12
Límites
y derivadas
1. Funciones especiales
PIENSA Y CALCULA
Completa la tabla siguiente:
x
– 3,6
3,6
0,8
– 0,8
Ent(x)
Dec(x)
|x|
Signo(x)
Solución:
x
– 3,6
3,6
0,8
– 0,8
Ent(x)
–4
3
0
–1
Dec(x)
0,4
0,6
0,8
0,2
|x|
3,6
3,6
0,8
0,8
Signo(x)
–1
1
1
–1
APLICA LA TEORÍA
1 Representa las siguientes funciones:
a) y = Ent(2x)
2 Representa las siguientes funciones:
b) y = signo(x – 1)
Solución:
b) y = |– x2 + 4|
a) y = |x + 2|
Solución:
a)
a)
Y
Y
y = Ent (2x)
X
X
b)
Y
Y
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
b)
y = signo (x – 1)
X
366
X
SOLUCIONARIO
3 Representa las siguientes funciones:
a) y = |log2 x|
Solución:
b) y = |sen x|
Y
Solución:
a)
X
Y
y = |log2 x|
X
5 Representa la siguiente función:
b)
y=
y = |sen x|
1 Y
π/2
0
1
2
π
3
4
3π/2
5
2π
6 X
{
1/x
si x < 0
3x – 2
si x Ó 0
Solución:
Y
–1
X
4 Representa la siguiente función:
y=
{
x+4
si x Ì – 1
x2
si x > – 1
2. Límites
PIENSA Y CALCULA
Completa la tabla y estima el valor al que tiende la función cuando x tiende al infinito:
x
10
100
1 000 10 000 100 000 1 000 000 …
x 8 +@
y8
y = 1/x
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
Solución:
x
10
y = 1/x
0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 …
100
1 000 10 000 100 000 1 000 000 …
x 8 +@
y8 0
APLICA LA TEORÍA
6 Calcula mentalmente los siguientes límites:
a) lím
x8 +@
(x4
–
7x3
+ x – 5)
b) lím (x4 – 7x3 + x – 5)
x8 – @
TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS
Solución:
a) lím (x4 – 7x3 + x – 5) = + @
x8 +@
b) lím (x4 – 7x3 + x – 5) = @
x8 – @
367
7 Calcula los siguientes límites y representa la fun-
8 Calcula mentalmente los siguientes límites:
ción correspondiente:
x2 – 4
a) lím
x8 2 x – 2
b) lím x + 4
x 8 – 4 x2 + 4x
a) lím
5x3 + 4x
2x3 + 1
b) lím
– x4 + 5x
7x3 – 4
c) lím
4n3 + 1
2n3 – 3
d) lím
– x4 + 5x
7x3 – 4
e) lím
n2 + 5
4n3 – 3
f) lím
x 8 +@
n8 +@
Solución:
[]
x2 – 4
0
(x + 2)(x – 2)
a) lím ——— = — = lím ————— =
x8 2 x – 2
x8 2
0
x–2
n 8 +@
x8 – @
x8 +@
x8 – @
5x3 + 4x
2x3 + 1
= lím (x + 2) = 4
x8 2
Solución:
Gráfica:
5x3 + 4x 5
a) lím ————
=—
x 8 + @ 2x3 + 1
2
Y
x2 – 4
y = ———
x–2
X
– x4 + 5x
b) lím ————
= +@
x 8 – @ 7x3 – 4
4n3 + 1
c) lím ————
=2
n 8 + @ 2n3 – 3
[]
x+4
0
x+4
b) lím ———
= — = lím ——— =
x8 – 4 x2 + 4x
x 8 – 4 x (x + 4)
0
1
1
= lím — = – —
x8 – 4 x
4
– x4 + 5x
d) lím ————
= –@
x 8 + @ 7x3 – 4
n2 + 5
e) lím ————
=0
n 8 + @ 4n3 – 3
5x3 + 4x 5
f ) lím ————
=—
x 8 – @ 2x3 + 1
2
Gráfica:
Y
x+4
y = ———
x2 + 4x
X
PIENSA Y CALCULA
Un coche va de Asturias a Andalucía; recorre 800 km en 8 horas. ¿Cuál es su velocidad media?
Solución:
800 = 100 km/h
Velocidad media = ——
8
368
SOLUCIONARIO
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
3. La derivada
APLICA LA TEORÍA
Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica:
9 f(x) = 3x + 1 en [2, 4]
Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas:
17 y = 3
Solución:
Solución:
y’ = 0
f(4) – f(2) 13 – 7
TVM[2, 4] = ———— = ——— = 3
4–2
2
18 y = x
10 f(x) = x2 – 1 en [2, 3]
Solución:
Solución:
f(3) – f(2) 8 – 3
TVM[2, 3] = ———— = ——— = 5
3–2
1
y’ = 1
19 y = x2
Solución:
2
11 f(x) =
en [1, 3]
x
y’ = 2x
Solución:
20 y = x5
f(3) – f(1) 2/3 – 2
2
TVM[1, 3] = ———— = ——— = – —
3–1
2
3
Solución:
y’ = 5x4
12 f(x) = √x en [0, 4]
21 y = x5 + x2 + x + 3
Solución:
f(4) – f(0) 2 – 0 1
TVM[0, 4] = ———— = ——— = —
4–0
4
2
Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de
las siguientes funciones en los puntos que se indica:
13 f(x) = 2x + 3 en x = 1
Solución:
y’ = 5x4 + 2x + 1
22 y = 5x2 – 7x + 3
Solución:
y’ = 10x – 7
Solución:
f’(1) = 2
23 y = x3 + 3x2 – 4x + 2
Solución:
14 f(x) = – 3x + 1 en x = 2
y’ = 3x2 + 6x – 4
Solución:
f’(2) = – 3
15 f(x) = x2 en x = 3
24 y = (3x + 5)4
Solución:
y’ = 12(3x + 5)3
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Solución:
f’(3) = 6
16 f(x) = – x2 + 3 en x = 2
25 y = ex
Solución:
y’ = ex
Solución:
f’(2) = – 4
TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS
26 y = e3x – 5
369
Solución:
32 y = x L x
y’ = 3e3x – 5
Solución:
27 y = L x
y’ = 1 + L x
Solución:
33 y = ex L x
1
y’ = —
x
Solución:
28 y = L (3x – 1)
Solución:
ex
y’ = ex L x + —
x
x
34 y = e
x
3
y’ = ——
3x – 1
Solución:
29 y = L (x2 + 5x – 6)
(x – 1) ex
y’ = ———
x2
Solución:
2x + 5
y’ = ————
x2 + 5x – 6
35 y =
2x + 3
x
Solución:
30 y = 7x
Solución:
3
y’ = – —2
x
y’ = 7
36 y =
31 y = x ex
5x – 1
3x + 2
Solución:
Solución:
y’ = (x + 1)ex
13
y’ = ———2
(3x + 2)
PIENSA Y CALCULA
Si la pendiente de una recta es m = 2, calcula la pendiente m2 de cualquier recta perpendicular.
