Subido por Yo Soy Zuli

LECCION 3 OBTENCION DE LA ECUACION DIFER

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LECCIÓN 3:
OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL
ASOCIADA A UN HAZ DE CURVAS
JUSTIFICACIÓN:
En el curso de Análisis Matemático II, cuando se resuelven integrales
indefinidas se obtienen primitivas o antiderivadas las cuales representan haces
de curvas, pues involucran constantes arbitrarias. Aquí veremos que una forma
de obtener ecuaciones diferenciales ordinarias, es a través del proceso de
eliminación de las constantes arbitrarias esenciales de un haz de curvas.
OBJETIVOS:
El estudiante podrá:
1- Obtener la ecuación diferencial asociada a un haz de curvas por medio del
proceso de eliminación de constantes arbitrarias esenciales involucradas en el
haz de curvas.
PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE:
INTRODUCCIÓN:
¿Qué estudiamos en la lección anterior?
♦ Estudiamos la solución de una ecuación diferencial y los distintos tipos
de soluciones que puede tener una ecuación diferencial.
61
Correcto. ¿Qué características esenciales dijimos que tiene cada tipo de
solución estudiado?
♦ La solución general involucra unas constantes arbitrarias y el número de
esas constantes coincide con el orden de la ecuación diferencial.
♦ La solución particular se obtiene de la solución general asignándole
valores específicos a las constantes arbitrarias
♦
La solución singular no se puede obtener de la solución general.
Muy bien. ¿Qué otro aspecto estudiamos?
♦ El problemas de valor inicial y el problema de valor de frontera
Exacto. ¿Cómo identificamos cuándo un problema dado es de valor
inicial o de valor de frontera?
♦
Para identificar que tipo de problema se está planteando basta con
analizar que tipo de condiciones nos están dando. Si las condiciones dadas son
sobre la función desconocida y sus derivadas en un valor de la variable
independiente el problema planteado es un problema de valor inicial; si las
condiciones dadas son sobre la función desconocida en dos o más valores de la
variable independiente, el problema planteado es un problema de valor de
frontera.
Exactamente. ¿Qué relación importante establecimos entre el orden de la
ecuación diferencial, el número de condiciones dadas y el número de constantes
62
arbitrarias de la solución general en los problemas de valor inicial y los
problemas de valor de frontera?
♦
Establecimos que el orden de la ecuación diferencial, el número de
constantes arbitraria de la solución general y el numero de condiciones dadas en
cualquiera de los dos tipos de problemas es exactamente el mismo.
Excelente. El tema que vamos a tratar en la clase de hoy es muy
importante, pues nos conducirá a obtener ecuaciones diferenciales a partir de la
ecuación de una familia de curvas.
Origen de una Ecuación Diferencial:
En los problemas que hemos resuelto hasta el momento, si se conoce la
ecuación diferencial asociada a dicho problema ¿qué procedimiento se ha
realizado para obtener la función que satisface la ecuación diferencial?. Dicho
de otra forma ¿qué procedimiento hemos seguido a fin de conseguir la solución
general?
♦ Lo que se ha hecho es integrar la ecuación diferencial tantas veces como
sea necesario, hasta conseguir la función solución de dicha ecuación diferencial.
Correcto. Lo que nos proponemos resolver en este momento es el
problema inverso, es decir, conocida la ecuación del haz de curvas obtener la
ecuación diferencial asociada que tiene como solución el haz de curvas
conocido. Es importante que recuerden que ninguna ecuación diferencial
contiene constantes arbitrarias; por lo tanto, debemos eliminar las constantes
63
arbitrarias que aparezcan en el haz de curva para obtener la ecuación diferencial
asociada.
EJEMPLO 1:
Dado el haz de curvas
y
= C e-2x + 3x -4, obtener la ecuación
diferencial asociada.
¿Cuantas constantes arbitrarias tiene el haz de curvas dado?
♦ Tiene sólo una constante arbitraria, C
Si ya se había dicho que para conseguir la solución de una ecuación
diferencial se debe integrar ¿qué sugieren ustedes hacer para conseguir la
ecuación diferencial que tiene como solución general el haz de curvas dado?
♦ Deberíamos derivar el haz de curvas respecto de x.
¿Que obtienen al derivar el haz de curva?
