UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS Y TECNOLÓGICAS
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA PROFESIONAL DE ING. DE MINAS
TEMA:
TRABAJO GRUPAL DE PROBLEMAS DE DERIVADAS.
“05”
GRUPO:
CURSO:
Análisis Matemático II
DOCENTE:
CASTILLO PEREDA, Esteban
CICLO:
III
FECHA:
07/05/19
ALUMNOS:
Mostacero Verástegui, David
Gastañadui Miñano, Gustavo
Julian Romero, Alfredo
Salgado Bacilio, Javin
Flores Culquechicon , Angel
TRUJILLO - PERÚ
I) CALCULAR LAS SIGUIENTES DERIVADAS, USANDO DEFINICIÓN:
A)
𝒙𝟐 −𝟏
𝑭(𝒙) =
𝒙𝟐 +𝟏
Solución:
-
La definición de limite nos dice que:
𝑓 (𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ→0
ℎ
𝐹 ′(𝑥) = lim
(𝑥 + ℎ)2 − 1 𝑥 2 − 1
−
(𝑥 + ℎ)2 + 1 𝑥 2 + 1
𝐹 ′(𝑥) = lim
ℎ→0
ℎ
[(𝑥 + ℎ)2 − 1](𝑥 2 − 1) − (𝑥 2 − 1) [(𝑥 + ℎ)2 + 1]
ℎ→0
ℎ[(𝑥 + ℎ)2 + 1](𝑥 2 + 1)
𝐹 ′(𝑥) = lim
𝑥 2 [(𝑥 + ℎ)2 − 1 − (𝑥 + ℎ)2 − 1] + [(𝑥 + ℎ)2 − 1 + (𝑥 + ℎ)2 + 1]
ℎ→0
ℎ[(𝑥 + ℎ)2 + 1](𝑥 2 + 1)
𝐹 ′(𝑥) = lim
−2𝑥 2 + 2(𝑥 + ℎ)2
ℎ→0 ℎ[(𝑥 + ℎ)2 + 1](𝑥 2 + 1)
𝐹 ′(𝑥) = lim
−2𝑥 2 + 2𝑥 2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2
ℎ→0 ℎ[(𝑥 + ℎ)2 + 1](𝑥 2 + 1)
𝐹 ′(𝑥) = lim
4𝑥ℎ + 2ℎ2
4𝑥 + 2ℎ
= lim
2
2
ℎ→0 ℎ[(𝑥 + ℎ) + 1](𝑥 + 1)
ℎ→0 [(𝑥 + ℎ)2 + 1](𝑥 2 + 1)
𝐹 ′(𝑥) = lim
𝐹 ′(𝑥) =
II)
(𝑥 2
4𝑥
+ 1)2
𝒅𝒚
HALLAR LA DERIVADA 𝒅𝒙 SI:
𝟑
A) y =
√𝒙𝟑 +𝟑𝒙𝟐
𝒙
SOLUCIÓN:
-
Aplicaremos la derivada de un cociente:
𝑑 𝑓(𝑥)
𝑓 ′ (𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′ (𝑥)
[
]=
[𝑔(𝑥)]2
𝑑𝑥 𝑔(𝑥)
(3𝑥 2 + 6𝑥)
3
− √𝑥 3 + 3𝑥 2
3
𝑑𝑦
3(√(𝑥 3 + 3𝑥 2 )2
=
𝑑𝑥
𝑥2
𝑑𝑦
𝑥 3 + 2𝑥 2 − 𝑥 3 − 3𝑥 2
=
3
𝑑𝑥
𝑥 2 (√(𝑥 3 + 3𝑥 2 )2
𝑑𝑦
−𝑥 2
=
3
𝑑𝑥
𝑥 2 (√(𝑥 3 + 3𝑥 2 )2
𝑑𝑦
−1
= 3
𝑑𝑥
(√(𝑥 3 + 3𝑥 2 )2
𝒙𝟑 −𝟏
𝟒
B) y = (𝟐𝒙𝟑 +𝟏)
SOLUCIÓN:
-
Para resolver este ejercicio usaremos principalmente la siguiente regla de
la derivada:
𝑑 𝑛
𝑣 = 𝑛𝑣 𝑛−1 . 𝑣′
𝑑𝑥
𝑥 3 −1
4
y = (2𝑥 3 +1)
3
𝑑𝑦
𝑥3 − 1
𝑥3 − 1
= 4( 3
) ( 3
)
𝑑𝑥
2𝑥 + 1
2𝑥 + 1
′
3
3𝑥2 (2𝑥3 + 1) − 6𝑥2 (𝑥3 − 1)
𝑑𝑦
𝑥3 − 1
= 4( 3
)
) (
2
𝑑𝑥
2𝑥 + 1
