Ecuaciones Diferenciales (Primera Parte)

ECUACIONES
DIFERENCIALES
CARLOS RUZ LEIVA
Definición de ecuación diferencial
Una ecuación que relaciona una función desconocida y una o más de sus
derivadas se llama ecuación diferencial.
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2
Ejemplo 1
dx
= x 2 + t 2 incluye tanto a la función desconocida
dt
dx
x(t ) como a su primera derivada x′(t ) =
.
dt
La ecuación diferencial
d2y
dy
+
5
+ 9 y = 0 incluye la función desconocida y
La ecuación diferencial
dx 2
dx
de la variable independiente x y las primeras dos derivadas y′ y y′′ de y .
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3
Ejemplo 2
Si C es una constante y y ( x) = Ce x , (1)
2
Entonces
(
)
(
)
2
2
dy
= C 2 xe x = (2 x) Ce x = 2 xy .
dx
Así, toda función y ( x) de la forma (1) satisface a la ecuación diferencial
dy
= 2 xy . Es decir, es una solución de la ecuación diferencial, para toda x .
dx
En particular, la ecuación diferencial (1) define a una familia infinita de
soluciones diferentes de esta ecuación diferencial, una para cada elección
de la constante arbitraria C .
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4
En el gráfico se muestran
dos soluciones; una que
pasa por el punto (0,2), la
otra pasa por el punto (0,-2).
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5
Ejemplo 3
Si C es una constante y y ( x) =
1
, entonces
C−x
dy
1
2
y
=
=
si x ≠ C . Así
2
dx (C − x)
1
y ( x) =
C−x
dy
= y 2 para cualquier
dx
intervalo de números reales que no contenga al punto x = C . Con x = 1
1
obtenemos la solución particular y ( x) =
que satisface la condición
1− x
inicial y (0) = 1 . Como se indica en la figura siguiente, esta solución es
define a una solución de la ecuación diferencial
continua en el intervalo
] − ∞,1[
, pero tiene una asíntota vertical en x = 1 .
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7
Definición de orden
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta
que aparezca en ella.
•
•
•
•
dx
= x 2 + t 2 , es de primer orden.
dt
d2y
dy
+
5
+ 9 y = 0 , es de segundo orden.
dx 2
dx
y (5) − xy (3) + x 2 y = cos x , es de quinto orden.
La forma general de una ecuación diferencial de orden n con
variable independiente x y función desconocida o variable
dependiente y = y ( x) es
F ( x, y, y′, y′′,..., y ( n ) ) = 0
(2)
donde F es una función específica con valores reales de n + 2
variables.
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Se dice que la función u = u ( x) es una solución de la ecuación diferencial en
(2), en el intervalo I siempre y cuando las derivadas u ′, u ′′,..., u ( n ) existan
en I y F ( x, u , u ′, u ′′,..., u ( n ) ) = 0 para toda x en I . Más brevemente, decimos
que u = u ( x) satisface la ecuación diferencial en (2) sobre I .
Toda las ecuaciones diferenciales que hemos mencionado hasta ahora son
ecuaciones diferenciales ordinarias, queriendo decir que la función
desconocida (variable dependiente) depende solamente de una sola variable
independiente. Si la variable dependiente es una función de dos o más
variables independientes, entonces la ecuación diferencial se llama
ecuación diferencial parcial (aparecen en la ecuación derivadas
parciales).
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Por ejemplo, la temperatura u = u ( x, t ) en el punto x y en el tiempo t de una
varilla larga y uniforme satisface (en condiciones simples y apropiadas) la
ecuación diferencial parcial
∂u
∂ 2u
=k 2 ,
∂t
∂x
donde k es una constante (difusividad térmica de la varilla).
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En este capítulo estudiaremos ecuaciones diferenciales de primer orden de
la forma
dy
= f ( x, y ) .
dx
También, estudiaremos problemas con condiciones iniciales, de la forma
dy
= f ( x, y ) , y ( x0 ) = y0 .
dx
(3)
Resolver este problema, significa determinar una función diferenciable
y = y ( x) que satisfaga ambas condiciones de la ecuación (3) en algún
intervalo que contenga x0 .
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Ejemplo 4
Dada la solución y ( x) =
1
dy
de la ecuación diferencial
= y 2 , resuelva el
C−x
dx
problema con condición inicial
dy
= y 2 , y (1) = 2 .
dx
Los métodos, que estudiaremos a continuación, nos permitirán resolver este
tipo de problemas y otros de mucho interés en Ciencia y en Ingeniería.
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Integrales como soluciones generales y particulares
dy
= f ( x, y ) , toma una forma particular sencilla si la
dx
función f depende sólo de la variable independiente x :
dy
= f ( x) .
dx
La ecuación diferencial
En este caso, la solución general es
y = y ( x) = ∫ f ( x)dx + C .