♦ Al derivar obtenemos y' = -2 C e-2x + 3
Muy bien, pero observen que no se logró aún eliminar la constante
arbitraria C. Sin embargo se tienen ahora dos ecuaciones que involucran a esa
constante
⎧ y = C e − 2 x + 3x − 4
⎪
⎨
⎪⎩ y' = − 2 C e − 2x + 3
64
¿Qué sugieren ustedes que hagamos ahora?
♦ Ahora deberíamos eliminar C del sistema de ecuaciones anterior.
Correcto. ¿Cómo lo hacemos?
♦ Despejamos Ce-2x de la primera ecuación y queda
Ce-2x = y + 4 - 3x
luego sustituimos Ce-2x = y + 4 - 3x en la segunda ecuación y resulta que
y' = -2 (y + 4 - 3x) + 3 = -2y + 6x - 5
Muy bien. Se tiene entonces que la ecuación diferencial asociada al haz
de curvas es y' + 2y - 6x + 5 = 0
¿Cuántas veces tuvimos que derivar el haz?
♦ Una sola vez
Es importante resaltar que el número de veces que se deriva el haz de
curvas dado coincide con el número de constantes arbitrarias
esenciales
involucradas en el haz.
¿Podrían decirme cuáles fueron los pasos que seguimos para obtener la
ecuación diferencial asociada a un haz de curvas dado?
65
♦ Determinamos el número de constantes arbitrarias esenciales que tiene
el haz de curvas, derivamos el haz de curvas y luego eliminamos la constante
arbitraria C del sistema de ecuaciones que se formó con la ecuación del haz de
curvas y su derivada.
Correcto. Revisemos otro ejemplo.
EJEMPLO 2:
Dado el haz de curvas y = C1 x + C2 x3, obtener la ecuación diferencial
asociada.
¿Que deben hacer primero?
♦
Identificar el número de constantes arbitrarias esenciales que tiene el
haz de curvas.
Muy bien. ¿Cuántas constantes arbitrarias hay en el haz de curvas?
♦ Hay dos constantes arbitrarias.
¿Cuántas veces tienen entonces que derivar el haz de curvas?
♦ Se tiene que derivar dos veces
Correcto. ¿Qué obtienen al calcular las derivadas?
66
♦ La primera derivada es y' = C1 + 3C2 x2; la segunda derivada es y'' =
6C2 x.
¿Cuál es el sistema de ecuaciones a partir del cual debemos eliminar las
constantes arbitraria C1 y C2?
♦ El sistema de ecuaciones de donde vamos a eliminar las constantes
arbitrarias C1 y C2 es
⎧ y = C1 x + C 2 x 3
⎪⎪
2
⎨ y' = C1 + 3 C 2 x
⎪ y' ' = 6 C x
2
⎩⎪
¿Qué harían ahora para eliminar C1 y C2 de este sistema?
♦ Despejamos C2 de la tercera ecuación, quedando C2 =
¿Qué hacen ahora con C2 =
y' '
6x
y' '
?
6x
♦ Lo sustituimos en la segunda ecuación del sistema, resultando que y' =
C1 + 3
y' ' 2
1
x o equivalentemente y' = C1 + x y''
6x
2
¿Qué paso sigue a continuación?
♦ A continuación despejamos C1 de la ecuación y' = C1 +
obteniendo C1 = y' -
1
x y''
2
1
x y''
2
67
Tienen entonces que las constantes arbitrarias son C1 = y' -
1
x y'' C2 =
2
y' '
¿qué hacen con estos valores de C1 y C2?
6x
♦ Los sustituimos en el haz de curvas y = C1 x + C2 x3 resultando
= y'x -
1 2
1 2
x y" +
x y''
2
6
o
y
equivalentemente
y'' x - 3 x y' + 3 y = 0
Muy bien. Decimos entonces que
y'' x - 3 x y' + 3 y = 0 es la
ecuación diferencial asociada al haz de curvas
y = C1 x + C2 x3 (lo que
equivale a decir que la curva y = C1 x + C2 x3 es la solución general de la
ecuación diferencial y'' x - 3 x y' + 3 y = 0)
Observen que en este ejemplo hay dos constantes arbitrarias, por lo cual
fue necesario derivar dos veces para poder eliminar las constantes y obtener la
ecuación diferencial asociada.