Solución:
1
Las pendientes son inversas y opuestas, m2 = – —
2
370
SOLUCIONARIO
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
4. Aplicaciones de la derivada
APLICA LA TEORÍA
37 Halla la recta tangente a la curva y = x2 + 2x para
x = 1. Dibuja la función y la recta tangente.
Solución:
y’ = 2x – 6
Solución:
2x – 6 = 0, x = 3, y = – 4,A(3, – 4)
Recta tangente: y = 4x – 1
y’’ = 2
f’’(2) = 2 > 0 ò A(3, – 4) mínimo relativo.
Y
Y
f(x) = x2 + 2x
P(1, 3)
f(x) = x2 – 6x + 5
X
X
y = 4x – 1
A(3, – 4)
38 Calcula la recta normal a la curva y = x2 – 5 para
x = 2. Dibuja la función y la recta normal.
41 Halla los máximos y mínimos relativos de la fun-
ción y = – x2 + 4x. Dibuja la función.
Solución:
Solución:
1
1
Recta normal: y = – — x – —
4
2
y’ = – 2x + 4
– 2x + 4 = 0, x = 2, y = 4,A(2, 4)
Y
y’’ = –2
f(x) = x2 – 5
f’’(2) = –2 < 0 ò A(2, 4) Máximo relativo.
X
1x–—
1
y = –—
4
2
Y
A(2, 4)
P(2, – 1)
X
39 Halla las rectas tangente y normal a la curva y = x2
f(x) = – x2 + 4x
para x = 2. Dibuja la función y las rectas tangente y
normal.
42 Calcula el crecimiento de la función y = x2 – 2x – 3.
Solución:
Dibuja la función.
Recta tangente: y = 4x – 4
1
9
Recta normal: y = – — x + —
4
2
Y
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
f(x) = x2
1x+—
9
y = –—
4
2
P(2, 4)
X
y = 4x – 4
Solución:
Hay que hallar previamente los máximos y mínimos
relativos:
y’ = 2x – 2
2x – 2 = 0, x = 1, y = – 4,A(1, – 4)
y’’ = 2
f’’(1) = 2 > 0 ò A(1, – 4) mínimo relativo.
Crecimiento:
Discontinuidades: no hay.
40 Calcula los máximos y mínimos relativos de la
función y = x2 – 6x + 5. Dibuja la función.
TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS
f’(x)
x
0 1
371
44 Calcula el crecimiento de la función y = 3x. Dibu-
y’ = 2x – 2
ja la función.
f’(0) = –
f’(x)
–
Solución:
+
y’ = 3 > 0, es siempre creciente.
0 1
x
( ) = (1, + @)
8
Y
8
( ) = (– @, 1)
Y
X
f(x) = 3x
X
f(x) = x2 – 2x – 3
A(1, – 4)
43 Halla el crecimiento de la función y = – x2 + 6x – 4.
Dibuja la función.
45 Halla el crecimiento de la función y = – 2x. Dibuja
la función.
Solución:
Hay que hallar previamente los máximos y mínimos
relativos:
Solución:
y’ = – 2 < 0, es siempre decreciente.
y’ = – 2x + 6
Y
– 2x + 6 = 0, x = 3, y = 5,A(3, 5)
y’’ = – 2
f(x) = – 2x
f’’(3) = – 2 < 0 ò A(3, 5) Máximo relativo.
X
Crecimiento:
Discontinuidades: no hay.
f’(x)
x
0 1
3
y’ = – 2x + 6
f’(0) = +
f’(x)
+
0 1
x
–
46 Calcula los máximos y mínimos relativos de la
3
función y = x3 – 3x
8
( ) = (– @, 3)
Solución:
8
( ) = (3, + @)
y’ = 3x2 – 3
Y
3x2 – 3 = 0, x2 – 1 = 0, x2 = 1, x = 1, x = – 1
P(3, 5)
x = 1, y = – 2,A(1, – 2)
x = – 1, y = 2, B(– 1, 2)
y’’ = 6x
f(x) = – x2 + 6x – 4
372
f’’(1) = 6 > 0 ò A(1, – 2) Mínimo relativo.
f’’(– 1) = – 6 < 0 ò B(– 1, 2) Máximo relativo.
SOLUCIONARIO
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
X
Ejercicios y problemas
1. Funciones especiales
51 Representa la siguiente función:
47 Representa la siguiente función: y = Ent(x/2)
y=
Solución:
{
2x
si x Ì 0
– x2
si x > 0
Solución:
Y
Y
X
X
48 Representa la siguiente función:
52 Representa la siguiente función:
y = Signo(x2 – 1)
y=
Solución:
Y
{
–x
si x < 1
log1/2 x
si x Ó 1
Solución:
Y
X
X
49 Representa la siguiente función:
y = |x2 – 2x – 3|
2. Límites
Solución:
Y
53 Calcula mentalmente los siguientes límites:
a) lím (– x3 + 5x – 3)
x 8 +@
b) lím (– x3 + 5x – 3)
X
x8 – @
y = |x2 – 2x – 3|
Solución:
a) lím (– x3 + 5x – 3) = – @
x8 +@
b) lím (– x3 + 5x – 3) = + @
50 Representa la siguiente función en el intervalo
[0, 2π]: y = |cos x|
x8 – @
54 Calcula el siguiente límite:
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
Solución:
1
lím
y = |cos x|
Y
2x + 4
x+2
Representa la función correspondiente.
