Capitulo 5 Aplicaciones de la Integral

Capítulo 5
Aplicaciones de la Integral
En este capítulo veremos aplicaciones no tan obvias de la integral. En realidad debería
llamarse “aplicaciones de las sumas de Riemann”, porque lo mas importante que tiene es el
proceso de aproximar cosas utilizandolas, y de como (luego de tomar cierto límite) se transforman
en integrales. Es importante que quede claro el concepto: aproximaremos cantidades utilizando
sumas, que resultan sumas de Riemann de alguna función, y por ende se transforman en una
integral, luego de cierto proceso de límite.
5.1.
Area de regiones
De…nición 5.1 Si f : [a; b] ! R es una función positiva e integrable, entonces el área de la
Rb
región delimitada por la grá…ca de f y el eje x; con x en [a; b] es a f .
Si f : [a; b] ! R no es necesariamente positiva, al integrar f se obtiene un número que es la
diferencia entre el área de las regiones donde f es positiva menos el área de las regiones donde
f es negativa. Para obtener el área neta se debe integrar jf j.
73
74
Aplicaciones de la Integral
De…nición 5.2 Si f : [a; b] ! R es una función integrable, entonces el área neta de la región
Rb
delimitada por la grá…ca de f; con x en [a; b] es a jf j.
Ejemplo 5.3 Para calcular el área de la región delimitada por la función f (x) = x3 x2
en el intervalo [ 1; 2] hacemos
Z 2
Z 0
Z 2
5
8
3
2
3
2
x
x
2x dx =
(x
x
2x)dx +
(x3 x2 2x)dx =
+
12 3
1
1
0
2x
Si queremos calcular el área entre el grá…co de dos funciones, basta con restar las áreas
correspondientes:
De…nición 5.4 Si f; g : [a; b] ! R son funciones integrables con f (x) g(x), entonces el área
Rb
neta de la región delimitada por las grá…ca de f y g, con x en [a; b], es a (f g)
Ejemplo 5.5 Para calcular el área de la región delimitada por las funciones f (x) = x + 6 y
g(x) = x2 en el intervalo [ 2; 3] hacemos
Z 3
3
1 3 1 2
37
(x + 6 x2 )dx =
x + x + 6x
=
3
2
12
2
2
Aplicaciones de la Integral
75
Notar que no estamos usando que f y/o g sean positivas, y que esto es irrelevante: si no son
positivas, sumamos una constante c (a ambas) de forma tal que queden positivas (esto es como
correr el eje x para abajo hasta que los dos grá…cos queden positivos). La región no cambia, y
su área es
Z
Z
b
b
(f + c)
(g + c) =
a
(f
g)
a
Ejemplo 5.6 Para calcular el área de la región delimitada por las funciones f (x) = x2 + 1 y
g(x) = x en el intervalo [ 1; 2] hacemos
Z
:
2
1
(x2 + 1
x)dx =
1 3
x
3
1 2
x +x
2
2
1
=
85
6
Aplicaciones de la Integral
76
Cuando no sabemos que f
g; la situación es similar a la planteada cuando teníamos una
función que cambiaba de signo:
De…nición 5.7 Si f; g : [a; b] ! R son funciones integrables, entonces el área neta de la región
Rb
delimitada por las grá…ca de f y g, con x en [a; b], es a jf gj.
Ejemplo 5.8 Para calcular el área de la región delimitada por las funciones f (x) = cos(x) y
g(x) = sin(x) en el intervalo [0
2] hacemos
Z
2
0
5.2.
jcos(x)
sin(x)j dx =
Z
4
(cos(x)
0
sin(x)) dx+
Z
2
(sin(x)
cos(x)) dx = 2
p
2
1 .
4
Cálculo de Volúmenes
Vamos a calcular el volumen de algunos sólidos particulares. Como punto de partida utilizaremos (unicamente) que el volumen de un paralelepipedo rectangular de lados l y w, y altura
h es lwh.