Abran sus guías en la página 13 y leamos el procedimiento que allí
aparece indicado para la obtención de la ecuación diferencial asociada a un
haz de curvas
PROCEDIMIENTO PARA LA OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN
DIFERENCIAL ASOCIADA A UN HAZ DE CURVAS
Dado un haz de curvas F (x, y, C1, C2,..., Cn) = 0 (C1, C2,..., Cn,
constantes arbitrarias, para obtener la ecuación diferencial asociada al
haz de curvas se deben eliminar las n constantes del sistema:
68
⎧
⎪F ( x, y , C1 , C 2 ,..., C n ) = 0
⎪d
⎪ F ( x, y , C1 , C 2 ,..., C n ) = 0
⎪ dx
⎪⎪ d 2
F ( x, y , C1 , C 2 ,..., C n ) = 0
⎨
⎪ dx 2
⎪
#
⎪
⎪ dn
⎪
F ( x, y , C1 , C 2 ,..., C n ) = 0
⎩⎪ dx n
C1, C2,...,Cn se denominan entonces constantes arbitrarias esenciales
EJEMPLO 3:
Dado el haz de curvas y = C1 e (C 2 + x ) , obtenga la ecuación diferencial
asociada.
¿Cuántas constantes arbitrarias hay?
♦ Hay dos constantes arbitrarias C1 y C2
Según el procedimiento estudiado, ¿cuántas veces deberíamos derivar el
haz de curvas dado?
♦ Deberíamos derivar dos veces el haz de curvas dado.
¿Qué se obtiene cuándo se deriva por primera vez el haz dado?
♦ Se obtiene y' = C1 e (C 2 + x )
69
Cómo puedes observar y' da nuevamente la función y, por lo tanto la
ecuación diferencial asociada es y' = y. Pero solo hemos derivado una vez
¿Acaso este ejemplo contradice el procedimiento que explicamos para obtener
la ecuación diferencial asociada a un haz?
Observen la curva dada. Si les pido que apliquen las propiedades de
potenciación ¿cómo pueden transformar el haz y = C1 e (C 2 + x ) ?
♦ Podemos escribirlo y = C1 e C 2 e x
Observen que C1
y
e C 2 son constantes ¿el producto de dos
constantes, qué resulta?
♦ También resulta una constante.
Correcto, por lo tanto, C1 e C 2 se puede sustituir por una sola constante,
llamémosla C.
¿Cómo se puede escribir entonces el haz de curvas dado?
♦ El haz de curvas dado se puede escribir como y = C e x
¿Cuántas constantes arbitrarias esenciales posee este haz?
♦ Posee una sola constante arbitraria esencial
70
Es por ello que bastó con derivar una sola vez para obtener la ecuación
diferencial asociada. Como puede observarse no hay ninguna contradicción con
el procedimiento general indicado para obtener la ecuación diferencial asociada
a un haz de curvas.
Reúnanse en grupos de tres para resolver los Problema 1, 2 y 3 que
aparece en sus guías en las páginas 13 y 14. Tienen diez minutos.
PROBLEMA 1:
Obtenga la ecuación diferencial asociada a la familia de rectas que pasan
por el punto (-1, 2)
Revisemos que hicieron para resolver el Problema 1.
En el enunciado se hace referencia a la familia de rectas que pasan por
un punto dado. ¿Cuántas rectas hay que pasen por el punto (-1,2)?
♦
Hay infinitas rectas.
Correcto. ¿Qué es lo que está variando en cada una de las rectas de esa
familia?
♦ Varía la pendiente.
Excelente. Si "m" es la pendiente de la recta un punto cualquiera (x,
y(x)) de ella, de acuerdo con los conocimientos que traen del curso de
71
Geometría Analítica ¿podrían decirme cómo se escribe la ecuación de la recta
que pasa por el punto (-1, 2) y tiene pendiente m?
♦ La ecuación de la recta se escribe como y - 2 = m (x+1)
Exacto, y - 2 = m (x+1) es la ecuación de la familia de rectas que pasan
por el punto (-1, 2).
¿Cuántas constantes arbitrarias tiene este haz de curvas?
♦ Tiene solo una constante arbitraria que es "m"
Muy bien. ¿Cuántas veces se debe derivar el haz de curvas?
♦ Se debe derivar solo una vez
¿Qué obtenemos al derivar?
