métodos de integración

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Los métodos de integración son las diferentes técnicas elementales que usamos para
calcular la integral indefinida de una función. Es decir, si
f (x )
es una función,
mediante los métodos de integración (siempre que sea posible) podemos encontrar una
F ( x) tal que
función
F ( x)=∫ f ( x). dx , que equivale a
F ' ( x )= f ( x )
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN INMEDIATA
Algunas integrales inmediatas en forma sencilla son:
∫ dx=x+K ; K =constante.
n+1
x
+K ; K=constante.
∫ x n . dx= n+1
∫
dx
. dx=ln∣x∣+K ; K =constante.
x
∫ e x . dx=e x +K ; K =constante.
∫ a x . dx=
x
a
+K ; K =constante.
ln a
∫−sen x . dx=cos x+ K ; K =constante.
∫ cos x . dx=sen x+K ; K=constante.
dx
∫ cos 2 x =∫ 1+tg 2 x=tg x+K ; K =constante
sen x
∫ cos 2 x . dx =sec x+ K ; K =constante
cos x
∫− sen 2 x . dx=cosc x+K ; K =constante
dx
∫− sen2 x . dx=∫−(1+ctg 2 x)=ctg x +K ; K =constante
∫
dx
√1−x 2
. dx=arcsen x+ K=−arccos x x+K ; K =constante
dx
∫ 1+x 2 . dx=arctg x+K ; K =constante
∫ – tg x . dx=ln∣cos x∣+K ; K =constante
∫ tg x . dx=ln∣sen x∣+ K ; K =constante
En cualquiera de estas integrales, si sustituimos x por una función f(x) y dx por f'(x),
obtenemos la forma compuesta de integrales inmediatas. En ocasiones, algunas
integrales se pueden reducir a integrales inmediatas. Veamos algunos ejemplos.
1
ò
3
5x
3x + 4
2
dx =
=
æç 2 ö÷
ççè 3 -1ø÷÷÷
5
.ò 6x. (3x2 + 4)
6
æç 2 ö÷
ççè 3 -1ø÷÷÷
5 3 2
. ò .6x (3x 2 + 4)
6 2 3
15
=
12 ò
=
dx =
dx =
æç 2 ö÷
ççè –1ø÷÷
3 ÷
æ 2 ÷ö
2
çç ÷. (6.x ) (3x + 4) .dx =
è 3ø
æç 2 ö÷
ççè ÷ø÷
3÷
15
. (3x 2 + 4) + K
12
 x
 x
log
 ÷
 ÷
3


5
1
5  3
× dx =
× ∫ 3 × log ( 5 ) ×
× dx =
x
3.log ( 5 )
x
log
∫
 x
 log x 

÷

÷
3.log ( 5 )
1
1
3
3



+ K
=
×∫
×5
× dx =
×5
3.log5
x
3.log5
log
∫
∫
53.x
1
53.x
.dx =
.∫ 3.log5. 3.x
.dx =
3.x
5 +1
3.log5
5 +1
1
=
.log ( 53.x +1) + K
3.log5
1
− 2x + 3x
2
× dx = 8 × ∫
=
8
×
4 ∫
1
− 16x + 24x
2
4
3
 4x − 3 
1− 
÷
 3 
2
× dx = 8.∫
× dx =
1
9 − ( 4x − 3)
8
 4x −
.ArcSen 
4
 3
2
× dx =
3
÷+K

Hay que destacar, que dado que el conjunto de funciones elementales no es invariante bajo la operación
de integración, existen integrales que no se pueden expresar como funciones elementales, y por tanto no
se les puede aplicar un método de integración
2
MÉTODOS DE FUNCIONES RACIONALES
Para las integrales de funciones racionales se cumple
 Si graP ( x ) ≥ graQ ( x ) = SOLUCIÓN
P ( x)
.dx = 
Q ( x)
 Si graP ( x ) < graQ ( x ) = SOLUCIÓN
∫
A 

B 
SOLUCIÓN A:
Como existe
C (x ) ,
R( x ) con
gra C (x)≤gra P ( x)
y
gra R(x )<gra Q (x )
, tal que
P (x )=C ( x ). Q( x)+R( x)
se cumple:
P x
Rx
.
dx
=
C

x.
dx

∫ Qx ∫
∫ Q  x  . dx
Siendo la 1º integral inmediata y la segunda del tipo de solución B, que vemos a
continuación.
SOLUCIÓN B:
Supongamos que el polinomio
Q( x)
es de grado
( p+2.q) , con p, q números
naturales, y que Q( x) se puede descomponer como:
u
Q (x ) = a.Õ(x - x r )
m(r )
r =1
r =u
s=v
r=1
s=1
× Õ ((x - a s) +b s
v
2
s =p +1
)
2 n (s )
p= ∑ m r  ; q= ∑ n s
Donde,
Teniendo en cuenta que existirán las constantes reales
A ,A
r1
r2
,..., A rm( r); B s1, B s2,..., B sn(s);C s1,C s2,..., C sn(s)
Tal que descomponiendo en fracciones simples como queda:
é
p é
q
ù
R (x )
A
rm
(
r
)
A
r
1
ú + å êê B s 1 +C s 1.x + ... +
= a × å êê
+ ... +
Q (x)
(x - x r )m (r ) úúû s=p+1 ê (x -a s)2 +b s 2
r=1 êë( x - x r )
ëê
3
ù
.x ú
ú
é(x -a s )2 + 2 ù n(s) ú
b s úû ûú
êë
B
sn (s )
+C
sn(s )
Integrando esta expresión:
é
p é
q
ù
R (x )
ê B s 1 +C s 1.x
A
rm ( r )
ê Ar 1 + ... +
ú+
×
dx
=
a
×
+ ... +
ê
å
å
m (r ) ú
2
2
ò Q (x )
ò r =1 êê (x - x r )
ê
(
x
)
(
x
)
+
x r úû s =p +1 ëê a s b s
ë
ù
ú
ú×
ú
úû
B sn s +C dxsn s .x
é(x - a s )2 +n( s) 2 ù
b s úû
êë
( )
()
Y todos los términos de la descomposición se integran fácilmente, teniendo en cuenta:
∫

log ( x − a ) + K; si n = 1



1
.
dx
=
−
1


n
+
K;
si
n
>
1
( x − a)
n
−
1
 n− 1 . x− a ( )

(
)
(
)


( B +C.x )
∫ ( x − a)
2
+b
1
.dx = ( B +C.a ) .∫
2
= ( B + C.a )
+ C.∫
2
( x − a ) +b
 ( x − a)  C
1
. .Arctg
+ .log
b
( B + C.x ) .
n
∫
( ( x − a ) 2 + b2 )

