Guías de estudio Matemáticas III° Medio

ROYAL AMERICAN SCHOOL
Asignatura: Matemática.
Profesora: Valeska Rubilar Polo.
GUÍA DE APOYO. MATEMÁTICA
UNIDAD: Números complejos y Raíces.
Nombre :_______________________________ Curso: 3ro Medio Fecha: ________
El siguiente instrumento tiene como objetivo reforzar lo que has aprendido durante la unidad de
raíces., es por esto, se pide que leas atentamente toda la guía antes de comenzar a resolverla.
Números complejos y
INSTRUCCIONES:
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La guía consta de contenido que te ayudara a reforzar la materia y además tiene 44 ejercicios a desarrollar.
ANTES DE COMENZAR TU GUÍA LEE BIEN, NO TE APURES INNECESARIAMENTE.
Desarrolla a un costado del ejercicio cuando sea necesario, si te falta espacio resuelve al reverso de la hoja
escribiendo ítem y letra si corresponde.
No puedes usar celular, ni calculadora.
Números Complejos
Unidad imaginaria: Se llama así al número
y se designa por la letra i.
Números imaginarios: Un número imaginario se denota por bi, donde : b es un número real, e i es
la unidad imaginaria. Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y
radicando negativo. Por ejemplo:
1) x2 + 9 = 0
Potencias de la unidad imaginaria
i0 = 1
i1 = i
i2 = −1
i 3 = −i
i4 = 1
Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada
potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia
equivalente a la dada.
Recuerda:
i
22
22 : 4 = 4
2 (resto de la división)
Ejemplo: i22 = (i4)5 · i2 = − 1
-Si el resto es 0 entonces es igual a 1
-Si el resto es 1 entonces es igual a i
-Si el resto es 2 entonces igual a - 1
-Si el resto es 3 entonces igual a – i
Números complejos en forma binómica o canonica
Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica.
El número a se llama parte real del número complejo.
El número b se llama parte imaginaria del número complejo.
Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.
Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.
Operaciones con números complejos en la forma binómica
Suma y diferencia de números complejos
La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales entre
sí y las partes imaginarias entre sí.
En general:


(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Ejemplo:
1. (5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i) = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i
Multiplicación de números complejos
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto
respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Ejemplo:
1. (5 + 2i) · (2 − 3i) =10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i
División de números complejos
El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es,
multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste.
En general:

Ejemplo:
1.
Ejercicios
1) Dados los números complejos siguiente:
z1  3  3i
z 2  4  4 3i
1
z 3   3i
2
realiza las siguientes operaciones con ellos:
z1  z 2
z1
d)
z2
a)
g) z1
2
b)
z1  z 2
c)
z1·z 2
e)
z1  z 3
f)
z1·z3  z 2
h)
z3
i)
z1 ·z 2
z3
2
2) Realizar las siguientes operaciones con números complejos:
a) 5  2i    1  4i 

c)  2  2i  2  2 2i

e)  2  2i
b)


2
g) 3i (- 4 + 2i) + 5 (1 - i)
d)
3  4i
5  2i
 10  4i
3  2i
f) 12 + 6i - 4 + 7i + 3 - 5i
h) 5(−2 + 𝑖) − 2(3𝑖 − 2) − 8
i)
3i
9
j)
16i
4
k)
12i
i
l)
6
i
ll) 4  i 
m) 2i  7 
n) ( 6 – 2i ) ( 6 + 2i)
ñ) ( 8 – i ) ( 8 + i)
2
2
Raíces
1.
Calcule las siguientes raíces.
2.
a)
25
b)
36
c)
81
d)
144
e)
625
f)
0,25
Aplica las propiedades de las raíces y potencias para reducir las siguientes
expresiones:
a)
6· 5
b)
7· 7
c)
e)
4 1
·
3 2
f)
2 2 · 2 2
g)
j)
45 : 5
k) 2 5
i)

x2  x2

2
3.Efectúa las siguientes operaciones:
a) 2√3 + 11√3 + 6√2 − 12√3 + 14√3
b) √5 + 2√7 + 7√2 − 12√5 + 6√7
5· 5

d)
yx


3

2
81 : 3 3
h) 6 

5  31
l)
2x  1

2
5( 2  5)