ce-2x = y + 4 - 3x en la segunda ecuación y resulta que y' = -2 (y + 4 - 3x) + 3 = -2y + 6x - 5 Muy bien. Se tiene entonces que la ecuación diferencial asociada al haz de curvas es y' + 2y - 6x + 5 = 0 ¿Cuántas veces tuvimos que derivar el haz? ♦ Una sola vez Es importante resaltar que el número de veces que se deriva el haz de curvas dado coincide con el número de constantes arbitrarias esenciales involucradas en el haz. ¿Podrían decirme cuáles fueron los pasos que seguimos para obtener la ecuación diferencial asociada a un haz de curvas dado? 65 ♦ Determinamos el número de constantes arbitrarias esenciales que tiene el haz de curvas, derivamos el haz de curvas y luego eliminamos la constante arbitraria C del sistema de ecuaciones que se formó con la ecuación del haz de curvas y su derivada. Correcto. Revisemos otro ejemplo. EJEMPLO 2: Dado el haz de curvas y = C1 x + C2 x3, obtener la ecuación diferencial asociada. ¿Que deben hacer primero? ♦ Identificar el número de constantes arbitrarias esenciales que tiene el haz de curvas. Muy bien. ¿Cuántas constantes arbitrarias hay en el haz de curvas? ♦ Hay dos constantes arbitrarias. ¿Cuántas veces tienen entonces que derivar el haz de curvas? ♦ Se tiene que derivar dos veces Correcto. ¿Qué obtienen al calcular las derivadas? 66 ♦ La primera derivada es y' = C1 + 3C2 x2; la segunda derivada es y'' = 6C2 x. ¿Cuál es el sistema de ecuaciones a partir del cual debemos eliminar las constantes arbitraria C1 y C2? ♦ El sistema de ecuaciones de donde vamos a eliminar las constantes arbitrarias C1 y C2 es ⎧ y = C1 x + C 2 x 3 ⎪⎪ 2 ⎨ y' = C1 + 3 C 2 x ⎪ y' ' = 6 C x 2 ⎩⎪ ¿Qué harían ahora para eliminar C1 y C2 de este sistema? ♦ Despejamos C2 de la tercera ecuación, quedando C2 = ¿Qué hacen ahora con C2 = y' ' 6x y' ' ? 6x ♦ Lo sustituimos en la segunda ecuación del sistema, resultando que y' = C1 + 3 y' ' 2 1 x o equivalentemente y' = C1 + x y'' 6x 2 ¿Qué paso sigue a continuación? ♦ A continuación despejamos C1 de la ecuación y' = C1 + obteniendo C1 = y' - 1 x y'' 2 1 x y'' 2 67 Tienen entonces que las constantes arbitrarias son C1 = y' - 1 x y'' C2 = 2 y' ' ¿qué hacen con estos valores de C1 y C2? 6x ♦ Los sustituimos en el haz de curvas y = C1 x + C2 x3 resultando = y'x - 1 2 1 2 x y" + x y'' 2 6 o y equivalentemente y'' x - 3 x y' + 3 y = 0 Muy bien. Decimos entonces que y'' x - 3 x y' + 3 y = 0 es la ecuación diferencial asociada al haz de curvas y = C1 x + C2 x3 (lo que equivale a decir que la curva y = C1 x + C2 x3 es la solución general de la ecuación diferencial y'' x - 3 x y' + 3 y = 0) Observen que en este ejemplo hay dos constantes arbitrarias, por lo cual fue necesario derivar dos veces para poder eliminar las constantes y obtener la ecuación diferencial asociada. Abran sus guías en la página 13 y leamos el procedimiento que allí aparece indicado para la obtención de la ecuación diferencial asociada a un haz de curvas PROCEDIMIENTO PARA LA OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL ASOCIADA A UN HAZ DE CURVAS Dado un haz de curvas F (x, y, C1, C2,..., Cn) = 0 (C1, C2,..., Cn, constantes arbitrarias, para obtener la ecuación diferencial asociada al haz de curvas se deben eliminar las n constantes del sistema: 68 ⎧ ⎪F ( x, y , C1 , C 2 ,..., C n ) = 0 ⎪d ⎪ F ( x, y , C1 , C 2 ,..., C n ) = 0 ⎪ dx ⎪⎪ d 2 F ( x, y , C1 , C 2 ,..., C n ) = 0 ⎨ ⎪ dx 2 ⎪ # ⎪ ⎪ dn ⎪ F ( x, y , C1 , C 2 ,..., C n ) = 0 ⎩⎪ dx n C1, C2,...,Cn se denominan entonces constantes arbitrarias esenciales EJEMPLO 3: Dado el haz de curvas y = C1 e (C 2 + x ) , obtenga la ecuación diferencial asociada. ¿Cuántas constantes arbitrarias hay? ♦ Hay dos constantes arbitrarias C1 y C2 Según el procedimiento estudiado, ¿cuántas veces deberíamos derivar el haz de curvas dado? ♦ Deberíamos derivar dos veces el haz de curvas dado. ¿Qué se obtiene cuándo se deriva por primera vez el haz dado? ♦ Se obtiene y' = C1 e (C 2 + x ) 69 Cómo puedes observar y' da nuevamente la función y, por lo tanto la ecuación diferencial asociada es y' = y. Pero solo hemos derivado una vez ¿Acaso este ejemplo contradice el procedimiento que explicamos para obtener la ecuación diferencial asociada a un haz? Observen la curva dada. Si les pido que apliquen las propiedades de potenciación ¿cómo pueden transformar el haz y = C1 e (C 2 + x ) ? ♦ Podemos escribirlo y = C1 e C 2 e x Observen que C1 y e C 2 son constantes ¿el producto de dos constantes, qué resulta? ♦ También resulta una constante. Correcto, por lo tanto, C1 e C 2 se puede sustituir por una sola constante, llamémosla C. ¿Cómo se puede escribir entonces el haz de curvas dado? ♦ El haz de curvas dado se puede escribir como y = C e x ¿Cuántas constantes arbitrarias esenciales posee este haz? ♦ Posee una sola constante arbitraria esencial 70 Es por ello que bastó con derivar una sola vez para obtener la ecuación diferencial asociada. Como puede observarse no hay ninguna contradicción con el procedimiento general indicado para obtener la ecuación diferencial asociada a un haz de curvas. Reúnanse en grupos de tres para resolver los Problema 1, 2 y 3 que aparece en sus guías en las páginas 13 y 14. Tienen diez minutos. PROBLEMA 1: Obtenga la ecuación diferencial asociada a la familia de rectas que pasan por el punto (-1, 2) Revisemos que hicieron para resolver el Problema 1. En el enunciado se hace referencia a la familia de rectas que pasan por un punto dado. ¿Cuántas rectas hay que pasen por el punto (-1,2)? ♦ Hay infinitas rectas. Correcto. ¿Qué es lo que está variando en cada una de las rectas de esa familia? ♦ Varía la pendiente. Excelente. Si "m" es la pendiente de la recta un punto cualquiera (x, y(x)) de ella, de acuerdo con los conocimientos que traen del curso de 71 Geometría Analítica ¿podrían decirme cómo se escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1, 2) y tiene pendiente m? ♦ La ecuación de la recta se escribe como y - 2 = m (x+1) Exacto, y - 2 = m (x+1) es la ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto (-1, 2). ¿Cuántas constantes arbitrarias tiene este haz de curvas? ♦ Tiene solo una constante arbitraria que es "m" Muy bien. ¿Cuántas veces se debe derivar el haz de curvas? ♦ Se debe derivar solo una vez ¿Qué obtenemos al derivar? ♦ Al derivar el haz de rectas y - 2 = m (x+1), se obtiene y' = m De acuerdo con el procedimiento que hemos explicado se debe seguir para eliminar las constantes arbitrarias de un haz de curvas y así obtener la ecuación diferencial, ¿cuál es el sistema de ecuaciones, a partir