VECTORES VECTORS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Vectores: ‘Conociendo’ los vectores ¿Qué magnitudes físicas se observan en el experimento? ¿Cómo representarías esas magnitudes físicas? ¿Qué se entiende por un vector? DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DIAPOSITIVA N° 2 LOGRO DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas relacionados a operaciones con vectores, mediante los conceptos de suma, resta y producto de vectores; sin error, con orden y mostrando buena presentación. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS SABERES PREVIOS (PRE REQUISITOS) Sistemas de coordenadas Operaciones elementales DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CONTENIDO DE LA SESIÓN Vectores: Definición, elementos de un vector Vector unitario canónico en coordenadas cartesianas Operaciones con vectores (método analítico): Suma, resta y producto (escalar y vectorial) de vectores. VECTORES Definición: El vector es un segmento orientado que se utiliza para representar gráficamente a las magnitudes físicas. Elementos de un vector: i. Módulo o magnitud. ii. Sentido. iii. Dirección. iv. Línea de acción. v. Punto de aplicación. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Nomenclatura en un Vector Los vectores se denotan con letras mayúsculas con una flecha arriba o letras negrita. El vector A: → A A La magnitud del vector se representa una letra mayúscula entre 2 barras verticales: A DEPARTAMENTO DE CIENCIAS A Representación de un Vector a) Forma Geométrica en 2D Componentes Rectangulares 𝐴𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐴𝑦 = 𝐴𝑆𝑒𝑛𝜃 Por tanto: DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 𝐴Ԧ = 𝐴Ԧ𝑥 + 𝐴Ԧ𝑦 Vector unitario Es un vector cuya magnitud es la unidad. Su única finalidad consiste en direccionar, es decir, describir una dirección en el espacio. → C → B → e =1 A y → A = Ae e → → → A B C e= =− = A B C DEPARTAMENTO DE CIENCIAS → j B = −B e → C =Ce i i j x i = j =1 Vectores Unitarios en el Plano Cartesiano î Vector unitario en la dirección del semieje x+ ĵ Vector unitario en la dirección del semieje y+ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Representación de un Vector b) Forma Analítica: El vector se expresa como un par ordenado, siendo la componente 𝐴𝑥 la abscisa y 𝐴𝑦 la ordenada: 𝐴Ԧ = 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 . c) Forma Rectangular: En función de los vectores unitarios 𝑖Ԧ y 𝑗Ԧ: 𝐴Ԧ = 𝐴𝑥 𝑖Ԧ + 𝐴𝑦 𝑗Ԧ. d) Forma Polar: En función de su módulo y de su dirección: 𝐴Ԧ = 𝐴 cos 𝜃 𝑖Ԧ + 𝐴 sen 𝜃 𝑗Ԧ . DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Dirección de un vector en 2 D La dirección del vector está dada por la siguiente ecuación: A= A + A 2 X 2 Y Ay = arctan Ax DEPARTAMENTO DE CIENCIAS SUMA DE DOS VECTORES Métodos gráficos D R =A+B D’ = B - A R =A+B+C+D B -A D =A-B B R =A+B D =A-B B - A = - (A – B) R =A+B+C+D B +A = A + B -A B m q n A DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Mg. John Cubas Sánchez A D C D’ = B - A B A A -B C -B p m+n+p+q =0 12 SUMA DE DOS VECTORES Métodos analíticos R = A2 + B 2 + 2 AB cos R =A+B B D =A-B A B D = A2 + B 2 − 2 AB cos Si C A+B+C=0 A B C = = sen sen sen → → → A, B y C son coplanares A DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Mg. John Cubas Sánchez 13 SUMA Y RESTA VECTORIAL Método analítico (componentes rectangulares) i. La suma de dos vectores a y b, da como resultado un vector c cuyas componentes son la suma de las respectivas componentes de a y b. ii. La resta de dos vectores a y b, da como resultado un vector c cuyas componentes son la resta de las respectivas componentes de a y b. iii. Se llama opuesto de un vector a, a otro vector cuyas componentes tienen signo contrario a las del vector a. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS c=a+b c = (ax + bx) + (ay + by) + (az + bz) c=a–b c = (ax – bx) + (ay – by) + (az – bz) a´ = – a = (– ax) + (– ay) + (– az) PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES El producto escalar de dos vectores tiene como resultado un escalar. → → A. B = AB cos En función de sus componentes: → → A. B = AX BX + AY BY + AZ BZ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Producto Escalar de vectores → → Sean los vectores: → A. B = AB cos j.i = 0 k .i = 0 j. j =1 k. j = 0 i . j = ( 1 )( 1 ) cos 90º = 0 B = BX i + BY j + BZ k → → i . i = ( 1 )( 1 ) cos 0º = 1 A = AX i + AY j + AZ k → i .k = 0 j .k = 0 → → AZ BX k . i + AZ BY k . j + AZ BZ k . k i x DEPARTAMENTO DE CIENCIAS → → 1. A . B = B . A z AY BX j . i + AY BY j . j + AY BZ j . k + k .k = 1 A. B = AX BX i . i + AX BY i . j + AX BZ i . k + k j 2. Para dos vectores no nulos: y → → → → A.B = 0 A ⊥ B Mg. John Cubas Sánchez 16 1 A. B = AX BX i . i + AX BY i . j + AX BZ i . k + 0 0 1 AY BX j . i + AY BY j . j + AY BZ j . k + 0 0 1 AZ BX k . i + AZ BY k . j + AZ BZ k . k 0 0 → → → → A. B = AX BX + AY BY + AZ BZ A iˆ = Ax A ˆj = Ay A kˆ = Az DEPARTAMENTO DE CIENCIAS • Propiedades Sean a y b dos vectores y “n” un número real, entonces: ✓ a.0 = 0 ✓ Propiedad conmutativa: a.b = b.a ✓ Propiedad distributiva: a.(b + c) = a.b + a.c ✓ (na).b = n(a.b) = a.(n b) ✓ Si a y b son perpendiculares, entonces a.b = 0 17 PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES El producto vectorial, tiene como resultado un vector que es perpendicular al plano que forman los dos vectores iniciales. El producto vectorial no es conmutativo. → → A B = ( ABsen ) e DEPARTAMENTO DE CIENCIAS i A B = AX BX → → j AY BY k AZ BZ Producto Vectorial de vectores Sean los vectores → → → j i = −k ki = j → i j = ( 1 )( 1 )sen 90º e = k j j = 0 k j = −i i i = ( 1 )( 1 )sen 0º e = 0 B = BX i + BY j + BZ k → → jk = i → kk = 0 i z AY BX j i + AY BY j j + AY BZ j k + ik = − j A B = AX BX i i + AX BY i j + AX BZ i k + A B = ( ABsen ) e A = AX i + AY j + AZ k → → k j AZ BX k i + AZ BY k j + AZ BZ k k i k y j x → → → → 1. B A = − A B 2. Para dos vectores no nulos: → → → → A B = 0 A // B DEPARTAMENTO DE CIENCIAS → 0 A B = AX BX i i + AX BY i j + AX BZ i k + → → i A B = AX BX −j k → → → 0 AY BX j i + AY BY j j + AY BZ j k + → i −k 0 AZ BX k i + AZ BY k j + AZ BZ k k j AY BY k AZ BZ −i j → → A B = AX BY k − AX BZ j − AY BX k + AY BZ i + AZ BX j − AZ BY i → → A B = ( AY BZ − AZ BY ) i − ( AX BZ − AZ BX ) j + ( AX BY − AY BX ) k → → AY A B = BY AZ AX i − BZ BX DEPARTAMENTO DE CIENCIAS AZ AX j + BZ BX AY k BY Mg. John Cubas Sánchez 20 Ejemplos: → → → → → → → → → A+ B , A− B , Determine: → A = 2 i − 3 j + 5 k y B = −2 i + 4 j − k 1. Sean los vectores: → → → → → → A• B, A B A+ B = j + 4 k A− B = 4 i − 7 j + 6 k A • B = −4 − 12 − 5 = −21 i j k → → A x B = 2 − 3 5 = (3 − 20) i − (−2 + 10) j + (8 − 6) k = −17 i − 8 j + 2 k − 2 4 −1 Mg. John Cubas Sánchez DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 21 CONCLUSIONES Las cantidades vectoriales poseen dirección lo que las diferencia de las cantidades. Las operaciones entre vectores pueden ser de suma, resta, producto escalar y producto vectorial, No está definida la división entre vectores. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DIAPOSITIVA N° 22 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Serway R & Jewett J. (2005). Física para ciencias e ingeniería Vol 1-7ma ed. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DIAPOSITIVA N° 23
![1 Si v = [ 36 -12 ] , w = [ 9 -3 ] , y S = 1wl. Indique cuáles opciones](http://s2.studylib.es/store/data/004950498_1-7f0b4c506a631255d680bd90dfa0a3e5-300x300.png)