(2𝑥3 + 1)
3
𝑑𝑦
𝑥3 − 1
6𝑥5 + 3𝑥2 − 6𝑥5 + 6𝑥2
= 4( 3
)
) (
2
𝑑𝑥
3
2𝑥 + 1
(2𝑥 + 1)
3
𝑑𝑦
𝑥3 − 1
= 4( 3
) (
𝑑𝑥
2𝑥 + 1
𝑑𝑦 36𝑥2 (𝑥3 − 1)
=
5
𝑑𝑥
(2𝑥3 + 1)
3
9𝑥2
3
(2𝑥 + 1)
2
)
𝒙𝟐𝒏 −𝟏
C) y = arc.cos (𝒙𝟐𝒏 +𝟏)
SOLUCIÓN:
Para la resolución de este ejercicio aplicaremos la regla de la derivada de una
función inversa, en este caso el arco-coseno.
𝑑
−𝑣′
arccos 𝑣 =
𝑑𝑥
√1 − 𝑣 2
𝑥 2𝑛 −1
y = arc.cos (𝑥 2𝑛+1)
′
𝑑𝑦
=
𝑑𝑥
−(
𝑥2𝑛 − 1
)
𝑥2𝑛 + 1
2
2𝑛
√1 − (𝑥 − 1)
2𝑛
𝑥
+1
(𝑥2𝑛 + 1)(𝑥2𝑛 − 1)′ − (𝑥2𝑛 + 1)′ (𝑥2𝑛 − 1)
𝑑𝑦
=−
𝑑𝑥
(𝑥2𝑛 + 1)
2
2
2𝑛
√1 − (𝑥 − 1)
2𝑛
𝑥
+1
(𝑥2𝑛 + 1) (2𝑛𝑥2𝑛−1 ) − (2𝑛𝑥2𝑛−1 ) (𝑥2𝑛 − 1)
𝑑𝑦
=−
𝑑𝑥
(𝑥2𝑛 + 1)√𝑥4𝑛 + 2𝑥2𝑛 + 1 − 𝑥4𝑛 + 2𝑥2𝑛 − 1
(𝑥2𝑛 + 1) (2𝑛𝑥2𝑛−1 ) − (2𝑛𝑥2𝑛−1 ) (𝑥2𝑛 − 1)
𝑑𝑦
=−
𝑑𝑥
(𝑥2𝑛 + 1)√𝑥4𝑛 + 2𝑥2𝑛 + 1 − 𝑥4𝑛 + 2𝑥2𝑛 − 1
2𝑛−1
(2𝑛𝑥
) (𝑥2𝑛 + 1 − 𝑥2𝑛 + 1)
𝑑𝑦
=−
𝑑𝑥
(𝑥2𝑛 + 1)√4𝑥2𝑛
2𝑛−1
(2𝑛𝑥
) (2)
𝑑𝑦
=−
𝑑𝑥
(𝑥2𝑛 + 1)2𝑥𝑛
2𝑛−1
(2𝑛𝑥
)
𝑑𝑦
= − 2𝑛
𝑑𝑥
(𝑥 + 1)𝑥𝑛
𝑑𝑦
2𝑛𝑥𝑛−1
= − 2𝑛
𝑑𝑥
𝑥 +1
VI
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Problema 07: Hallar la derivación implícita
y.sen(x)-cos(x-y) =0
Desarrollo:
Vamos a asignarle una letra a nuestra función, por ejemplo:
E = y.sen(x)-cos(x-y)
» Derivada respecto a x:
𝐸𝑥 = 𝑌𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑆𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦)
» Derivada respecto a Y:
𝐸𝑦 = 𝑆𝑒𝑛(𝑥) − 𝑆𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦)
Entonces la derivada de Y respecto a X :
𝑑𝑦 𝐸𝑥
𝑌𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑆𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦)
=
= −
𝑑𝑥 𝐸𝑦
𝑆𝑒𝑛(𝑥) − 𝑆𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦)
Problema 21: Hallar la derivación implícita
𝑥3 𝑦2
7
+ 3=
2
𝑦
𝑥
3
Desarrollo:
Llamaremos E a nuestra función:
E=
𝑥3
𝑦2
+
𝑦2
𝑥3
7
−
3
» Derivada respecto a x:
𝐸𝑥 =
3𝑥 3
𝑦2
−
3𝑦 2
𝑥4
» Derivada respecto a y:
2𝑦 3 2y
𝐸𝑦 = − 3 + 3
𝑦
𝑥
Entonces tenemos que la derivada de y respecto a x:
−3𝑥 6 + 3𝑦 4
3𝑥 3 3𝑦 2
−