π/2
0
x8 –2
1
2
π
3
3π/2
4
–1
TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS
5
2π
6
X
Solución:
[]
2x + 4
0
2 (x + 2)
lím ——— = — = lím ——— = lím 2 = 2
x8 2 x + 2
x8 2
x+2
0
x8 2
373
Ejercicios y problemas
Gráfica:
Solución:
5x4 – 1
a) lím ————
= –5
x 8 + @ – x4 + 2x
Y
2x + 4
y = ———
x+2
X
5x4 – 1
b) lím ————
= –5
x 8 – @ – x4 + 2x
58 Calcula mentalmente los siguientes límites:
3n2 – 5
n 8 +@ n4 + 2n
n3 + n
b) lím
n 8 +@ – n3 – 2n
a) lím
55 Calcula el siguiente límite:
x–3
x2 – x – 6
Representa la función correspondiente.
lím
x8 3
3n2 – 5
a) lím ————
=0
n 8 + @ n4 + 2n
Solución:
[]
x–3
0
x–3
lím ————
= — = lím ————— =
x8 3 (x + 2)(x – 3)
0
x2 – x – 6
x8 3
Solución:
1
1
= lím —— = —
x8 3 x + 2
5
n3 + n
b) lím ————
= –1
n 8 + @ – n3 – 2n
59 Calcula mentalmente los siguientes límites:
Gráfica:
Y
x–3
y = ———
x2 – x – 6
X
– x5 + x 2
x 8 +@ x2 – x
– x5 + x 2
b) lím
x 8 – @ x2 – x
a) lím
Solución:
– x 5 + x2
a) lím ————
= –@
x 8 + @ x2 – x
56 Calcula mentalmente los siguientes límites:
– x5 + x2
b) lím ————
= +@
x 8 – @ x2 – x
a) lím – 2x + 7
x8 +@ x2 + 1
Solución:
3. La derivada
Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica:
– 2x + 7
a) lím ————
=0
x8 +@ x2 + 1
60 f(x) = 2x – 4 en [1, 3]
– 2x + 7
b) lím ————
=0
x8 – @ x2 + 1
f(3) – f(1) 2 + 2
TVM[1, 3] = ———— = ——— = 2
3–1
2
57 Calcula mentalmente los siguientes límites:
61 f(x) = x2 + 4x en [0, 2]
5x4
–1
+ 2x
5x4 – 1
b) lím
x8 – @ – x4 + 2x
a) lím
x8 +@
374
– x4
Solución:
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
b) lím – 2x + 7
x8 – @ x2 + 1
Solución:
f(2) – f(0) 12 – 0
TVM[0, 2] = ———— = ——— = 6
2–0
2
SOLUCIONARIO
62 f(x) =
6
en [2, 3]
x
Solución:
y’ = 7x6
Solución:
f(3) – f(2) 2 – 3
TVM[2, 3] = ———— = ——— = – 1
3–2
1
71 y = x7 – x3 + x + 9
Solución:
63 f(x) = √x + 5 en [– 1, 4]
Solución:
f(4) – f(– 1) 3 – 2 1
TVM[– 1, 4] = ———— = ——— = —
4+1
5
5
y’ = 7x6 – 3x2 + 1
72 y = 3x2 – 4x + 1
Solución:
y’ = 6x – 4
Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de
las siguientes funciones en los puntos que se indica:
73 y = x3 – 5x2 + 3x – 8
64 f(x) = 3x + 1 en x = 2
Solución:
Solución:
y’ = 3x2 – 10x + 3
f’(2) = 3
74 y = (2x – 3)5
65 f(x) = – 2x + 3 en x = 1
Solución:
Solución:
y’ = 10 (2x – 3)4
f’(1) = – 2
66 f(x) = x2 en x = – 3
75 y = e– 2x + 3
Solución:
Solución:
y’ = – 2e– 2x + 3
f’(– 3) = – 6
67 f(x) = – x2 + 5 en x = 1
Solución:
f’(1) = – 2
Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas:
68 y = 9
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
Solución:
76 y = L (5x + 2)
Solución:
5
y’ = ——
5x + 2
77 y = L (x2 – 3x + 1)
Solución:
y’ = 0
2x – 3
y’ = ———
x2 – 3x + 1
69 y = – x3
78 y = 9x
Solución:
Solución:
y’ =
– 3x2
70 y = x7
TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS
y’ = 9
79 y = (x + 1) ex
375
Ejercicios y problemas
Solución:
y’ = (x +
Y
2) ex
P(3, 3)
f(x) = x2 – 2x
X
80 y = x L (x – 5)
y = 4x – 9
Solución:
x
y’ = L (x – 5) + ——
x–5
86 Calcula la recta normal a la curva y = – x2 + 5 para
x = 2. Dibuja la función y la recta normal.
81 y =
e3x
Lx
Solución:
Solución:
e3x
y’ = 3e3x L x + —
x
1
1
Recta normal: y = — x + —
4
2
Y
1x —
1
y=—
+
4
2
P(2, 1) X
2x
82 y = e
x
Solución:
f(x) = – x2 + 5
1) e2x
(2x –
y’ = ———
x2
87 Halla las rectas tangente y normal a la curva
83 y =
x
x–1
y = x2 para x = 1. Dibuja la función y las rectas tangente y normal.
Solución:
Solución:
Recta tangente: y = 2x – 1
–1
y’ = ——2
(x – 1)
1
3
Recta normal: y = – — x + —
2
2
Y
f(x) = x2
84 y =
3x + 5
2x – 1
P(1, 1)
Solución:
y = 2x – 1
– 13
y’ = ——2
(2x – 1)
X
1x+—
3
y = –—
2
2
88 Calcula los máximos y mínimos relativos de la fun-
4. Aplicaciones de la derivada
85 Halla la recta tangente a la curva y = x2 – 2x para
x = 3. Dibuja la función y la recta tangente.