Formato básico para usar
en la ClassPad 300
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La solución particular de la ecuación diferencial con condición inicial
dy
= f ( x) , y ( x0 ) = y0
dx
es
y = y ( x) = ∫ f ( x)dx + C , donde C0 se obtiene
0
reemplazando
x = x0 y
y = y0 en la solución general.
Formato básico para usar
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Ejemplo 1
Resuelva el problema con condición inicial
Solución:
dy
= 3 x + 2 , y (1) = 5 .
dx
3x 2
La solución general es y = y ( x) = ∫ (3 x + 2) dx + C =
+ 2x + C .
2
3x 2
+ 2 x + C0 , donde C0 se encuentra
La solución particular es y = y ( x) =
2
reemplazando x = 1 y y = 5 en la solución general obtenida.
3(1) 2
y (1) =
+ 2(1) + C0 = 5 .
2
3
De aquí se obtiene C0 = .
2
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La solución particular de la ecuación diferencial
dy
= 3 x + 2 , con condición
dx
3x 2
3
+ 2x + .
inicial y (1) = 5 , es y = y ( x) =
2
2
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Ejemplo 2
En la figura siguiente se muestra la gráfica de la solución particular del
problema
dy
= 3x + 2 , con distintas condiciones iniciales. ¿Cuál es la distancia
dx
vertical entre dos curvas contiguas? ¿Qué tiene que ver esta distancia
vertical con el valor de la constante C?
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Campos direccionales y curvas solución
Un campo de direcciones de una ecuación diferencial
dy
= f ( x, y ) , está
dx
formado por un conjunto de segmentos de rectas, dibujados en cada punto
( x, y ) del plano XY, con una pendiente igual a f ( x, y ) , como se muestra en
la figura.
La
pendiente
de
este
segmento es igual a f(x,y).
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Ejemplo 1
Las figuras siguientes muestran los campos de direcciones y las curvas de
solución para la ecuación diferencial
dy
= ky
dx
con los valores k = 2, 0.5, y − 1 . Observe que el campo de direcciones
produce una importante información cualitativa acerca del conjunto de
todas las soluciones de la ecuación diferencial.
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Isoclinas
dy
= f ( x, y ) es una curva de la forma
dx
f ( x, y ) = c ( c es una constante) en la cual la pendiente y′( x) es constante.
Una isoclina de la ecuación diferencial
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Ejemplo 2
La isoclina típica de la ecuación diferencial
dy
= x2 + y2
dx
tiene la ecuación x 2 + y 2 = c > 0 , y por tanto es un círculo con centro en el
origen y radio r = c . Varios de estos círculos se presentan en la figura
siguiente.
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Ejemplo 3
Dibuje, en una ventana de visualización −5 ≤ x ≤ 5, − 5 ≤ y ≤ 5 , el campo de
direcciones, curvas de solución y las isoclinas correspondientes a la
ecuación diferencial
dy
= sin( x − y )
dx
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Existencia y unicidad de las soluciones
Suponga que una función con valores reales f ( x, y ) es continua en algún
rectángulo, en el plano XY, que contiene al punto (a, b) en su interior.
Entonces el problema con condición inicial
dy
= f ( x, y ) , y ( a ) = b
dx
tiene al menos una solución definida en algún intervalo J que contiene al
punto a . Si además, la derivada parcial
∂f
es continua en ese rectángulo,
∂y
entonces la solución es única en algún (tal vez más pequeño) intervalo
abierto J 0 que contiene al punto x = a .
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Nota 1: Para la ecuación diferencial
derivada parcial
dy
= − y , la función f ( x, y ) = − y
dx
y la
∂f
= −1 son funciones continuas en todas partes, por lo que
∂y
el teorema 1 implica la existencia de una solución única que pasa por el
punto (a, b) . Aunque el teorema asegura la existencia sólo en algún
intervalo abierto que contenga a x = a , cada solución y ( x) = Ce − x realmente
está definida para toda x .
dy
= 2 y , la función f ( x, y ) = 2 y es
dx
∂f
1
=
continua si y > 0 , pero la derivada parcial
es discontinua cuando
∂y
y
y = 0 , y por lo tanto en (0, 0) . Es por lo que es posible que ahí existan dos
Nota 2: Para la ecuación diferencial
soluciones diferentes y1 ( x ) = x 2 y
y2 ( x) = 0 , cada una de las cuales satisface
la condición inicial y (0) = 0 .