4
2
𝑑𝑦 𝐸𝑥
3y(−𝑥 6 + 𝑦 4 ) 3y
𝑥
𝑦
𝑦 2𝑥 4
=
= −
=
=
=
2𝑦 3 2y
2𝑥 6 + 2𝑦 4 2x(−𝑥 6 + 𝑦 4 ) 2x
𝑑𝑥 𝐸𝑦
− 3 + 3 −
𝑦
𝑥
𝑦3𝑥3
VII
DERIVADAS DE FUNCIONES Y= (𝐟(𝐱))𝒈(𝒙)
Problema 03:
y = (1 + 𝑥 2 )𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)
Desarrollo:
Tomando logaritmos:
Ln(y) = Ln[(1 + 𝑥 2 )𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) ] ---------------» Ln(y) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)(1 + 𝑥 2 )1
Derivando:
y′ Ln(1 + 𝑥 2 ) 2X𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)
=
+
y
(1 + 𝑥 2 )
(1 + 𝑥 2 )
dy
Ln(1 + 𝑥 2 ) 2X𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)
Ln(1 + 𝑥 2 ) 2X𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)
2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)
= y[
+
]
=
(1
+
𝑥
)
[
+
]
(1 + 𝑥 2 )
(1 + 𝑥 2 )
(1 + 𝑥 2 )
(1 + 𝑥 2 )
dx
ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y NORMAL
Problema 05: Forma la ecuación de la normal a la línea 𝑦 = −√𝑥 + 2 en el punto
de su intersección con la bisectriz del primer ángulo coordenado
Desarrollo:
• La bisectriz en el primer ángulo seria: y = x
• La intersección con la curva 𝑦 = −√𝑥 + 2 − − − » 𝑥 = −√𝑥 + 2
𝑥 + √𝑥 − 2 = 0
(√𝑥 − 1)(√𝑥 + 2) = 0 ---------» √𝑥 − 1 = 0 − − − − − »
𝑥 = 1;𝑦 = 1
• Derivando la ecuación dada: 𝑦 = −√𝑥 + 2
dy
= −2
dx
1
√𝑥
para x = 1 ---»
dy
1
=2
dx
• La ecuación de la recta seria: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 ) ; la pendiente nos salió ½
•Remplazando seria: y − 1 = 1/2(𝑥 − 1) -----------» 2y − x − 1 = 0
Problema 12: Obtener una ecuación de la recta tangente a la curva
Y= (7X -6)1/3 que es perpendicular a la recta 12x – 7y + 2 = 0.
SOLUCION
Derivamos la ecuación de la curva:
Pendiente de la recta dada: m =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=−
7
(7x – 6)-4/3
3
12
7
La pendiente de la perpendicular : m’ = -
7
, luego igualando este valor a la deriva
12
hallada.
