Subido por Angel Torres Florin

01 DIAP Vectores

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VECTORES
VECTORS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
Vectores: ‘Conociendo’ los vectores
 ¿Qué magnitudes
físicas se observan
en el experimento?
 ¿Cómo
representarías esas
magnitudes físicas?
 ¿Qué se entiende
por un vector?
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
DIAPOSITIVA N° 2
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión, el
estudiante
resuelve
problemas relacionados a
operaciones
con
vectores, mediante los
conceptos de suma, resta
y producto de vectores;
sin error, con orden y
mostrando
buena
presentación.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
SABERES PREVIOS
(PRE REQUISITOS)
 Sistemas de
coordenadas
 Operaciones
elementales
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
CONTENIDO DE LA SESIÓN
 Vectores:
Definición,
elementos de un vector
 Vector unitario canónico
en
coordenadas
cartesianas
 Operaciones con vectores
(método analítico): Suma,
resta y producto (escalar y
vectorial) de vectores.
VECTORES
Definición: El vector es un segmento orientado que se
utiliza para representar gráficamente a las magnitudes
físicas.
Elementos de un vector:
i.
Módulo o magnitud.
ii. Sentido.
iii. Dirección.
iv. Línea de acción.
v. Punto de aplicación.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
Nomenclatura en un Vector
 Los vectores se denotan con letras mayúsculas
con una flecha arriba o letras negrita.
El vector A:
→
A
A
 La magnitud del vector se representa una letra
mayúscula entre 2 barras verticales:
A
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
A
Representación de un Vector
a) Forma Geométrica en 2D
Componentes Rectangulares
𝐴𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐴𝑦 = 𝐴𝑆𝑒𝑛𝜃
Por tanto:
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
𝐴Ԧ = 𝐴Ԧ𝑥 + 𝐴Ԧ𝑦
Vector unitario
 Es un vector cuya magnitud es la
unidad. Su única finalidad consiste en
direccionar, es decir, describir una
dirección en el espacio.
→
C
→
B
→

e =1
A
y
→

A = Ae

e

→
→
→
A
B C
e= =− =
A
B C
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
→

j

B = −B e
→

C =Ce

i


i j
x


i = j =1
Vectores Unitarios en el Plano Cartesiano
 î Vector unitario
en la dirección del
semieje x+
 ĵ Vector
unitario
en la dirección del
semieje y+
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
Representación de un Vector
b) Forma Analítica: El vector se expresa como un par
ordenado, siendo la componente 𝐴𝑥 la abscisa y 𝐴𝑦 la
ordenada: 𝐴Ԧ = 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 .
c) Forma Rectangular: En función de los vectores
unitarios 𝑖Ԧ y 𝑗Ԧ: 𝐴Ԧ = 𝐴𝑥 𝑖Ԧ + 𝐴𝑦 𝑗Ԧ.
d) Forma Polar: En función de su módulo y de su
dirección: 𝐴Ԧ = 𝐴 cos 𝜃 𝑖Ԧ + 𝐴 sen 𝜃 𝑗Ԧ .
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
Dirección de un vector en 2 D
 La dirección del vector está dada por la
siguiente ecuación:
A= A + A
2
X
2
Y
 Ay 
 = arctan  
 Ax 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
SUMA DE DOS VECTORES
 Métodos gráficos
D
R =A+B
D’ = B - A
R =A+B+C+D
B
-A
D =A-B
B
R =A+B
D =A-B
B - A = - (A – B)
R =A+B+C+D
B +A = A + B
-A
B
m
q
n
A
DEPARTAMENTO
DE CIENCIAS
Mg. John
Cubas Sánchez
A
D
C
D’ = B - A
B
A
A
-B
C
-B
p
m+n+p+q =0
12
SUMA DE DOS VECTORES
 Métodos analíticos
R = A2 + B 2 + 2 AB cos 
R =A+B
B

D =A-B
A
B

D = A2 + B 2 − 2 AB cos 
Si

C

A+B+C=0
A
B
C
=
=
sen sen sen
→ →
→
A, B y C son coplanares
A
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
Mg. John Cubas Sánchez
13
SUMA Y RESTA VECTORIAL
 Método analítico
(componentes rectangulares)
i. La suma de dos vectores a y b, da
como resultado un vector c cuyas
componentes son la suma de las
respectivas componentes de a y b.
ii. La resta de dos vectores a y b, da
como resultado un vector c cuyas
componentes son la resta de las
respectivas componentes de a y b.
iii. Se llama opuesto de un vector a, a
otro vector cuyas componentes tienen
signo contrario a las del vector a.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
c=a+b
c = (ax + bx) + (ay + by) + (az + bz)
c=a–b
c = (ax – bx) + (ay – by) + (az – bz)
a´ = – a = (– ax) + (– ay) + (– az)
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
El producto escalar de dos
vectores tiene como resultado
un escalar.
→ →
A. B = AB cos 
En función de sus componentes:
→ →
A. B = AX BX + AY BY + AZ BZ
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
Producto Escalar de vectores
→ →
 Sean los vectores:
→


