El Cálculo. Louis Leithold. Séptima edición en español

El Cálculo. Louis Leithold. Séptima edición en español. ISBN 970-613-182-5
Ejercicios de repaso para el capítulo 1. Ejercicio 17, página 96.
Dados f (x) =
x2
x
25
, a = 5, L = 10
5
y " = 0:1,
(a) Utiliza argumentos semejantes a los de los ejemplos 1 y 3 de la sección 1.4 del Leithold para determinar una
tal que
si 0 < jx
aj <
entonces jf (x)
(b) Apoya tu elección de
Lj < "
del inciso (a) mediante una grá…ca precisa,
(c) Con…rma analíticamente, empleando las propiedades de las desigualdades, la elección de
del inciso (a).
Solución:
(a) Queremos los valores de x que hacen que f (x) esté a una distancia " de L; es decir, buscamos x tal que
f (x)
x2
x
L = ", lo que en este problema nos da la ecuación
25
5
10 = 0:1
que reescribimos como
(x
5) (x + 5)
x 5
10 = x + 5
10 = x
5 = 0:1
que se resuelve como
x = 5:1.
Ahora "hacia abajo" ponemos, L
10
x2
x
f (x) = " que nos da la ecuación
25
= 0:1
5
Factorizando y cancelando factores
10
x2
x
25
= 10
5
(x
5) (x + 5)
= 10
x 5
(x + 5) = 5
x = 0:1
cuya solución es
x = 4:9
Por lo tanto, si x 2 (4:9; 5:1) entonces f (x) 2 (9:9; 10:1).
Así que si tomamos
= 0:1, los valores de f (x) estarán más cerca del límite L = 10 que " = 0:1.
(b) Haciendo una grá…ca en la vecindad de x = 5 tenemos
1
>0
y
10.5
10.4
10.3
10.2
10.1
10.0
9.9
9.8
9.7
9.6
9.5
4.6
4.7
4.8
de donde es claro que
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
5.4
x
= 0:1.
(c)
Demostraremos ahora analíticamente que dado " = 0:1, la
Tenemos que
jf (x)
Lj =
x2
x
25
5
10 = jx + 5
10j = jx
5j < "
por tanto,
jx
5j < " =
y tal como queríamos demostrar,
= " = 0:1
2
que necesitamos es 0.1.