♦ Al derivar el haz de rectas y - 2 = m (x+1), se obtiene y' = m
De acuerdo con el procedimiento que hemos explicado se debe seguir
para eliminar las constantes arbitrarias de un haz de curvas y así obtener la
ecuación diferencial, ¿cuál es el sistema de ecuaciones, a partir del cual
debemos eliminar m?
♦ El sistema de ecuaciones a partir del cual vamos a eliminar m es:
⎧ y − 2 = m ( x + 1)
⎨
⎩ y' = m
72
¿Qué sugieren se debe hacer ahora para eliminar m?
♦
Bastará con relacionar las dos ecuaciones del sistema y sustituir en la
primera ecuación la pendiente m por y'
Muy bien. ¿Cuál es entonces la ecuación diferencial asociada a la
familia de rectas que pasan por el punto (-1, 2)?
♦ La ecuación diferencial asociada a la familia de rectas que pasan por el
punto (-1, 2) es
y - 2 = y' (x+1)
o
equivalentemente (x + 1) y' - y
+ 2 = 0
PROBLEMA 2:
Halle la ecuación diferencial asociada a la familia de circunferencia con
centro en el origen del sistema de coordenadas.
Veamos como resolvieron el Problema 2
En el enunciado se habla de una familia de circunferencias. De acuerdo
con los conocimientos que ustedes traen del curso de Geometría Analítica
¿cuál es la ecuación ordinaria de la circunferencia de centro (h, k) y radio r >0?
♦ La ecuación ordinaria de la circunferencia de centro (h, k) y radio r > 0
es:
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
73
Muy bien. Observen que en el enunciado del problema se dice que el
centro de la familia de circunferencia que nos interesa es el origen del sistema
de coordenadas ¿Esto que les indica?
♦ Nos indica que h = 0 y k = 0
Correcto. ¿Que hacen con estos valores de h y de k?
♦ Se sustituyen en la ecuación ordinaria de la circunferencia.
¿Qué resulta al hacer la sustitución?
♦
Resulta que la familia de circunferencias con centro en el origen del
sistema de coordenadas tiene por ecuación x2 + y2 = r2
Exacto. ¿Cuántas constantes arbitrarias tiene este haz de curvas?
♦ Tiene una sola constante arbitraria.
¿Cuántas veces deben entonces derivar el haz?
♦ Se debe derivar solo una vez
Muy bien ¿qué obtienen al derivar?
♦ Al derivar se obtiene 2 x + 2 y y' = 0
74
Observa que en este problema al derivar lograste de una vez eliminar la
constante arbitraria ¿Cuál es entonces la ecuación diferencial asociada a la
familia de circunferencias con centro en el origen?
♦ La ecuación diferencial asociada a la familia de circunferencias con
centro en el origen es x + y y' = 0
Excelente. Pasemos ahora revisar como resolvieron el Problema 3
PROBLEMA 3:
Obtenga la ecuación diferencial asociada al haz de curvas
y2 = 2 C1 x2 y + C2 x4
¿Cuantas constantes arbitrarias tiene este haz de curvas?
♦ Tiene dos constantes arbitrarias
¿Cuántas veces debemos derivar el haz de curvas dado?
♦ Debemos derivarlo dos veces.
Muy bien. Observa que en este problema la función o variable
dependiente no está despejada, por lo tanto ¿cómo debes derivar?
♦ Se debe derivar implícitamente
75
Correcto. Si derivamos implícitamente el haz de curvas dado por
primera vez ¿qué se obtiene?
♦ Al derivar implícitamente por primera vez se obtiene
2 y y' = 4 C1 x y + 2 C1 x2 y' + 4 C2 x3
o equivalentemente
y y' = C1 (2 x y + x2 y') + 2 C2 x3
Si volvemos a derivar implícitamente ¿qué resulta?
♦ Resulta (y')2 + y y'' = C1 (2 y + 4 x y' + x2 y'') + 6 C2 x2
¿Cuál es el sistema de ecuaciones a partir del cual debemos eliminar las
constantes arbitrarias?
♦
El sistema de ecuaciones de donde se van a eliminar las constantes
arbitrarias es
⎧y 2 = 2 C x 2 y + C x 4
1
2
⎪
⎪
2
3
⎨ y y' = C1 (2 x y + x y' ) + 2 C 2 x
⎪
2
2
2
⎪⎩( y' ) + y y' ' = C1 (2 y + 4 x y' + x y' ' ) + 6 C 2 x
Ya que el sistema tiene tres ecuaciones y dos incógnitas, para resolverlo
se sugiere trabajar con solo dos de las ecuaciones para conseguir las constantes
arbitrarias C1 y C2. Luego, sustituir los valores de C1 y C2 en la tercera
ecuación.