Aplicaciones de la Integral
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Un sólido cilíndrico de base y altura h es aquel para el cual existe un eje de forma tal que
si efectuamos cortes perpendiculares a dicho eje (es decir, hacemos la intersección del sólido con
un plano), la región plana resultante es exactamente ; independientemente de la altura a la
que se haga el corte. Vamos a calcular el volumen de un sólido cilíndrico, cuya base es la región
determinada por la grá…ca de una función positiva f; tal como sugiere la siguiente …gura:
Tomamos a = x0 < x1 <
< xn = b una partición P de [a; b] y ti 2 [xi 1 ; xi ], y
aproximamos el solido usando paralelepipedos rectangulares de base [xi 1 ; xi ] y altura f (ti ):
de donde el volumen V se puede aproximar sumando el volumen de los paralelepipedos:
Z b
n
n
X
X
V
f (ti )(xi xi 1 )h = h
f (ti )(xi xi 1 )
h
f ,
i=1
Como h es la altura del sólido, y
kP k!0
i=1
Rb
a
a
f es el área de la base, eso nos lleva a de…nir:
De…nición 5.9 El volúmen V de un sólido cilindrico de base
V = (área de
h
y altura h es
Aplicaciones de la Integral
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Ejemplo 5.10 Volumen del cilindro de radio r y altura h: según la de…nición anterior, el volumen es h (área del disco de radio r); es decir V = 2 h. Se puede repetir el razonamiento que
llevó a la de…nición
anterior para calcular el volumen de medio cilindro, de la siguiente manera:
p
< xn = r una partición P de [ r; r]
tomar f (x) = r2 x2 con x 2 [ r; r]; r = x0 < x1 <
y ti 2 [xi 1 ; xi ], y aproximarlo sumando el volumen de los paralelepipedos
Z rp
n q
n q
X
X
2
2
2
2
r
ti (xi xi 1 )h = h
r
ti (xi xi 1 )
r2 x2 dx = h r 2 ,
V
h
2
kP k!0
r
i=1
i=1
Otra forma de calcular el volumen de un sólido es conociendo el área de cortes transversales
del mismo, aproximando el solido con una unión de solidos cilíndricos:
De…nición 5.11 Denotemos Pc al plano perpendicular al eje x y que pasa por el punto c (o sea
el plano x = c en R3 ). Si S es un solido que está entre los planos Pa y Pb ; y la interscción de
S con el plano Px tiene área A(x); entonces el volumen V de S es
Z b
V =
A(x)dx.
a
Esta de…nción viene motivada de lo siguiente: si tomamos a = x0 < x1 <
< xn = b una
partición P de [a; b] y ti 2 [xi 1 ; xi ], y cortamos al solido S en n rebanadas con los planos Pxi .
El volumen aproximado de cada rebanada será A(ti )(xi xi 1 ) (aproximando cada rebanada
con su solido cilindrico cuya base es la interscción de S con el plano Pti ) entonces el volumen
aproximado será la suma del volumen de cada revanada, es decir
Z b
n
X
V
h
A(x)dx.
A(ti )(xi xi 1 )
i=1
kP k!0
a
Aplicaciones de la Integral
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Para que este razonamiento no sea obviamente cuestionable, necesitamos que la función A(x)
sea integrable en [a; b], lo cual, según nuestra experiencia, es mas o menos equivalente a pedir
que dicha región sea razonable como para merecer un número que llamamos su área.