del cual debemos eliminar m? ♦ El sistema de ecuaciones a partir del cual vamos a eliminar m es: ⎧ y − 2 = m ( x + 1) ⎨ ⎩ y' = m 72 ¿Qué sugieren se debe hacer ahora para eliminar m? ♦ Bastará con relacionar las dos ecuaciones del sistema y sustituir en la primera ecuación la pendiente m por y' Muy bien. ¿Cuál es entonces la ecuación diferencial asociada a la familia de rectas que pasan por el punto (-1, 2)? ♦ La ecuación diferencial asociada a la familia de rectas que pasan por el punto (-1, 2) es y - 2 = y' (x+1) o equivalentemente (x + 1) y' - y + 2 = 0 PROBLEMA 2: Halle la ecuación diferencial asociada a la familia de circunferencia con centro en el origen del sistema de coordenadas. Veamos como resolvieron el Problema 2 En el enunciado se habla de una familia de circunferencias. De acuerdo con los conocimientos que ustedes traen del curso de Geometría Analítica ¿cuál es la ecuación ordinaria de la circunferencia de centro (h, k) y radio r >0? ♦ La ecuación ordinaria de la circunferencia de centro (h, k) y radio r > 0 es: (x - h)2 + (y - k)2 = r2 73 Muy bien. Observen que en el enunciado del problema se dice que el centro de la familia de circunferencia que nos interesa es el origen del sistema de coordenadas ¿Esto que les indica? ♦ Nos indica que h = 0 y k = 0 Correcto. ¿Que hacen con estos valores de h y de k? ♦ Se sustituyen en la ecuación ordinaria de la circunferencia. ¿Qué resulta al hacer la sustitución? ♦ Resulta que la familia de circunferencias con centro en el origen del sistema de coordenadas tiene por ecuación x2 + y2 = r2 Exacto. ¿Cuántas constantes arbitrarias tiene este haz de curvas? ♦ Tiene una sola constante arbitraria. ¿Cuántas veces deben entonces derivar el haz? ♦ Se debe derivar solo una vez Muy bien ¿qué obtienen al derivar? ♦ Al derivar se obtiene 2 x + 2 y y' = 0 74 Observa que en este problema al derivar lograste de una vez eliminar la constante arbitraria ¿Cuál es entonces la ecuación diferencial asociada a la familia de circunferencias con centro en el origen? ♦ La ecuación diferencial asociada a la familia de circunferencias con centro en el origen es x + y y' = 0 Excelente. Pasemos ahora revisar como resolvieron el Problema 3 PROBLEMA 3: Obtenga la ecuación diferencial asociada al haz de curvas y2 = 2 C1 x2 y + C2 x4 ¿Cuantas constantes arbitrarias tiene este haz de curvas? ♦ Tiene dos constantes arbitrarias ¿Cuántas veces debemos derivar el haz de curvas dado? ♦ Debemos derivarlo dos veces. Muy bien. Observa que en este problema la función o variable dependiente no está despejada, por lo tanto ¿cómo debes derivar? ♦ Se debe derivar implícitamente 75 Correcto. Si derivamos implícitamente el haz de curvas dado por primera vez ¿qué se obtiene? ♦ Al derivar implícitamente por primera vez se obtiene 2 y y' = 4 C1 x y + 2 C1 x2 y' + 4 C2 x3 o equivalentemente y y' = C1 (2 x y + x2 y') + 2 C2 x3 Si volvemos a derivar implícitamente ¿qué resulta? ♦ Resulta (y')2 + y y'' = C1 (2 y + 4 x y' + x2 y'') + 6 C2 x2 ¿Cuál es el sistema de ecuaciones a partir del cual debemos eliminar las constantes arbitrarias? ♦ El sistema de ecuaciones de donde se van a eliminar las constantes arbitrarias es ⎧y 2 = 2 C x 2 y + C x 4 1 2 ⎪ ⎪ 2 3 ⎨ y y' = C1 (2 x y + x y' ) + 2 C 2 x ⎪ 2 2 2 ⎪⎩( y' ) + y y' ' = C1 (2 y + 4 x y' + x y' ' ) + 6 C 2 x Ya que el sistema tiene tres ecuaciones y dos incógnitas, para resolverlo se sugiere trabajar con solo dos de las ecuaciones para conseguir las constantes arbitrarias C1 y C2. Luego, sustituir los valores de C1 y C2 en la tercera ecuación. Si trabajamos con las dos primeras ecuaciones del sistema ¿qué debemos hacer para obtener C1 y C2? 