Si trabajamos con las dos primeras ecuaciones del sistema ¿qué
debemos hacer para obtener C1 y C2?
76
♦ Multiplicamos la primera ecuación por -2, multiplicamos la segunda
ecuación por x y luego sumamos esas dos ecuaciones, Así obtenemos
-2 y2 =
- 4 C1 x2 y
- 2 C2 x4
x y y' = C1 (2 x2 y + x3 y') + 2 C2 x4
________________________________________
x y y' - 2 y2 = C1 (x3 y' - 2 x2 y)
Sacando factor común a ambos lados de esa última igualdad ¿qué
queda?
♦
Queda
(x y' - 2y)y = C1 (x y' - 2 y) x2
Si de ésta última ecuación se despeja C1 ¿qué resulta?
♦ Resulta que
C1 =
y
x2
Muy bien. ¿Que sugieren que hagamos para conseguir C2?
♦
Bastará con que sustituyamos C1 en la primera ecuación y luego
despejemos C2
Correcto, hagámoslo. Sustituyendo C1 en la primera ecuación ¿que se
obtiene?
♦ Obtenemos
y2 = 2
y
x
C2 x4 + y2 = 0
2
x2 y + C2 x4
o
equivalentemente
77
Si despejan C2 ¿qué resulta?
♦ Resulta que
C2 = −
y2
x4
Exacto. Ahora ya tiene que C1 =
y
x2
y
C2 = −
y2
x4
¿qué deben
hacer con estos valores de C1 y C2?
♦ Debemos sustituirlos en la tercera ecuación del sistema.
Hagamos la sustitución a ver que nos queda
(y')2 + y y'' = (2 y + 4 x y' + x2 y'')
⎛ y2 ⎞ 2
⎟x
+ 6 ⎜−
⎜ x4 ⎟
x2
⎝
⎠
y
Agrupando, simplificando y ordenando resulta que la ecuación
diferencial asociada al haz de curvas y2 = 2 C1 x2 y + C2 x4 es:
x2 (y')2 - 4 x y y' + 4 y2 = 0
Los problemas 4, 5 y 6 quedan como asignación.
PROBLEMA 4:
Obtenga la ecuación diferencial asociada a la familia de rectas tangentes
a la parábola y2 = 2x
78
PROBLEMA 5:
Determine
la
ecuación
diferencial
asociada
a
la
familia
de
circunferencias que pasan por el origen del sistema de coordenadas y cuyos
centros están en el eje x.
PROBLEMA 6:
Obtenga la ecuación diferencial asociada a cada uno de los siguientes
haces de curvas:
a) y = C1 + C2 lnx
b) y = C1 ex + C2 e2x + C3 e3x
c) x y2 - y3 = C
d) x y2 = C1 x + C2
e) y = C1 sen4x + C2 cos4x
f) y = C1 x3 + C2 x2 + C3 x
CIERRE:
¿Qué estudiamos en esta lección?
♦ Estudiamos como obtener la ecuación diferencial asociada a una familia
de curvas conocida.
Correcto. ¿Recuerdan como se llama el proceso utilizado a tal efecto?
♦
Se denomina proceso de eliminación de las constantes arbitrarias
esenciales.
79
Muy bien. ¿Qué es lo primero que se debe hacer con el haz de curvas?
♦ Identificar el número de constantes arbitrarias que tiene
Correcto. ¿Con qué finalidad?
♦
Con la finalidad de saber hasta que orden se va a derivar el haz de
curvas.
Exactamente. Luego que derivan hasta el orden que corresponde ¿qué
deben hacer con todas esas derivadas?
♦ Se debe formar un sistema de ecuaciones con el haz de curvas y todas
las derivadas calculadas.
¿Para qué formas ese sistema de ecuaciones?
♦
Ese sistema de ecuaciones es el que nos va a permitir eliminar las
constantes arbitrarias y llegar así a la ecuación diferencial asociada al haz de
curvas.
Excelente. Con esta lección finalizamos los aspectos básicos que sobre
ecuaciones diferenciales deben conocer.
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