Lámina Números complejos

Matemática
Lámina coleccionable
“Números complejos”
Síntesis de contenidos
•
Números imaginarios
(𝕀)
1
Son todos los números de la forma bi, donde b es un número real e i la unidad
imaginaria, igual a la raíz cuadrada de uno negativo. Es decir,
i = �–1
•
Unidad imaginaria
i = �–1
i 2 = –1
i 3 = i ∙ i 2 = –i
i4 = i2 ∙ i2 = 1
i5 = i4 ∙ i = i
i 6 = i 4 ∙ i 2 = –1
i 4p = 1
i (4p + 1) = i
i (4p + 2) = –1
i (4p + 3) = –i
, con p un número natural.
•
Números complejos
(ℂ)
-- Son todos los números de la forma z = a + bi, donde a y b números reales e i la unidad
imaginaria.
-- Si a + bi = c + di (con a, b, c y d reales), entonces a = c y b = d
•
Definiciones
-- Parte real de z o Re(z): Es aquel número que no es factor de la unidad imaginaria. Es decir,
si z = a + bi, entonces a es la parte real.
-- Parte imaginaria de z o Im(z): Es el número que es factor de la unidad imaginaria. Es decir,
si z = a + bi, entonces b es la parte imaginaria.
-- Módulo o valor absoluto de z: Distancia positiva entre dicho número y el cero. Su símbolo
es | z |, donde | z | = �[Re(z)]2 + [lm(z)]2
-- Conjugado de z: Número simétrico de z con respecto al eje real. Su símbolo es z, donde
z = a – bi, si z = a + bi
-- Inverso aditivo: Si z = a + bi, entonces su inverso aditivo es – z = – a – bi, ya que
z + (– z) = a + bi + (– a – bi) = 0 + 0i
-- Inverso multiplicativo: Es igual al cociente entre el conjugado de z y el cuadrado del
z
1
módulo de z. Es decir, z−1 = =
, con z ≠ 0 + 0i
z | z |2
•
Suma y resta en
complejos
Se suman o restan las partes reales con las reales y las imaginarias con las imaginarias.
Es decir, si z1 = a + bi y z2 = c + di, entonces z1 ± z2 = (a ± c) + (b ± d)i
•
Multiplicación en
complejos
-- Complejo por un escalar: Se multiplica tanto la parte real como la imaginaria por el valor
del escalar. Es decir, m · z = m · (a + bi) = m · a + m · bi , con m un número real.
•
División en complejos Se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor. Es decir, si z1 y z2 son
complejos, entonces
1
z1
= z1 ·
z2
z2
LAMCAC032MT21-A16V1
-- Complejo por complejo: Se multiplican término a término. Es decir, si z1 = a + bi y z2 = c + di,
entonces z1 · z2 = (a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac – bd) + (ad + bc)i
Ejercicios propuestos
1
(ai)14 =
4
A)– a14i
Sea z1 = 5 + 3i y z2 = 1 – 4i, entonces
z1 · z2 – (z1 + z2) es
A) 11 + i
B)– a14
B) 11 – 16i
C)– a
C) 11 – 18i
D) ai
D) – 14 – 16i
E) a14i
E) – 14 – 18i
2
Sea z = − 4 + 3i. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
|z|=5
[(3 – 2i) – (– 4 + i)]2 =
A)
– 8 + 6i
B)
10 + 6i
C)
40 − 42i
A) Solo I
D)
49 − 9i
B) Solo II
E)
58 − 42i
II) z = 4 – 3i
III)
1
–4 3
– i
=
z
25 25
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
3
5
Si z = − 2i, entonces (z · z) + 3z es
A)
– 10i
B)
– 4 – 6i
C)
4 – 6i
D)
– 2i
E)
4 + 6i
2