Solución:
y’ = 2x – 4
2x – 4 = 0, x = 2, y = – 4,A(2, – 4)
Solución:
y’’ = 2
Recta tangente: y = 4x – 9
f’’(2) = 2 > 0 ò A(2, – 4) mínimo relativo.
376
SOLUCIONARIO
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
ción y = x2 – 4x. Dibuja la función.
Y
Y
f(x) = x2 – 4x
f(x) = x2 – 6x + 4
X
X
A(2, – 4)
A(3, – 5)
89 Halla los máximos y mínimos relativos de la fun-
ción y = – x2 + 6x – 5. Dibuja la función.
91 Halla el crecimiento de la función siguiente:
Solución:
y = – x2 + 2x + 3. Dibuja la función.
y’ = – 2x + 6
Solución:
– 2x + 6 = 0, x = 3, y = 4,A(3, 4)
y’’ = – 2
f’’(3) = – 2 < 0 ò P(3, 4) Máximo relativo.
Y
Hay que hallar previamente los máximos y mínimos
relativos:
y’ = – 2x + 2
– 2x + 2 = 0, x = 1, y = 4,A(1, 4)
A(3, 4)
y’’ = – 2
X
f’’(1) = – 2 < 0 ò A(1, 4) Máximo relativo.
Crecimiento:
f(x) = – x2 + 6x – 5
Discontinuidades: no hay.
f’(x)
x
90 Calcula el crecimiento de la función siguiente:
y = x2 – 6x + 4. Dibuja la función.
0 1
y’ = – 2x + 2
f’(0) = +
Solución:
f’(x)
Hay que hallar previamente los máximos y mínimos
relativos:
–
+
x
0 1
2x – 6 = 0, x = 3, y = – 5,A(3, – 5)
( ) = (1, + @)
8
8
( ) = (– @, 1)
y’ = 2x – 6
Y
A(1, 4)
y’’ = 2
f’’(3) = 2 > 0 ò A(3, – 5) mínimo relativo.
f(x) = – x2 + 2x + 3
Crecimiento:
X
Discontinuidades: no hay.
f’(x)
0 1
3
y’ = 2x – 6
f’(0) = –
–
x
0 1
+
3
92 Calcula el crecimiento de la función y = 2x. Dibuja
la función.
8
f’(x)
( ) = (3, + @)
Solución:
( ) = (– @, 3)
y’ = 2 > 0, es siempre creciente.
8
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
x
TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS
377
Ejercicios y problemas
94 Calcula los máximos y mínimos relativos de la fun-
Y
ción y = – x3 + 3x
Solución:
X
y’ = – 3x2 + 3
f(x) = 2x
– 3x2 + 3 = 0, x2 – 1 = 0, x2 = 1, x = 1, x = – 1
x = 1, y = 2,A(1, 2)
x = – 1, y = – 2, B(– 1, – 2)
93 Halla el crecimiento de la función y = – 3x. Dibuja
la función.
y’’ = – 6x
f’’(1) = – 6 < 0 ò A(1, 2) Máximo relativo.
f’’(– 1) = 6 > 0 ò B(– 1, – 2) mínimo relativo.
Solución:
y’ = – 3 < 0, es siempre decreciente.
Y
f(x) = – 3x
X
Para ampliar
¿Puede haber más de una ecuación?
95 Representa la siguiente función:
y=
{
2x
si x Ì 1
2
x–1
Solución:
si x > 1
y = |2x – 3| o bien y = |– 2x + 3|
Solución:
97 Halla la ecuación de una función cuyo valor absoluto
Y
tenga como representación la siguiente gráfica:
Y
X
X
96 Halla la ecuación de una función cuyo valor absoluto
Y
¿Puede haber más de una ecuación?
Solución:
y = |x2 – 2x – 3| o bien y = |– x2 + 2x + 3|
X
98 Halla la ecuación de una función definida a trozos
cuya representación sea la siguiente gráfica:
378
SOLUCIONARIO
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
tenga como representación la siguiente gráfica:
Y
102 Calcula mentalmente los siguientes límites:
a) lím
2n3 + 1
5n2 – 7n
b) lím
n2 + 5n
n2 – 3n
n 8 +@
X
n 8 +@
Solución:
Solución:
y=
{
x2 + 2x – 3
si x Ì 1
– 3x + 5
si x > 1
99 Calcula mentalmente los siguientes límites:
a) lím (x3 – 5x2 – x + 7)
x8 1
b) lím
x8 0
5x3 + x2 – 10x + 6
x3 + 2x2 – 3
Solución:
a) lím (x3 – 5x2 – x + 7) = 2
x8 1
5x3
x2
+ – 10x + 6
b) lím ———————
= –2
x8 0
x3 + 2x2 – 3
100 Calcula mentalmente los siguientes límites:
a) lím (– x3 + 5x + 3)
x8 +@
2n3 + 1
a) lím ————
= +@
n 8 + @ 5n2 – 7n
n2 + 5n
b) lím ————
=1
n 8 + @ n2 – 3n
103 Calcula mentalmente los siguientes límites:
a) lím
– 6x3 + 9
2x3 – 3
b) lím
– 6x3 + 9
2x3 – 3
x 8 +@
x8 – @
Solución:
– 6x3 + 9
a) lím ————
= –3
x 8 + @ 2x3 – 3
– 6x3 + 9
b) lím ————
= –3
x 8 – @ 2x3 – 3
104 Calcula mentalmente los siguientes límites:
a) lím
3x – 1
– 7x3 + x
b) lím
3x – 1
– 7x3 + x
x 8 +@
b) lím (– x4 + 2x2 – 5x)
x8 – @
x8 – @
Solución:
a) lím (– x3 + 5x + 3) = – @
x8 +@
b) lím
x8 – @
(– x4
+
2x2
– 5x) = – @
101 Calcula mentalmente los siguientes límites:
a) lím
– 3x2 + 2x
5x2 – x
b) lím
– 3x2 + 2x
5x2 – x
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
x8 +@
x8 – @
Solución:
– 3x2
Solución:
3x – 1
a) lím ————
=0
x 8 + @ – 7x3 + x
3x – 1
b) lím ————
=0
x 8 – @ – 7x3 + x
105 Calcula el siguiente límite:
lím
x8 –1
x2 – 1
x2 + 3x + 2
Solución:
[]
x2 – 1
0
(x + 1)(x – 1)
lím ————
= — = lím ————— =
2
x 8 –1 (x + 1)(x + 2)
0
x + 3x + 2
+ 2x
3
a) lím ————
= –—
x8 +@ 5x2 – x
5
x 8 –1
– 3x2 + 2x
3
b) lím ————
= –—
x8 – @ 5x2 – x
5
x – 1 –2
= lím —— = — = – 2
x 8 –1 x + 2
1
TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS
379
Ejercicios y problemas
106 Calcula el siguiente límite:
lím
x8 2
x2 – 4x + 4
x2 – 2x
Solución:
[]
x2 – 4x + 4
0
(x – 2)2
lím —————
= — = lím ——— =
2
x8 2
x 8 2 x (x – 2)
0
x – 2x
x–2
lím —— = 0
x
x8 2
x8 1
Solución:
f(1) – f(– 1) 1 – 1
TVM[– 1, 1] = ———— = ——— = 0
1+1
2
Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de
las siguientes funciones en los puntos que se indica:
112 f(x) = 4x – 1 en x = 2
107 Calcula el siguiente límite:
lím
111 f(x) = x2 en [– 1, 1]
x3 – x2
x3 + 2x2 – 3x
Solución:
f’(2) = 4
113 f(x) = – x2 + 5 en x = 3
Solución:
[]
x3 – x2
0
x2 (x – 1)
lím ————
= — = lím ————— =
3
2
x8 1 x + 2x – 3x
x 8 1 x (x – 1)(x + 3)
0
Solución:
f’(3) = – 6
x
1
= lím —— = —
x8 1 x + 3
4
Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas:
108 Calcula el siguiente límite:
114 y = 4x4 – 5x2 – 6x + 2
lím
x8 –2
x2 + 4x + 4
x2 + 3x + 2
Solución:
y’ = 16x3 – 10x – 6
Solución:
[]
x2 + 4x + 4
0
(x + 2)2
lím ————
= — = lím ————— =
2
x8 –2 x + 3x + 2
x 8 –2 (x + 1)(x + 2)
0
115 y = (5x + 1)4
x+2
= lím —— = 0
x8 –2 x + 1
Solución:
109 Calcula el siguiente límite:
116 y = e5x – 2
lím
x8 7
y’ = 20 (5x + 1)3
2(x – 7)
x2 – 2x – 35
Solución:
y’ = 5e5x – 2
Solución:
2
2
1
= lím —— = — = —
x8 7 x + 5
12 6
Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica:
110 f(x) = 2x – 1 en [– 2, 1]
Solución:
f(1) – f(– 2) 1 + 5
TVM[– 2, 1] = ———— = ——— = 2
1+2
3
380
117 y = L (x2 + 5x)
Solución:
2x + 5
y’ = ——
x2 + 5x
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
[]
2(x – 7)
0
2(x – 7)
lím ————
= — = lím ————— =
x 8 7 (x + 5)(x – 7)
0
x2 – 2x – 35
x8 7
118 y = – x
Solución:
y’ = – 1
119 y = (x – 1) ex
SOLUCIONARIO
125 Calcula los máximos y mínimos relativos de la fun-
Solución:
y’ = x
ción y = x2. Dibuja la función.
ex
Solución:
120 y = (2x + 1) L x
y’ = 2x
Solución:
2x = 0, x = 0, y = 0,A(0, 0)
2x + 1
y’ = 2 L x + ——
x
y’’ = 2
f’’(0) = 2 > 0 ò A(0, 0) mínimo relativo.
Y
121 y =
2x + 3
4x – 5
f(x) = x2
X
Solución:
A(0, 0)
– 22
y’ = ——2
(4x – 5)
122 y =
– 2x + 1
3x + 4
126 Halla los máximos y mínimos relativos de la fun-
ción y = – x2. Dibuja la función.
Solución:
– 11
y’ = ——2
(3x + 4)
Solución:
y’ = – 2x
123 Halla la recta tangente a la curva y = x2 – 1 para
x = 2. Dibuja la función y la recta tangente.
– 2x = 0, x = 0, y = 0,A(0, 0)
y’’ = –2
f’’(0) = –2 < 0 ò A(0, 0) Máximo relativo.
Solución:
Y
Recta tangente: y = 4x – 5
Y
A(0, 0)
f(x) = x2 – 1
X
P(2, 3)
f(x) = – x2
X
y = 4x – 5
127 Halla los máximos y mínimos relativos y el creci124 Halla la recta normal a la curva y =
– x2
Solución:
Solución:
Máximos y mínimos relativos:
1
7
Recta normal: y = — x – —
4
2
y’ = ex
ex ? 0 siempre, no tiene ni máximos ni mínimos relativos.
Y
Crecimiento:
X
y’ = ex > 0 siempre, es creciente siempre.
2
P(2, – 3)
( ) = (– @, + @)
8
f(x) = – x + 1
( )=Ö
8
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
x = 2. Dibuja la función y la recta normal.
miento de la función y = ex
+ 1 para
TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS
381
Ejercicios y problemas
Problemas
128 Representa la siguiente función:
y=
{
Solución:
( 12 )
si x Ì 0
|log1/2 x|
si x > 0
x
Solución:
[]
x3 – 3x + 2
0
lím ———
= — =
4
0
x – 4x + 3
x8 1
[]
(x – 1)(x2 + x – 2)
0
= — =
= lím ———————
x 8 1 (x – 1)(x3 + x2 + x – 3)
0
(x – 1)(x + 2)
x+2
= lím ————
=
= lím ——————
x 8 1 (x – 1)(x2 + 2x + 3)
x 8 1 x2 + 2x + 3
Y
X
3
1
=—=—
6
2
132 Dibuja la siguiente función afín:
y = 2x – 3
a) Halla mentalmente la pendiente.