76 ♦ Multiplicamos la primera ecuación por -2, multiplicamos la segunda ecuación por x y luego sumamos esas dos ecuaciones, Así obtenemos -2 y2 = - 4 C1 x2 y - 2 C2 x4 x y y' = C1 (2 x2 y + x3 y') + 2 C2 x4 ________________________________________ x y y' - 2 y2 = C1 (x3 y' - 2 x2 y) Sacando factor común a ambos lados de esa última igualdad ¿qué queda? ♦ Queda (x y' - 2y)y = C1 (x y' - 2 y) x2 Si de ésta última ecuación se despeja C1 ¿qué resulta? ♦ Resulta que C1 = y x2 Muy bien. ¿Que sugieren que hagamos para conseguir C2? ♦ Bastará con que sustituyamos C1 en la primera ecuación y luego despejemos C2 Correcto, hagámoslo. Sustituyendo C1 en la primera ecuación ¿que se obtiene? ♦ Obtenemos y2 = 2 y x C2 x4 + y2 = 0 2 x2 y + C2 x4 o equivalentemente 77 Si despejan C2 ¿qué resulta? ♦ Resulta que C2 = − y2 x4 Exacto. Ahora ya tiene que C1 = y x2 y C2 = − y2 x4 ¿qué deben hacer con estos valores de C1 y C2? ♦ Debemos sustituirlos en la tercera ecuación del sistema. Hagamos la sustitución a ver que nos queda (y')2 + y y'' = (2 y + 4 x y' + x2 y'') ⎛ y2 ⎞ 2 ⎟x + 6 ⎜− ⎜ x4 ⎟ x2 ⎝ ⎠ y Agrupando, simplificando y ordenando resulta que la ecuación diferencial asociada al haz de curvas y2 = 2 C1 x2 y + C2 x4 es: x2 (y')2 - 4 x y y' + 4 y2 = 0 Los problemas 4, 5 y 6 quedan como asignación. PROBLEMA 4: Obtenga la ecuación diferencial asociada a la familia de rectas tangentes a la parábola y2 = 2x 78 PROBLEMA 5: Determine la ecuación diferencial asociada a la familia de circunferencias que pasan por el origen del sistema de coordenadas y cuyos centros están en el eje x. PROBLEMA 6: Obtenga la ecuación diferencial asociada a cada uno de los siguientes haces de curvas: a) y = C1 + C2 lnx b) y = C1 ex + C2 e2x + C3 e3x c) x y2 - y3 = C d) x y2 = C1 x + C2 e) y = C1 sen4x + C2 cos4x f) y = C1 x3 + C2 x2 + C3 x CIERRE: ¿Qué estudiamos en esta lección? ♦ Estudiamos como obtener la ecuación diferencial asociada a una familia de curvas conocida. Correcto. ¿Recuerdan como se llama el proceso utilizado a tal efecto? ♦ Se denomina proceso de eliminación de las constantes arbitrarias esenciales. 79 Muy bien. ¿Qué es lo primero que se debe hacer con el haz de curvas? ♦ Identificar el número de constantes arbitrarias que tiene Correcto. ¿Con qué finalidad? ♦ Con la finalidad de saber hasta que orden se va a derivar el haz de curvas. Exactamente. Luego que derivan hasta el orden que corresponde ¿qué deben hacer con todas esas derivadas? ♦ Se debe formar un sistema de ecuaciones con el haz de curvas y todas las derivadas calculadas. ¿Para qué formas ese sistema de ecuaciones? ♦ Ese sistema de ecuaciones es el que nos va a permitir eliminar las constantes arbitrarias y llegar así a la ecuación diferencial asociada al haz de curvas. Excelente. Con esta lección finalizamos los aspectos básicos que sobre ecuaciones diferenciales deben conocer.