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Ecuaciones separables
La ecuación diferencial de primer orden
dy
= H ( x, y )
dx
se denomina separable a condición de que H ( x, y ) pueda escribirse como el
producto de una función de x y una función de y :
dy
g ( x)
= g ( x)φ ( y ) =
,
dx
f ( y)
donde φ ( y ) =
1
. En este caso las variables x y y pueden separarse,
f ( y)
escribiendo de manera informal la ecuación
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que entendemos será una notación concisa para la ecuación diferencial
f ( y)
dy
= g ( x) .
dx
Integrando ambos miembros con respecto a x :
∫
o en forma equivalente,
f ( y)
dy
dx = ∫ g ( x) dx + C ;
dx
∫ f ( y)dy = ∫ g ( x)dx + C .
De aquí se obtiene la solución general en la forma implícita ϕ ( x, y, C ) = 0 .
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Ejemplo 1
Resuelva el problema con condición inicial
dy
= −6 xy , y (0) = 7 .
dx
¿Cuál será la solución de este problema si la condición inicial es y (0) = −4 ?
El gráfico de la figura muestra el campo de direcciones y las curvas solución
en estos dos casos.
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Ejemplo 2
Resuelva el problema con condición inicial
dy 4 − 2 x
=
, y (1) = 3 .
dx 3 y 2 − 5
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Ejemplo 3
Determine todas las soluciones de la ecuación diferencial
dy
= 6 x( y − 1) 2 / 3 .
dx
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Ecuaciones lineales de primer orden
La ecuación lineal de primer orden tiene la forma
dy
+ P( x) y = Q( x)
dx
donde P y Q son funciones continuas en algún intervalo real.
Método de resolución:
1. Calcular el factor de integración ρ ( x) = e ∫
.
2. Multiplicar ambos miembros de la ecuación diferencial por ρ ( x) .
3. Identificar el miembro izquierdo de la ecuación resultante como
P ( x ) dx
d
[ ρ ( x) y ( x)] = ρ ( x)Q( x) .
dx
4. Integrar la ecuación
ρ ( x) y ( x) = ∫ ρ ( x)Q( x)dx + C .
5. Despejar la y , para obtener la solución general de la ecuación
diferencial original.
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Ejemplo 1
Resuelva el problema con condición inicial
dy
− y = 118 e − x / 3 , y (0) = −1 .
dx
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Ejemplo 2
Determine una solución general de
( x 2 + 1)
dy
+ 3 xy = 6 x .
dx
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Ejemplo 3
Analice los campos de direcciones en los ejemplos anteriores.
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Ecuaciones homogéneas
Una ecuación diferencial homogénea de primer orden es una que puede
escribirse en la forma
dy
⎛ y⎞
= F ⎜ ⎟.
dx
⎝x⎠
Si hacemos las sustituciones
v=
y
dy
dv
, y = vx ,
=v+x ,
dx
dx
x
entonces la ecuación diferencial se transforma en la ecuación separable
x
dv
= F (v ) − v .
dx
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Ejemplo 1
Resuelva la ecuación diferencial
2 xy
dy
= 4 x2 + 3 y 2 .
dx
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Ejemplo 2
Resuelva el problema con condición inicial
x
donde x0 > 0 .
dy
= y + x 2 − y 2 , y ( x0 ) = 0
dx
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Ejemplo 3
Resuelva la ecuación diferencial
dy
= ( x + y + 3) 2 .
dx
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Ejemplo 4
Resuelva la ecuación diferencial
dy x − y − 1
=
.
dx x + y + 3
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Ejemplo 5
Resuelva la ecuación diferencial
dy
x − y +1
=
.
dx 2( y − x) + 3
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Ecuación de Bernoulli
La ecuación diferencial de primer orden de la forma
dy
+ P( x) y = Q( x) y n
dx
se denomina ecuación de Bernoulli. Si n = 0 o n = 1 , entonces la ecuación es
lineal. En caso contrario, la sustitución
v = y1− n
transforma la ecuación diferencial dada en la ecuación lineal
dv
+ (1 − n) P ( x)v = (1 − n)Q( x).
dx
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Ejemplo 6
Resuelva la ecuación diferencial
2 xy
dy
= 4 x2 + 3 y 2 .
dx
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Ejemplo 7
Resuelva la ecuación diferencial
x
dy
+ 6 y = 3 xy 4 / 3 .
dx
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Ecuaciones diferenciales exactas
Supongamos que las funciones M ( x, y ) y N ( x, y ) son continuas y tienen
derivadas parciales de primer orden continuas en el rectángulo abierto
R : a < x < b, c < y < d .
Entonces la ecuación diferencial
M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0
es exacta en R si y sólo si
∂M ∂N
=
(1)
∂y
∂x
en cada punto de R . Esto es, existe una función F ( x, y ) definida en R con
∂F
∂F
= N si y sólo si la ecuación (1) se cumple en R .