129 Calcula el valor de k para que se verifique:
kx3 + x
lím
=5
x 8 +@ 2x3 – 4x
b) Halla la pendiente derivando.
c) La función ¿es creciente o decreciente?
Solución:
Y
Solución:
kx3 + x
k
lím ————
= 5 ò — = 5 ò k = 10
x8 +@ 2x3 – 4x
2
f(x) = 2x – 3
X
130 Observando la siguiente gráfica:
Y
y = – x3 + x2 + 1
a) m = 2
b) y’ = 2
X
c) Como m = y’ = 2 > 0 siempre, la función siempre
es creciente.
133 Dibuja la siguiente función afín:
calcula:
y = – 2x + 1
lím (– x3 + x2 + 1)
a) Halla mentalmente la pendiente.
lím (– x3 + x2 + 1)
b) Halla la pendiente derivando.
x8 +@
x8 – @
c) La función ¿es creciente o decreciente?
lím (– x3 + x2 + 1) = – @
x8 +@
lím (– x3 + x2 + 1) = + @
x8 – @
Solución:
Y
f(x) = – 2x – 1
X
131 Calcula el siguiente límite:
lím
x8 1
382
x3 – 3x + 2
x4 – 4x + 3
SOLUCIONARIO
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
Solución:
a) m = – 2
Solución:
b) y’ = – 2
Recta tangente: y = 2x – 10
c) Como m = y’ = – 2 < 0 siempre, la función siempre es decreciente.
1
5
Recta normal: y = – — x – —
2
2
Y
f(x) = x2 – 4x – 1
134 Dibuja la siguiente parábola:
y = x2 – 4x + 1
X
a) Viendo la gráfica, halla el máximo o mínimo
relativo.
y = 2x – 10
1x–—
5
y = –—
2
2
b) Viendo la gráfica, halla el crecimiento.
c) Halla el máximo relativo o mínimo relativo
derivando.
P(3, – 4)
136 Halla el crecimiento de la función:
d) Halla el crecimiento derivando.
y = x2 + 6x + 5
Solución:
Dibuja la función.
Y
Solución:
Y
f(x) = x2 – 4x + 1
X
X
A(2, – 3)
f(x) = x2 + 6x + 5
a) A(2, – 3) es un mínimo relativo.
8
b) ( ) = (2, + @)
Hay que hallar previamente los máximos y mínimos
relativos:
8
( ) = (– @, 2)
c) y’ = 2x – 4
y’ = 2x + 6
2x – 4, x = 2, y = – 3,A(2, – 3)
2x + 6 = 0, x = – 3, y = – 4,A(– 3, – 4)
y’’ = 2
y’’ = 2
f’’(2) = 2 > 0 ò A(2, – 3) mínimo relativo.
f’’(– 3) = 2 > 0 ò A(– 3, – 4) mínimo relativo.
d) Discontinuidades: no hay.
Discontinuidades: no hay.
f’(x)
f’(x)
x
0 1 2
x
y’ = 2x – 4
0 1
y’ = 2x + 6
f’(0) = –
f’(0) = +
–
x
0 1 2
+
8
135 Halla las rectas tangente y normal a la curva:
y = x2 – 4x – 1 para x = 3
Dibuja la función, así como las rectas tangente
y normal.
TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS
x
+
0 1
–3
( ) = (– 3, + @)
( ) = (– @, – 3)
8
8
( ) = (– @, 2)
f’(x) –
8
f’(x)
( ) = (2, + @)
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
–3
137 Halla el crecimiento de la función:
6
x
Dibuja la función.
y=
383
Ejercicios y problemas
Solución:
Calcula lím f(x), lím f(x), esboza la gráfica de
6
y’ = – —2 < 0, es siempre negativa, decreciente.
x
la función.
x8 +@
x8 – @
Solución:
( )=Ö
Máximos y mínimos relativos:
8
Discontinuidades: x = 0
y’ = x2 – 4
8
( ) = (– @, + @)
x2 – 4 = 0, x2 = 2, x = 2, x = – 2
Y
x = 2, y = – 16/3,A(2, – 16/3)
x = – 2, y = 16/3, B(– 2, 16/3)
y’’ = 2x
X
f’’(2) = 4 > 0 ò A(2, – 16/3) mínimo relativo.
f’’(– 2) = – 4 < 0 ò B(– 2, 16/3) Máximo relativo.
f(x) = 6/x
Crecimiento:
138 Halla los máximos y mínimos relativos y el creci-
miento de la función:
y=
x2
Discontinuidades: no hay.
f’(x)
x
– 6x + 4
–2
y’ =
Solución:
x2
0
2
–4
f’(1) = –
y’ = 2x – 6
f’(x) +
x
2x – 6 = 0, x = 3, y = – 5,A(3, – 5)
–2
0
+
2
( ) = (– @, – 2) á (2, + @)
Discontinuidades: no hay.
( ) = (– 2, 2)
8
f’’(3) = 2 > 0 ò A(3, – 5) mínimo relativo.
8
y’’ = 2
–
B(– 2, 16/3) Y
f’(x)
x
0 1
3
y’ = 2x – 6
X
f’(0) = –
f’(x)
–
x
0 1
+
f(x) = x2/3 – 4x
3
A(2, – 16/3)
8
( ) = (3, + @)
8
( ) = (– @, 3)
140 Halla los máximos y mínimos relativos y el creci-
miento de la función:
Y
x3
+ 4x
3
Calcula lím f(x), lím f(x), esboza la gráfica de
y=–
X
x8 +@
x8 – @
A(3, – 5)
Solución:
Máximos y mínimos relativos:
139 Halla los máximos y mínimos relativos y el creci-
miento de la función:
y=
384
x3
3
– 4x
y’ = – x2 + 4
– x2 + 4 = 0, x2 – 4= 0, x2 = 2, x = 2, x = – 2
x = 2, y = 16/3,A(2, 16/3)
SOLUCIONARIO
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
la función.
f(x) = x2 – 6x + 4
x = – 2, y = – 16/3, B(– 2, – 16/3)
Solución:
y’’ = – 2x
y’ = – 2x + 18
f’’(2) = – 2 < 0 ò A(2, 16/3) Máximo relativo.