7
7
3
12
− (7𝑥 − 6)4/3 =
4=(7x – 6)4/3
(2√2)+6
7𝑥 − 6 = 2√2
7
y =(2√2 + 6 − 6)-1/3 =
Y – Y =m(x – x1)
Luego la tangente:
64 =(7x – 6)4
1
√2
Y=
−
7
12
1
√2
(𝑥 − (2√2)+6
)
7
𝑑𝑦
Problema 39: Hallar 𝑑𝑥 de las funciones siguientes dadas en forma parametricas:
1
1 2
[sec(
)]
2
2
𝑡
tan( )
2
e. X’ = a [
X’ = a [
2
− sin 𝑡 − cos 𝑡];
1
𝑡
𝑡
sin(2) cos(2)
X’= 𝑎 [
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
− sin 𝑡 − cos 𝑡] ;
1−sin 𝑡 2 −sin 𝑡 cos 𝑡
𝑠𝑒𝑛𝑡
];
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑎(cos 𝑡−sin 𝑡)
𝑎(1−sin 𝑡2+− sin 𝑡 cos 𝑡)
sin 𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑡
cos 𝑡
=
𝑎𝑠𝑒𝑛𝑡(cos 𝑡−sin 𝑡)
𝑎(cos 𝑡 2 −sin 𝑡 cos 𝑡)
= tg(t)
Y’= acos 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
I) Determinar los puntos críticos, intervalos donde la función es creciente y decreciente,
los máximos y mínimos relativos.
Problema 04:
4
5
F(x) =1 − (𝑥 − 2)
SOLUCIÓN
Dominio: D ={X€R/X≥}
𝑑𝑓(𝑥)
Primera derivada :
𝑑𝑥
Decrece: X€<2, ∞>
4
= − (𝑥 − 2)1/5
5
crece: €<-∞,2>
;
Máximo relativo: x = 2
3
𝑓(𝑥) = √(𝑥 2 − 𝑎2 )2
Pregunta 16:
Solución:
Primero vamos a calcular el dominio:
𝐷 = {𝑥 𝜖 ℝ}
Luego vamos a calcular su primera derivada y sus puntos críticos:
3
𝑓(𝑥) = √(𝑥 2 − 𝑎2 )2 ; hacemos de la raíz un exponente:
𝑓(𝑥) = (𝑥 2 − 𝑎2 )2/3; ahora derivamos:
2
𝑓′(𝑥) = 3 (𝑥 2 + 𝑎2 )1−2/3 (𝑥 2 + 𝑎2 )′
2
3
𝑓′(𝑥) = (𝑥 2 + 𝑎2 )−1/3 (2𝑥) = 0
Puntos críticos:
x = 0;
x = ±𝑎
Máximo; x = 0
;
de aquí hallamos los máximos y mínimos:
Mínimo: x = ±𝑎
Después vemos donde la función crece y decrece:
-Decrece en:
x ϵ < −∞, −𝑎 > U < 0, 𝑎 >
-Crece en:
x ϵ < −𝑎, 0 >, 𝑈 < 𝑎, +∞ >
Y ahora calculamos el máximo y mínimo:
Máximo relativo: x = 0
Mínimo relativo: x = ±𝑎
II) Construir las gráficas de las funciones indicando, los puntos de discontinuidad, los
puntos críticos, intervalos en donde es creciente y decreciente, los máximos y mínimos
relativos, los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad.
Problema 05: 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 3𝑥 3 + 3𝑥 2 + 1
Solución:
Primero calculamos el dominio:
𝐷 = {𝑥 𝜖 ℝ}
Calculamos sus puntos críticos en la primera derivada:
𝑓′(𝑥) = 𝑥 4 − 3𝑥 3 + 3𝑥 2 + 1
𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑥 3 − 9𝑥 2 + 6𝑥 = 0
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥(4𝑥 2 − 9𝑥 + 6) = 0
x = 0
Luego vamos a ver dónde crece y decrece la función:
-Decrece en:
x ϵ < −∞, 0 >
-Crece en:
xϵ <0+∞ >
Ahora calcularemos su extremo relativo:
-Para este paso necesitamos primeramente calcular la segunda derivada:
𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑥 3 − 9𝑥 2 + 6𝑥
𝑓′′(𝑥) = 12𝑥 2 − 18𝑥 + 6
x = 0
𝑓′′(0) = 6 ; 6 > 0
⟹ x = 0 ; es mínimo relativo
Concavidad:
𝑓 ′′ (𝑥) = 0 ⟹ 2𝑥 2 − 3𝑥 + 1 = 0
1
x = 1 ; x = 2
1
-Para: x ϵ < −∞, 2 > U < 1, ∞ > ; es cóncavo hacia arriba.