2
b

2
( x − a ) .dx =
2
( x − a ) +b 2
( ( x − a)
2
)
+b 2 + K
dx
se resuelve por partes hasta obtener la integral anterior. Veamos un ejemplo.
∫
1
×dx =
( x3 — x2 + x —1)
∫
1
x
× dx — ∫ 2
× dx
x —1
x +1
1
= log x —1 — log ( x 2 + 1) + K
2
4
÷
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
x=g (t)
El método de sustitución de consiste en encontrar una función
(con derivada continua en un intervalo I y con g(I) ⊂ Dominio de la función a integrar)
que al sustituir por x en la integral se convierte en otra mas sencilla (de variable t)
Veamos un ejemplo,
∫ √ 1− x 2 . dx . Si efectuamos la sustitución:
x : ℝ  [0,1] : t  x t =sin t 
Como se cumple que la derivada de
que la imagen de
x (t)
x (t)
es continua en todo los números reales y
está incluida en el Dominio de la función a integrar, nos
queda:
∫ √ 1− x 2 . dx=∫ √ 1−sen2 t . cos t.dt=∫ cos2 t.dt=∫
1+cos ( 2t)
. dt =
2
t sen (2t)
t sen t cos t
= +
+ K= +
+K =
2
4
2
2
1
1
= . Arc sen x+ . sen ( Arc sen x). cos( Arc sen x)+ K =
2
2
2
2
x . √ (1−x )
1
= . Arc sen x+
+K
2
2
Para resolver integrales de la forma
∫ R( f ( x) , g (x )) . dx
Donde R es una función racional y f y g son funciones reales, existen una serie de
sustituciones para casos particulares que detallamos a continuación en la siguiente tabla
f(x)
g(x)
f(x(t))
g(x(t))
x'(t)
CAMBIO
x
aX
Log a t
t
1
log(a). t
a X =t
x
ex
Log t
t
1
t
e =t
x
Log x
e
t
t
e
x
Arc tan x
Tan t
t
1
cos 2 t
Arc tan x = t
x
Arc sen x
Sen t
t
Cos t
Arc sen x = t
x
Arc cos x
Cos t
t
- Sen t
Arc cos x = t
x
Arc Th x
Th t
t
1
2
Ch t
Arc Th x = t
x
Arc sh x
Sh t
t
Ch t
Arc sh x = t
x
Arc Ch x
Ch t
t
Sh t
Arc Ch x = t
2
1 t 2
2 Arc tag t = x
Sen x
Cos x
2t
1 t 2
2
1 −t
1 t 2
5
X
t
Log x = t
−1
1−t 2 
SI ES IMPAR EN Sen x
1 −t 2
t
SI ES IMPAR EN Cos x
t
1 −t 2
SI ES PAR EN Sen x y Cos x
1
1−t
t
2
1−t

2

Arc cos t = x
1
Arc Sen t = x
1−t 2 
1
2
1 t
Arc tan t = x
2t
1 −t 2
1 t 2
1 −t 2
2
1 −t 2
2 Arc Th t = x
SI ES IMPAR EN sh x
t 2−1 
t
1
1−t 2 
Arc Ch t = x
SI ES IMPAR EN Cos x
t
t 21 
1
t 1
Arc Sh t = x
SI ES PAR EN Sen x y Cos x
1
1−t 2 
t
1−t 2 
1
1 −t 2
Arc Th t = x
Sh x
x
x
q
Ch x
h 
d.t m−b
a− c.t m
axb n 
 
cx d
i
n p
(a+bx )
t
h t
q
n
Para integrar

ni

m

p
(a+bt) . dt
∫( 1n ).(t
q+1
−1
n
2
m.t m −1 (ad −bc)
(a−c.t m )2
(
a.x +b
)=t m
c.x+d
m = m.c.m. (n1,...,nr)
1
1 n −1
.t
n
1
x=t n
1
.(a+bt ) p ). dt =∫ ( ).(t m. (a+bt ) p) . dt
n
Si m , p∈ ℤ
Se hace le cambio
z m =t
Si p , m∈ℚ−ℤ
Se hace le cambio
z =b.t  a
p
m
Si p∈ℤ , m∈ℚ−ℤ
Se hace le cambio
z p=
b.t+a
t
x
 p2 − qxr 2 
p.sen t − r
q
p.cos t
p.cos t
q
q.x r = p.sen t
x
 p2  qxr 2 
p.tan t − r
q
p
cos t
p
q. cos2 t
q.x  r = p.tan t
x
qx  r 2− p2 
p−r.sen t
q. sent
p
tan t
− p.sen t
q. cos 2 t
q.x r =
 a.x 2b.xc− x  a=t
 a.x 2b.xc− c=t
 a.x 2b.xc =t
Si a0 ; c≤0
Si a0 ; c0
x
 ax 2b x c
Si
a0 ; c≤0
p
sen t
x −
 es raíz de a.x 2b. xc=0
6
Veamos algunos ejemplos.
ò
sen x
dx = {Haciendo cos x = t; como es – sen x × dx = dt } =
cos4 x
1
æ 1ö 1
1
= ò - 4 dt = çç– ÷÷ × 3 + K = +K
è 3ø t
t
3 × cos 3 x
1
x
x
x
ò (e )2 dx = {Haciendo e = t; como es e × dx = dt } =
=ò