A. B = AB cos 


 
j.i = 0
k .i = 0
 
 
j. j =1
 
k. j = 0
 
 
 
i . j = ( 1 )( 1 ) cos 90º = 0

B = BX i + BY j + BZ k
→ →
 
i . i = ( 1 )( 1 ) cos 0º = 1

A = AX i + AY j + AZ k
→
 
i .k = 0
 
j .k = 0
 
→ →
 

 

AZ BX k . i + AZ BY k . j + AZ BZ k . k
i
x
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
→ →
1. A . B = B . A
z
 
AY BX j . i + AY BY j . j + AY BZ j . k +
 
k .k = 1
 
A. B = AX BX i . i + AX BY i . j + AX BZ i . k +
 
 
k

j
2. Para dos vectores
no nulos:
y
→ →
→
→
A.B = 0  A ⊥ B
Mg. John Cubas Sánchez
16
1
 
 
A. B = AX BX i . i + AX BY i . j + AX BZ i . k +
0
0
 
 1
 
AY BX j . i + AY BY j . j + AY BZ j . k +
0
0
1
 
 
 
AZ BX k . i + AZ BY k . j + AZ BZ k . k
0
0
→ →
 
→ →
A. B = AX BX + AY BY + AZ BZ

A  iˆ = Ax

A  ˆj = Ay

A  kˆ = Az
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
• Propiedades
Sean a y b dos vectores y “n” un
número real, entonces:
✓ a.0 = 0
✓ Propiedad conmutativa: a.b =
b.a
✓ Propiedad distributiva: a.(b + c)
= a.b + a.c
✓ (na).b = n(a.b) = a.(n b)
✓ Si a y b son perpendiculares,
entonces a.b = 0
17
PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES
 El producto vectorial, tiene como
resultado un vector que es
perpendicular al plano que
forman los dos vectores iniciales.
 El producto vectorial no es
conmutativo.

→
→

A B = ( ABsen ) e
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
i
A B = AX
BX
→ →


j
AY
BY
k
AZ
BZ
Producto Vectorial de vectores
 Sean los vectores
→


→



→





j i = −k


ki = j


→

i  j = ( 1 )( 1 )sen 90º e = k
j j = 0

k j = −i








i  i = ( 1 )( 1 )sen 0º e = 0
 
 
B = BX i + BY j + BZ k
→










→




jk = i


→
kk = 0


i
z

AY BX j  i + AY BY j  j + AY BZ j  k +


ik = − j
A B = AX BX i  i + AX BY i  j + AX BZ i  k +


A  B = ( ABsen  ) e
A = AX i + AY j + AZ k
→
→


k
j



AZ BX k  i + AZ BY k  j + AZ BZ k  k
i
k
y

j
x
→
→
→ →
1. B  A = − A  B
2. Para dos vectores
no nulos:
→
→
→
→
A  B = 0  A // B
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
→
0
 
 
A B = AX BX i  i + AX BY i  j + AX BZ i  k +
→
→





i
A B = AX
BX
−j
k
→
→ →
0
 
AY BX j  i + AY BY j  j + AY BZ j  k +


→
i
−k
0
 
 
 
AZ BX k  i + AZ BY k  j + AZ BZ k  k




j
AY
BY
k
AZ
BZ
−i
j
→



→







A B = AX BY k − AX BZ j − AY BX k + AY BZ i + AZ BX j − AZ BY i
→
→



A B = ( AY BZ − AZ BY ) i − ( AX BZ − AZ BX ) j + ( AX BY − AY BX ) k
→
→
AY
A B =
BY
AZ 
AX
i −
BZ
BX
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
AZ 
AX
j +
BZ
BX
AY 
k
BY
Mg. John Cubas Sánchez
20
Ejemplos:
→
→
→
→
→
→
→

→ →
A+ B , A− B ,
Determine:


→



A = 2 i − 3 j + 5 k y B = −2 i + 4 j − k
1. Sean los vectores:
→ →

→ →
→ →
A• B, A B

A+ B = j + 4 k



A− B = 4 i − 7 j + 6 k
A • B = −4 − 12 − 5 = −21



i
j
k
→ →






A x B = 2 − 3 5 = (3 − 20) i − (−2 + 10) j + (8 − 6) k = −17 i − 8 j + 2 k
− 2 4 −1
Mg. John Cubas Sánchez
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
21
CONCLUSIONES
 Las cantidades vectoriales
poseen dirección lo que
las diferencia de las
cantidades.
 Las operaciones entre
vectores pueden ser de
suma, resta, producto
escalar y producto
vectorial, No está definida
la división entre vectores.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
DIAPOSITIVA N° 22
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Serway R & Jewett J.
(2005). Física para
ciencias e ingeniería Vol
1-7ma ed.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
DIAPOSITIVA N° 23
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