1
-Para: x ϵ(2 , 1) ; es cóncavo
hacia abajo.
Realizamos la gráfica:
14
12
x
-1
-0.5
0.5
1.5
2.5
y
10
f(x)
8
2.1875
1.4375
2.6875
11.9375
8
6
4
2
0
-2
-1
-2 0
1
-4
Pregunta 15:
𝑥3
𝑓(𝑥) = 3−𝑥2
Solución:
Calculamos el dominio:
𝐷 = {𝑥 𝜖 ℝ/𝑥 ± √3}
Hallamos su primera derivada:
𝑥 3 )′(3 − 𝑥 2 ) − (𝑥 3 )(3 − 𝑥 2 )′
𝑓′(𝑥) =
(3 − 𝑥 2 )2
3𝑥 2 (3 − 𝑥 2 ) − (2𝑥)𝑥 3
𝑓′(𝑥) =
(3 − 𝑥 2 )2
2
𝑥 (9 − 3𝑥 2 + 2𝑥 2 )
𝑓′(𝑥) =
(3 − 𝑥 2 )2
2 (9
𝑥
− 𝑥 2 ) 𝑥 2 (9 − 𝑥 2 )
′(𝑥)
𝑓
=
=
=0
(3 − 𝑥 2 )2
(3 − 𝑥 2 )2
Buscamos los puntos de concavidad utilizando segunda derivada:
9𝑥 2 − 𝑥 4
𝑓 ′ (𝑥) =
(3 − 𝑥 2 )2
(9𝑥 2 − 𝑥 4 )′ (3−𝑥 2 )2 − (9𝑥 2 − 𝑥 4 )((3−𝑥 2 )2 )′
𝑓 ′′ (𝑥) =
(3 − 𝑥 2 )4
(3−𝑥 2 )2 (18𝑥 − 4𝑥 3 ) − 2(−2𝑥)(3−𝑥 2 )(9𝑥 2 − 𝑥 4 )
(3 − 𝑥 2 )4
2 )(9
2)
2𝑥[(3−𝑥
− 2𝑥 + 9𝑥 2 − 𝑥 2 ] 2𝑥(27 + 3𝑥 2 )
′′ (𝑥)
𝑓
=
=
=0
(3 − 𝑥 2 )4
(3 − 𝑥 2 )4
⟹x = 0 ;
x = ±√3
𝑓 ′′ (𝑥) =
Ahora determinamos la concavidad de la función:
-Es cóncavo hacia arriba en x ϵ < −∞, −√3 > U < 0, √3 >
-Es cóncavo hacia abajo en x ϵ < −√3, 0 > U < √3, ∞ >
Graficamos:
2
3x
IV) PROBLEMA SOBRE MÁXIMOS Y MINIMOS
Problema 05: Una hoja de papel tiene A 𝑐𝑚2 de material impreso, con márgenes
superior e inferior de 4cm, y márgenes laterales de 2 cm. Determinar cuales deben ser
las dimensiones de la hoja para que se use la menor cantidad de papel
Si A = xy , para las nuevas dimensiones
𝑁 = (𝑥 + 8)(𝑦 + 4)
𝑃𝑒𝑟𝑜: 𝑦 =
𝐴
𝑥
𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥;
𝑁 = 𝑥𝑦 + 8𝑦 + 4𝑦 + 32
;
𝑁=𝐴+
8𝐴
+ 4𝑥 + 32
𝑥
𝑑𝑁 8𝐴
= 2 + 4 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = √2𝐴
𝑑𝑥
𝑥
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 4 + √𝐴/2 =
8 + √2𝐴
2
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = √2𝐴 + 8
𝐴
𝑦=√
2