– 2x + 18 = 0, 2x – 18 = 0, x = 9, y = 61
f’’(– 2) = 2 > 0 ò B(– 2, – 16/3) mínimo relativo.
y’’ = – 2
f’’(9) = – 2 < 0 ò A(9, 61) Máximo relativo.
Crecimiento:
Los máximos beneficios los alcanza en el 9º año y
son 61 millones de euros.
Discontinuidades: no hay.
f’(x)
x
–2
0
2
Para profundizar
y’ = x2 – 4
143 Representa la siguiente función:
f’(1) = –
f’(x) –
x
–
+
0
–2
y=
2
8
( ) = (– 2, 2)
{
2x2 + 8x + 3
x+3
x+1
si x < 0
si x Ó 0
Solución:
8
( ) = (– @, – 2) á (2, + @)
f(x) = x2/3 – 4x
Y
Y A(2, 16/3)
X
X
B(– 2, – 16/3)
144 Halla el crecimiento de la función y = x3 – 3x. Cal-
cula lím f(x), lím f(x), esboza la gráfica de
x 8 +@
141 Halla la recta tangente a la curva:
x8 – @
la función.
y = x2 – 4x + 7
para x = 2. Dibuja la función y la recta tangente.
Solución:
Solución:
Primero hay que hallar los máximos y mínimos relativos.
Recta tangente: y = 3
y’ = 3x2 – 3
3x2 – 3 = 0, x2 – 1= 0, x2 = 1, x = 1, x = – 1
Y
2
f(x) = x – 4x + 7
x = 1, y = – 2,A(1, – 2)
x = – 1, y = 2, B(– 1, 2)
A(2, 3)
X
y’’ = 6x
f’’(1) = 6 > 0 ò A(1, – 2) Máximo relativo.
f’’(– 1) = – 6 < 0 ò B(– 1, 2) mínimo relativo.
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
Crecimiento:
142 Los beneficios de una empresa en millones de
euros vienen dados por la fórmula:
y = – x2 + 18x – 20
donde x indica el número de años que lleva funcionando. ¿Qué año alcanza los máximos beneficios?
TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS
Discontinuidades: no hay.
f’(x)
x
–1 0 1
y’ = 3x2 – 3
f’(0) = –
385
Ejercicios y problemas
f’(x) +
x
–
+
Y
–1 0 1
8
( ) = (– @, – 1) á (1, + @)
X
8
( ) = (– 1, 1)
f(x) = 2/x2
Límites:
lím x3 – 3x = + @
x8 +@
lím x3 – 3x = – @
146 Las pérdidas de una empresa en millones de euros
x8 – @
vienen dadas por la fórmula:
Y
y = – x2 + 8x
B(– 1, 2)
X
f(x) = x2 – 3x
A(1, – 2)
donde x indica el número de años que lleva funcionando. ¿Qué año alcanza las máximas pérdidas?
Solución:
y’ = – 2x + 8
– 2x + 8 = 0, x – 4 = 0, x = 4, y = 16
y’’ = – 2
f’’(4) = – 2 < 0 ò A(4, 16) Máximo relativo.
145 Halla el crecimiento de la función y = 2 .
2
x
Calcula lím f(x), lím f(x), esboza la gráfica
x8 +@
x8 – @
Las máximas pérdidas las alcanza en el 4º año y son
16 millones de euros.
147 Una determinada especie evoluciona según la fun-
ción:
de la función.
2
+ 1, x > 0
x
donde x es el número de años y f(x) son los millones de unidades existentes.
f(x) =
Solución:
4
y’ = – —3
x
Discontinuidades de la derivada: x = 0 de orden 3,
que es impar, luego cambia de crecimiento.
f’(x)
x
0 1
Representa la gráfica y, observándola, contesta a la
siguiente pregunta: ¿la especie está en vías de
extinción?
Solución:
f’(1) = – 4
f’(x)
Y
–
+
x
0 1
X
8
( ) = (– @, 0)
8
( ) = (0, + @)
2
lím —2 = + @
x
x8 +@
2
lím —2 = + @
x
La población tiende a cero, por tanto está en vías de
extinción.
x8 +@
x8 – @
386
2
lím — = 0
x
SOLUCIONARIO
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Límites:
Aplica tus competencias
148
El espacio que recorre un móvil es
e(t) = 3t2 + 2t + 5, donde t se expresa en segundos, y e(t), en metros. Calcula la velocidad que
lleva en el instante t = 4 s
El espacio que recorre un móvil es
e(t) = 5t2 – 3t + 1, donde t se expresa en segundos, y e(t), en metros. Calcula la aceleración que
lleva en el instante t = 2 s
Solución:
v(t) = e’(t) = 10t – 3
a(t) = v’(t) = 10
a(2) = 10 m/s2
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Solución:
v(t) = e’(t) = 6t + 2
v(4) = 6 · 4 + 2 = 24 + 2 = 26 m/s
149
TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS
387
Comprueba lo que sabes
Define función parte entera y represéntala.
1
Solución:
La función parte entera de x asigna a cada x su
parte entera. Se representa por y = Ent(x)
[]
x+4 = —
0 = lím ——
x+4 =
b) lím ——
2
x8 – 4 x + 4x
0 x8 – 4 x(x + 4)
1
1
= lím — = – —
x8 – 4 x
4
Gráfica:
Y
Y
y = Ent(x)
x+4
y = ———
x2 + 4x
X
Representa la gráfica de la siguiente función:
si x Ì 1
2x
f(x) =
2
– x + 4x + 1 si x > 1
2
{
X
4
Solución:
Resuelto en el libro del alumnado.