=M y
∂y
∂x
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Ejemplo 8
Resuelva la ecuación diferencial
(6 xy − y 3 )dx + (4 y + 3 x 2 − 3 xy 2 )dy = 0 .
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Ecuación de Riccati
dy
= A( x) y 2 + B ( x) y + C ( x) se llama ecuación de Riccati. Si se
dx
conoce una solución particular y1 ( x) de esta ecuación, la sustitución
1
y = y1 +
v
La ecuación
transforma la ecuación de Riccati en la ecuación lineal
dv
+ ( B + 2 Ay1 )v = − A .
dx
Utilice este método para resolver las ecuaciones de los ejemplos siguientes,
dado que y1 ( x) = x es una solución de cada una.
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Ejemplo 9
Resuelva la ecuación diferencial
dy
+ y 2 = 1 + x2 .
dx
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Ejemplo 10
Resuelva la ecuación diferencial
dy
+ 2 xy = 1 + x 2 + y 2 .
dx
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Aplicaciones de ecuaciones de primer orden
Trayectorias ortogonales
Dada la ecuación de una familia de curvas, f ( x, y, A) = 0 , puede
determinarse la ecuación de otra familia de curvas, F ( x, y, B ) = 0 , que corten
a las curvas de la familia original perpendicularmente. Las curvas
F ( x, y, B ) = 0 se llaman las trayectorias ortogonales a las curvas
f ( x, y, A) = 0 .
Ejemplo 1
Las líneas de corriente originadas por dos fuentes en un flujo bidimensional
son las circunferencias x 2 + ( y − a ) 2 = a 2 . Halle las líneas de igual potencial de
velocidad.
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Ejemplo 2
Halle las trayectorias ortogonales a la familia de curvas xy = A .
Ejemplo 3
Halle las trayectorias ortogonales a la familia de elipses 4 y 2 + x 2 = A .
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Crecimiento exponencial
La ecuación diferencial
dy
= ky , ( k una constante)
dx
sirve como modelo matemático para una amplia variedad de fenómenos
naturales, como se muestra en los siguientes ejemplos:
Ejemplo 4
En mayo de 1993 la población mundial alcanzó los 5.5 mil millones y a
partir de entonces aumentó a la tasa de 250 mil personas por día.
Suponiendo que las tasas de nacimiento y muerte fuesen constantes, ¿ para
cuándo se esperaría una población mundial de 11 mil millones?
Ejemplo 5
Suponga que un cuerpo mineral, formado en un antiguo cataclismo (quizá la
formación de la Tierra misma) originalmente contenía el isótopo de uranio
U 238 (cuya vida media es de 4.51× 109 años), pero no contenía plomo, que es
el producto final de la desintegración del U 238 . Si la proporción actual de los
átomos de U 238 al plomo en ese cuerpo mineral es de 0.9, ¿cuándo ocurrió
el cataclismo?
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Circuitos eléctricos
Un circuito básico formado por una fuente electromotriz, que proporciona un
voltaje de E (t ) voltios en el instante t ; un resistor con una resistencia R
ohms; un inductor con una inductancia de L henrys y un capacitor con una
capacitancia de C farads, se muestra en la figura siguiente.
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Ejemplo 6
Un circuito tiene una resistencia R ohmios y una inductancia de L henrios
y está conectado a una batería de voltaje constante, E . Halle la corriente,
i , en amperios, que circula por el circuito t segundos después de cerrarlo.
Ejemplo 7
Un condensador de C faradios de capacidad, al voltaje v0 , se descarga a
través de una resistencia de R ohmios. Muestre que si la carga del
condensador es de q coulombios, la intensidad de corriente es de i
amperios y v es el voltaje al tiempo t ,
q = Cv , v = Ri y i = −
Muestre que, por tanto, v = v0 e
t
− RC
dq
.
dt
.
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Mezclas químicas
Ejemplo 8
Un tanque contiene 1000 litros (L) de una solución que consta de 100 kg de
sal disueltos en agua. Se bombea agua pura hacia el tanque a razón de 5
L/s y la mezcla - que se mantiene uniforme mediante agitación - se extrae
a la misma razón.¿Cuánto tiempo pasará antes de que queden solamente
10 kg de sal en el tanque?
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Ejemplo 9
Un tanque de 400 gal contiene inicialmente 100 gal de salmuera, la cual
contiene a su vez 50 lb de sal. Entra salmuera, cuya concentración es de 1
lb de sal por galón a razón de 5 gal/s, y la salmuera mezclada en el tanque
se derrama a razón de 3 gal/s. ¿Qué cantidad de sal contendrá el tanque
cuando esté lleno de salmuera?
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