1
2
t
dt =
t
ò
æ 3ö 1
2
dt = çç– ÷÷ × 3 + K = 3×x + K
è 2ø 2
t
t
3 ×e 2
1
1
2
El MÉTODO ALEMÁN, se utiliza para resolver integrales de la forma
∫
Px
 a.x 2b.xc
, dx ; siendo
P (x ) un polinomio,
Esta integral se simplifica Hallando un polinomio
Q( x)
de grado menor que
P ( x ) y un número real λ, de la igualdad y luego se utiliza los métodos anteriores
∫
Px
 a.x b.xc
2
. dx=Q  x .  a.x 2b.xc.∫
1
. dx
 a.x b.xc
2
Para hallar Q( x) y λ, derivamos ambas expresiones y obtenemos la igualdad
P( x)
√ a.x 2+b.x+c
=
d (Q (x) . √ a.x 2+b.x+c)
1
+λ .
2
dx
√ a.x +b.x+c
7
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES
El método de integración por partes de la integral
∫ f  x . g  x . dx
donde f y g son dos funciones con derivadas continuas en un intervalo I, en utilizar la
siguiente igualdad para integrar:
∫ f  x . g '  x . dx= f  x . g  x −∫ f '  x . g  x . dx
Este método se usa cuando es más fácil integrar
f ' ( x). g (x) que
f ( x ). g ' ( x)
Veamos un ejemplo.
∫ x.sen x. dx=∫ x.(cos x) ' . dx= x.sen x −∫ sen x. dx= x. sen x+cos x+K
El método de integración por partes se suele emplear para funciones
f (x )
y
g ( x) como por ejemplo:
f(x)
g(x)
Función inversa trigonométrica,
circular, hiperbólica o logarítmica.
Constante no nula o función
polinómica o función racional de x.
Polinomio o función racional de x
Función trigonométrica circular o
hiperbólica directa o exponencial
(normalmente
de
integración
inmediata).
Función exponencial (normalmente
de integración inmediata ).
Función trigonométrica circular o
hiperbólica directa.
Este método también se usa para obtener integrales de recurrencia.
Veamos un ejemplo. Para integrar
u=arcsen( x) ;
∫ arcsen x . dx
, Tomando
v= x ;
será.
du=
dx
;
 1−x 2
dv=dx .
Y se halla la relación de recurrencia
∫ arcsen( x) . dx=arcsen( x) . x−∫
x
=x.arsen( x )−√ 1− x 2+K
2
√(1−x )
8
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN POR RECURRENCIA
El método de integración por recurrencia, consiste en encontrar una relación entre la
integral que queremos hallar (habitualmente una función con exponente entero n) y otra
integral similar (la misma función con exponente entero menor que n).
Es decir dicha relación será de la forma:
∫ f  x , n. dx=g  x , nr.∫ f  x , n−k . dx
Donde
f (x , n)
y
g ( x , n)
son funciones reales de variable x y parámetro n, r es
un número racional y k un número natural.
Aplicando dicha fórmula por recurrencia, se puede ir rebajando el nivel del exponente,
hasta que sea fácil de calcular, y a partir de ella calcular la que queremos obtener. La
mayoría de las veces se utiliza la integración por partes para hallar esta relación de
recurrencia,
Veamos un ejemplo.

I n=∫ sen n x. dx=∫ sen n−1 x.−cos x ' . dx =
=−sen n−1 x.cos x−n−1 .∫ sen n−2  .−cos 2 x . dx =
=−sen n−1 x.cos xn−1 .∫ sen n−2  .1−sen 2 x . dx =
=−sen n−1 x.cos xn−1 .∫ sen n−2  . dx−n−1.∫ sen n x.dx =
Quedando la relación de concurrencia:
I n=
n−1
sen n−1 x. cos x
. I  n−2−
n
n
Y teniendo en cuenta que:
1 2
I 0 = x +K
2
I 1= x . sen x+cos x+K
9