Calcula mentalmente los siguientes límites:
2
a) lím 2x2 – 4
x8 + @ – x + 7x
b) lím
x8 – @
Y
2x2 – 4
– x2 + 7x
2
c) lím – 5n3 + 3n
n8 + @
n +1
2
d) lím – 5x3 + 3x
x8 – @
x +1
X
3
e) lím – x2 + 6x
x8 + @ x – 7
Solución:
0
(x + 2)(x – 2)
x2 – 4 = —
a) lím ——
= lím ———— =
x8 2 x – 2
0 x8 2
x–2
= lím (x + 2) = 4
[]
x8 2
Gráfica:
Solución:
a) – 2
b) – 2
c) 0
d) 0
e) – @
f) + @
Y
2
x –4
y = ———
x–2
5
X
388
Calcula las derivadas siguientes:
a) y = (3x – 5)4
b) y = e5x+1
c) y = L (7x – 2)
d) y = x2ex
e) y = x
x+1
SOLUCIONARIO
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Calcula los siguientes límites y representa la función correspondiente:
2
a) lím x – 4
b) lím x2 + 4
x8 2 x – 2
x8 – 4 x + 4x
3
3
f ) lím – x2 + 6x
x8 – @ x – 7
Solución:
a) y’ = 12(3x – 5)3
b) y’ = 5e5x + 1
7
c) y’ = ———
7x – 2
d) y’ = 2x ex + x2ex = xex(2 + x)
x+1–x
1
e) y’ = ———— = ——
(x + 1)2
(x + 1)2
6
Estudia el crecimiento de la función
y = x2 – 2x – 3
Solución:
Primero hay que hallar lo máximos y mínimos relativos:
y = x2 – 2x – 3
y’ = 2x – 2
y’ = 0 ò 2x – 2 = 0 ò x = 1
Si x = 1 ò y = – 4
A(1, – 4)
y’’ = 2
y’’(1) = 2 > 0 (+) ò A(1, – 4) es un mínimo relativo
Crecimiento:
f ’(x)
–
x
+
2
f(x) = 4x – x
2
donde x se expresa en semanas, y f(x), en miles
de personas. Calcula el número medio de enfermos de gripe durante la 2 ª y la 4 ª semanas;
y entre la 4ª y la 6ª semanas. Interpreta los resultados.
Solución:
f(4) – f(2) 8 – 6 2
TVM[2, 4] = ———— = —— = — = 1
4–2
2
2
Como TVM[2, 4] = 1 > 0, es creciente; es decir, el
número medio de enfermos está subiendo.
f(6) – f(4) = ——
6–8 =—
–2 = –1
TVM[4, 6] = ————
6–4
2
2
Como TVM[4, 6] = – 1 < 0, es decreciente; es decir, el número medio de enfermos está bajando.
8
Halla las rectas tangente y normal a la curva:
y = x2 – 4x – 1 para x = 3
Dibuja la función y las rectas tangente y normal.
Solución:
Recta tangente: y = 2x – 10
1x–—
5
Recta normal: y = – —
2
2
0 1
8
Creciente: ( ) = (1, + @)
Decreciente: ( ) = (– @, 1)
Y
f(x) = x2 – 4x – 1
8
El número de enfermos de gripe que se contabilizan en una localidad durante una epidemia sigue la
función:
1x–—
5
y = –—
2
2
P(3, – 4)
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7
X
y = 2x – 10
TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS
389
Linux/Windows
Paso a paso
150
Solución:
Resuelto en el libro del alumnado.
151
Representa la siguiente función:
{
x2
f(x) =
x+2
si x Ì 1
si x > 1
Solución:
Resuelto en el libro del alumnado.
Halla el siguiente límite y dibuja la función para
comprobarlo.
x8 + @
Solución:
Resuelto en el libro del alumnado.
153
Halla las rectas tangente y normal a la curva
f(x) = x2 + 2 para x = 1. Dibuja la curva y las rectas.
Solución:
Resuelto en el libro del alumnado.
154
Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige
Matemáticas, curso y tema.
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152
lím (x3 – 2x2 – x + 3)
Representa la función parte decimal de x, indica
si es periódica y halla el período.
390
SOLUCIONARIO
Windows Derive
Practica
155
Representa la función signo de x. Halla cuándo
no es continua.
Solución:
Solución:
158
156
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x8 2
Representa la función y = |x2 – 5|
Solución:
Solución:
157
Halla el siguiente límite y dibuja la función para
comprobarlo.
lím (x + 1)
Representa la siguiente función y estudia su continuidad:
x+4
si x Ì – 1
f(x) = 2
x
si x > – 1
{
TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS
159
Halla el siguiente límite y dibuja la función para
comprobarlo.
lím (x2 – 5)
x8 3
391
Linux/Windows
Solución:
Solución:
162
y = e3x – 5
Solución:
163
y = L (x2 + 5x – 6)
Solución:
160
Halla el siguiente límite y dibuja la función para
comprobarlo.
lím (x3 – 2x2 – x + 3)
164
x8 – @
y = x ex
Solución:
Solución:
165
y=xLx
Solución:
166
y = ex L x
Calcula las siguientes derivadas
161
392
y=
5x2
– 7x + 3
167
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Solución:
x
y= e
x
SOLUCIONARIO
Windows Derive
Solución:
168
Solución:
y = 5x – 1
3x + 2
Solución:
169
Halla las rectas tangente y normal a la curva
y = x2 para x = 2. Dibuja la función y las rectas
tangente y normal.
Solución:
171
Calcula los máximos y mínimos relativos de la
función y = x3 – 3x
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Solución:
170
Halla los máximos y mínimos relativos de la función y = x2 – 4x + 5. Dibuja la función.
TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS
Halla mediante ensayo-acierto la ecuación de las
siguientes funciones definidas por su gráfica:
393
Linux/Windows
172
Windows Derive
Solución:
174
Las pérdidas de una empresa en millones de euros
vienen dadas por la fórmula: y = – x2 + 8x, donde x
indica el número de años que lleva funcionando.
¿Qué año alcanza las máximas pérdidas?
Solución:
Solución:
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173
394
SOLUCIONARIO