Ejemplo 5.12 Supongamos que S es el cilindro de radio 3 cortadoppor dos planos: uno perpendicular al eje del cilindro y otro a 45 grados. Entonces A(x) = x2 9 x2 , y el volumen del
solido es
Z 3 p
3 3
2
9 x2 2 = 18:
x2 9 x2 dx =
3
0
0
Observación 5.13 Este procedimiento se puede aplicar haciendo cortes con planos perpendiculares al eje y; en cuyo caso obtendremos una función A(y) que me da el área de dicho corte a
altura y; e integrando dicha función obtendremos el volumen del sólido. Ver Ejemplo 5.20
Observación 5.14 Si tenemos un sólido cilíndrico S de base y altura h y lo ubicamos adecuadamente de forma tal que los cortes perpendiculares al el eje x sean todos
(es decir, lo
ponemos “paralelo” al eje x), y que su base esté en x = 0 (y por lo tanto llega hasta x = h),
entonces el área A de dicho corte no depende de x y es exactamente el área de y su volumen
será
Z
h
V =
Adx = hA = h
(área de
,
0
que es la forma en que habíamos de…nido su volumen. Dicho mas corto: la fórmula de volumen
que tenemos para sólidos cilíndricos es un caso particular de la dada en la De…nición 5.11:
Aplicaciones de la Integral
80
Hay una familia particular de solidos que se llama “solidos de revolución”, y que se obtienen
al hacer girar una región plana en torno de un eje. Por ejemplo, si f : [a; b] ! [0; 1) y R es la
región plana determinada por y = f (x), y = 0, x = a, y x = b. Al hacer girar la región R en
torno al eje x se obtiene un solido S
El área A(x) de un corte transversal con el plano Px es
2
A (x) =
(x)2
=
y entonces (utilizando la fórmula anterior) el volumen V de S es
V =
Z
d
(x)2 dx.
c
Cilindros, esferas, conos y tubos son ejemplos de solidos de revolución:
Ejemplo 5.15 El volumen del sólido de revolución generado por la región limitada por la grá…ca
p
de la función f (x) = x, con x 2 [0; 4] es
V =
Z
0
4
p
x
2
dx =
Z
4
=8 .
0
Aplicaciones de la Integral
81
Este método sirve también para calcular el volumen de sólidos “huecos”, es decir, generados
al rotar la región delimitada por el grá…co de dos funciones: si tenemos f; g : [a; b] ! [0; 1) y
tal que f (x) g (x) ; y rotamos la región entre sus grá…cas alrededor del eje x obtenemos un
solido cuyo volumen es
V =
Z
b
f (x)2
g (x)2 dx
a
Notar que lo que estamos haciendo es calcular el volumen restando el volumen de dos sólidos.
Ejemplo 5.16 El volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x la región limitada
por el grá…co de las funciones f (x) = 12 + x2 y g(x) = x, con x 2 [0; 2] es
V =
Z
2
0
1
+ x2
2
2
x2
!
dx =
69
10
82
Aplicaciones de la Integral
Observación
5.17 Cuando calculamos el volumen de este tipo de sólidos, no es lo mismo
Rb
hacer
g (x))2 dx. ¿El volumen de qué sólido da esta última integral?
a (f (x)
Otro tipo de sólido de revolución es el que se obtiene al hacer girar una región plana en torno
al eje y Por ejemplo, si f : [a; b] ! [0; 1) y R es la región plana determinada por y = f (x),
y = 0, x = a, y x = b. Al hacer girar la región R en torno al eje y se obtiene un solido S
Un procedimiento para calcular el volumen de S es el de los “cascarones cilíndricos”: si
< xn = b una partición de [a; b] y ti = 21 (xi + xi 1 ) (el punto
tomamos a = x0 < x1 <
medio del intervalo [xi 1 ; xi ]), podemos aproximar al sólido S por medio de cilindros huecos,
cuyo volumen (calculando una resta) será aproximadamente (x2i x2i 1 )f (ti ) (ver dibujo).
Aplicaciones de la Integral
83
Por lo tanto, el volumen aproximado será
n
X
V
=
i=1
n
X
(x2i
x2i 1 )f (ti )
=
n
X
2
i=1
2
i f (ti )(xi
xi
1)
i=1
kP k!0
1
(xi + xi 1 )(xi xi
2
Z b
xf (x)dx ,
2
1 )f (ti )
=
a
si f es integrable en [a; b] (pues en tal caso lo que nos quedó es una suma de Riemann de la
función integrable xf (x)). Eso motiva la siguiente de…nición:
De…nición 5.18 Si f : [a; b] ! [0; 1) es una función integrable y R es la región plana determinada por y = f (x), y = 0, x = a, y x = b. Al hacer girar la región R en torno al eje y se
obtiene un solido S cuyo volumen es
Z b
V =2
xf (x)dx
a
Ejemplo 5.19 Para calcular el volumen del sólido que se genera al girar en torno al eje y la
región plana determinada por la grá…ca de la función f (x) = 2x2 x3 ; con x 2 [0; 2] hacemos
Z 2
16
V =2
x 2x2 x3 dx =
5
0
La misma técnica se puede utilizar cuando la región plana que se hace girar alrededor del eje
y esta determinada por el grá…co de dos funciones f; g : [a; b] ! [0; 1) y tal que f (x) g (x) ;
en cuyo caso el volumen queda
Z b
V =2
x (f (x) g(x)) dx,
a
que no es mas que la resta de dos volúmenes: el del sólido determinado al rotar la grá…ca de f
menos el del sólido determinado al rotar la grá…ca de g.
