Los números complejos

Los números complejos
Clasificación de números
Naturales
Complejos
Reales
Racionales
Enteros
0: Cero
Enteros negativos
Fraccionarios
Irracionales
Imaginarios
NÚMEROS COMPLEJOS
Existen ecuaciones que carecen de solución en el conjunto de los
números reales. Por ejemplo, la ecuación (1): x²+9=0 no tiene
solución real ya que no existe ningún número real que elevado al
cuadrado dé -9.
El matemático hindú Bhaskara (1114-1178) ya hacía referencia en su
libro Lilavati a la inexistencia de la raíz cuadrada de un número
negativo.
Girolamo Cardano (1501-1576), matemático y médico italiano, fue el
primero en escribir las raíces de números negativos solución de una
ecuación de segundo grado, aunque especificando que no tenían
sentido.
Euler (1707-1783) introdujo una nomenclatura específica para resolver
raíces de números negativos.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) culminó la construcción de un nuevo
conjunto numérico, el de los números complejos.
La unidad imaginaria, i, es el número que elevado al cuadrado
da -1.
De esta forma el resultado de la ecuación (1) es 3i o bien -3i,
expresiones que elevadas al cuadrado dan -9.
Una expresión de la forma a + b i, en la que a y b son dos números
reales cualesquiera e i es la unidad imaginaria, se denomina número
complejo.
Escribiremos z = a + b i, donde a es la parte real del número
complejo z y b es la parte imaginaria de z. La expresión a + bi
recibe el nombre de forma binómica del número complejo z.
Si la parte imaginaria es cero, tenemos un número real. Si la parte
real es cero, un número imaginario puro.
Representación gráfica de los números complejos.
Los números complejos se representan en un plano infinito que
llamaremos plano complejo, de modo que la parte real se represente
en el eje de abscisas, llamado EJE REAL, y la parte imaginaria en el
eje de ordenadas, llamado EJE IMAGINARIO
Actividades:
a).- Representar los siguientes números complejos: -3i, 2-3i, -3+i, 4,
-5, 4i, 3+4i.
b).- Dónde aparecen representados los números reales? y los números
imaginarios puros.?
- Suma, multiplicación y división de números
complejos en forma binómica.
Dados dos números complejos z = a + bi y w = c + di.
Definimos:
Suma.- Para sumar dos o más números complejos se suman las
partes real e imaginaria de cada uno de ellos.
z + w = (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i
Multiplicación.- Para multiplicar números complejos se aplica la
propiedad distributiva teniendo en cuenta que i 2 = -1.
z . w = (a + bi) . (c + di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
División.- Para dividir dos números complejos se multiplica el
numerador y el denominador por el conjugado del denominador. (El
conjugado de un número complejo es otro número complejo que tiene
la misma parte real y la parte imaginaria cambiada de signo).
Potencias de la unidad imaginaria
i0 = 1
i1 = i
i2 = −1
i3 = −i
i4 = 1
Números complejos iguales, conjugados y opuestos
1
Calcular k para que el número complejo que obtenemos de la siguiente división esté
representado en la bisectriz del primer cuadrante.
2
Hallar el valor de k para que el cociente
1
Un número imaginario puro.
2
Un número real.
sea: