UNIDAD 1. NÚMEROS COMPLEJOS “Curso Verano” Unidad 1 Materia: Algebra Lineal Temas ■ 1.1 Definición y origen de los números complejos. ■ 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos. ■ 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo. ■ 1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo. ■ 1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo. ■ 1.6 Ecuaciones polinómicas. Introducción ■ El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales. Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc. Rubrica de Evaluación Unidad 1 Evidencia de aprendizaje % Autoevaluación Mapa Conceptual, Ensayo Problemario 40% 30% Evaluación Diagnostica Total A Indicador de alcance C D E F G B 1 1 1 2 5 1 5 0 0 0 0 100% 7 1 8 1 6 30% 5 1 1 0 Método de Evaluación Instrumento P C Examen Rubrica de tareas Rubrica A En el siglo XVI la cantidad √-1 apareció por primera vez en la escena matemática (Mahor, 2006). Se le conoce como “unidad imaginaria” y se define como una de las soluciones de la ecuación x² + 1 = 0. Esta ecuación no admite soluciones reales, pues el cuadrado de todo número real es positivo. Procediendo formalmente se concluyó que i = √1 es un número “imaginario” con derecho a existir en las matemáticas. Posteriormente se formaron los objetos con la forma z= a + bi donde a y b son números reales, dando paso a los números complejos. Una explicación detallada del desarrollo histórico de este tema los puedes encontrar en el prólogo de Funciones de una variable compleja de Guillermo Restrepo. 1.1 Definición y origen de los números complejos. Un numero complejo es una expresión de la forma: z=α +iβ Donde α y β son números reales, α se denomina la parte real de z y y se denota Real (Re) de z. β se denomina la parte imaginaria de z y se denota por Imaginaria (Im) de z. En ocasiones la representación recibe el nombre de forma cartesiana o rectangular del numero complejo z. Ejemplo: El siguiente es un numero complejo: Su parte real es raíz cuadrada de 2 y su parte imaginaria es raíz cuadrada de -3. Ejemplo. El siguiente es un numero complejo: Cuando no hay parte imaginaria, como en este caso, se dice que el complejo es real. Entonces los Números Reales forman parte del conjunto de los Números Complejos. Ejemplo. El siguiente es un numero complejo: Cuando un número complejo no tiene parte real, como en el presente caso, se dice que es un imaginario puro. Representación de los números complejos Veamos la representación puntual y la representación algébrica. En una representación puntual, el número complejo z se representa como un punto del plano cartesiano (x,y) donde x es la parte real, y y es la parte imaginaria. En la representación algébrica se utiliza la forma ya mencionada z= a+bi REPRESENTACION PUNTUAL REPRESENTACION ALGEBRAICA (3,4) 3+4i (-1,2) -1+2i (0,1) 0+i = i (2,0) 2+0i = 2 (4,-2) 4+(-2i) = 4-2i 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos. ■ Suma de Números complejos. ■ Resta de números complejos. ■ Producto de números complejos. ■ División de números complejos Representación grafica de Números Complejos El plano complejo a veces recibe el nombre de plano de Argand a causa de su uso en diagramas de Argand. Su creación se atribuye a Jean-Robert Argand, aunque fue inicialmente descrito por el encuestador y matemático Noruego-danés Caspar Wessel. El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números complejos. La suma de números complejos se puede relacionar con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la suma de los ángulos de los términos. Un número puede ser visualmente representado por un par de números formando un vector en un diagrama llamado diagrama de Argand. ■ Referencias ■ Flores y Fautsch (1981). Temas selectos de matemáticas. Editorial Progreso. ■ Lay, David (2001). Algebra lineal y sus aplicaciones. Pearson Educación. México. ■ Mahor E. (2006). e: historia de un número. Conaculta. ■ Restrepo (2003). Funciones de una variable compleja. Universidad del valle. ■ Wikipedia Actividad ■ Realizar un ensayo