Ejemplo 5.20 Para determinar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje y la
región determinada por las funciones f (x) = x y g(x) = x2 con x 2 [0; 1] hacemos
Z 1
1
V =2
x x x2 dx =
.
6
0
Aplicaciones de la Integral
84
Podemos calcular el volumen usando el área de un corte perpendicular al eje y: dicho corte
p
p 2
2
es un anillo de radio interior y y de radio exterior y, por lo tanto A(y) =
y
,y
V =
Z
1
A(y)dy =
0
Z
1
p
( ( y)2
2
)dy =
Z
1
(y
0
0
y2 )dy =
1
6
¿Se puede hacer esto mismo con el Ejemplo 5.19? ¿Qué di…cultad encuentra?:
5.3.
Longitud de una grá…ca
Si tenemos f : [a; b] ! R una función derivable, y queremos calcular la longitud de su
grá…ca, podemos intentar hacerlo aproximando la misma con segmentos (los cuales sabemos
medir). Intuitivamente, mientras mas segmentos utilicemos, mejor será nuestra aproximación.
Para formalizar esto: tomemos a = x0 < x1 <
< xn = b una partición de [a; b], entonces el
segmento de extremos (xi 1 ; f (xi 1 )) y (xk ; f (xk )) tiene longitud
Li =
q
(xi
xi
1)
2
+ (f (xi )
f (xi
2
1 ))
Aplicaciones de la Integral
85
y por lo tanto la longitud aproximada será
n q
X
L
(xi
xi
2
1)
+ (f (xi )
f (xi
1 ))
2
.
i=1
Pero el Teorema del Valor Medio me asegura que (para cada i) existe ti 2 (xi
f (xi )
1)
f (xi
= f 0 (ti ) (xi
xi
1 ; xi )
tal que
1) ,
con lo que nuestra longitud aproximada queda
n q
X
L
(xi
=
=
xi
i=1
n q
X
i=1
n q
X
1)
2
n q
X
f (xi 1 )) =
(xi
2
+ (f (xi )
xi
1)
2
+ (f 0 (ti ) (xi
xi
1 ))
2
=
i=1
(xi
xi
1+
(f 0 (t
1)
2
i ))
2
+ (f 0 (ti ) (xi
(xi
xi
1)
i=1
xi
kP k!0
1 ))
2
2
=
Z bq
a
1 + (f 0 (x))2 dx
si f 0 es integrable en [a; b]. Esto lleva a la siguiente de…nición:
De…nición 5.21 Si f : [a; b] ! R es una función derivable con derivada integrable en [a; b], la
longitud de la grá…ca de f es
Z bq
L=
1 + (f 0 (x))2 dx
a
Ejemplo 5.22 La longitud de la curva y = x3=2 con x 2 [0; 2] es
Z
0
2
s
1+
3 1=2
x
2
2
dx =
Z
0
2
r
3
9
1
1 + xdx =
(9x + 4) 2
4
27
2
0
=
22 p
22
27
8
27
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Aplicaciones de la Integral
Ejemplo 5.23 Para calcular la circunferencia CR de un círculo de radio R; usamos f (x) =
p
R2 x2 y calculamos
s
Z R
Z R
2
x
1
=R cos )
p
CR = 4
1+ p
dx = 4R
dx =(x=R sin
2
2
2
R
x
R
x2
0
0
Z 4
R cos
2
= 4R
=
.
R
cos
0