LA PARÁBOLA

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INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION
NOMBRE ALUMNA:
AREA : MATEMÁTICAS
ASIGNATURA: GEOMETRÍA
DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO
TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION
PERIODO
GRADO
N°
FECHA
DURACION
4
10
5
Septiembre 6 de 2015
9 UNIDADES
INDICADORES DE DESEMPEÑO
1.
2.
3.
4.
5.
Halla y analiza los elementos de algunas parábolas con base en sus ecuaciones canónicas.
Obtiene la ecuación canónica de la parábola a partir de algunos elementos dados.
Construye la ecuación canónica de la parábola para hacer uso de su ecuación general.
Realiza las actividades grupales y argumenta las opiniones del grupo.
Demuestra agrado por la realización de las actividades propuestas.
LA PARÁBOLA

DEFINICIÓN: Es el lugar geométrico de un punto (x , y) que se mueve en el plano de tal manera que su
distancia a una recta fija llamada directriz es siempre igual a la distancia de dicho punto a un punto fijo
llamado foco y que no está sobre la parábola.

ELEMENTOS DE UNA PARÁBOLA:






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
Eje de la parábola o eje focal: Es la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz.
También se llama eje de simetría porque divide a la parábola en dos partes iguales llamadas ramas.
Foco: Es el punto fijo.
Directriz: Es la recta fija y que es perpendicular al eje de la parábola.
Vértice: Es el punto de donde parten las dos ramas. Sus coordenadas se simbolizan (h, k). El vértice
es el punto medio entre la directriz y el foco, esto quiere decir que la distancia del vértice al foco es igual
a la distancia que hay del vértice a la directriz; dicha distancia se denota con la letra p . Tanto el vértice
como el foco están sobre el eje de la parábola.
Cuerda: Es el segmento de recta que une dos puntos de la parábola.
Cuerda focal: Es la recta que pasa por el foco.
Lado recto (latus rectum): Es la cuerda focal que es perpendicular al eje de la parábola. Su longitud
es igual a 4p.
ECUACIÓNES CANÓNICAS DE LA PARÁBOLA:
En una parábola sólo aparece al cuadrado una de las dos variables x ó y pero no las dos. Cuando el eje de
la parábola es paralelo al eje y se dice que la parábola abre sobre el eje y y en este caso la variable que
aparece al cuadrado es la x, pero si el eje de la parábola es paralelo al eje x la parábola abre sobre el eje x
y la variable que aparece al cuadrado es la y.
Ahora bien, una parábola ubicada en el plano cartesiano puede ocupar cuatro posiciones, a saber: Hacia
arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda. Dependiendo de la forma hacia donde abre la
parábola tendrá como ecuaciones canónicas las siguientes:
2
2
Cuando la parábola abre ó es cóncava hacia arriba.
2
Cuando la parábola abre ó es cóncava hacia abajo.
2
Cuando la parábola abre ó es cóncava hacia la derecha.
2
Cuando la parábola abre ó es cóncava hacia la izquierda.
( x – h ) = 4p( y – k )
( x – h ) = - 4p( y – k )
( y – k ) = 4p( x – h )
( y – k ) = - 4p( x – h )
EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
* PARTE A: Observo con mucha atención los siguientes ejercicios que desarrolla mi profesor en la clase:
1. Para cada una de las parábolas siguientes cuyas ecuaciones canónicas se dan, encuentro sus elementos:
a.
b.
c.
d.
2
2
(x – 1) = 16(y + 2)
2
b. y = - 8(x - 1) c.
2
(y - 2) = 10(x - 3/5)
2
x = 8(y + 2)
e. (x + 2) = - 16(y + 1)
2
f. (y - 2/3) = - 4(x + 3/2)
2
g. (x+ 5) = - 8y
2
h. (x+ 3) = - 10(y – 7)
2. En cada uno de los siguientes casos hallo la ecuación de la parábola de acuerdo a la condición dada así
como la ecuación de la directriz, del eje de parábola y la longitud del lado recto, además las coordenadas
del foco en los casos que no se conoce:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
Vértice en el origen y foco (0, 3).
Vértice en el origen y foco (- 3, 0)
Vértice en el origen y directriz con ecuación x – 5 = 0.
Vértice en el origen y directriz la recta y + 5 = 0.
Vértice (3, - 4) y foco (3, - 1)
Vértice el punto (3, 3) y foco el punto (1, 3)
Foco (- 3, 4) y directriz la recta y – 1 = 0
Vértice (3, 0) y directriz la recta x + 5 = 0
Directriz la recta y – 4 = 0 y vértice (-1, 3)
3. En cada uno de los siguientes casos determino las coordenadas del foco, , del vértice, la ecuación de la
directriz, la ecuación del eje de parábola y la longitud del lado recto para la ecuación dada:
2
a. y = 12x
2
2
b. x = 12y
2
2
c. y + 8x = 0
d. 2x + 4y = 0
2
h. 5x + 2y – 3 = 0
j. 4x2 + 48y – 12x = 159
k. 9y - 24x + 72y + 16 = 0
f. x + 3y – 6 = 0
2
g. y – 3x + 1 = 0
2
2
e. 3y – 5x = 0
2
i. 3y – 7x = 0
3
* PARTE B: Los siguientes ejercicios son para resolverlos bien juiciosa EN MI CASITA:
1. Para cada una de las parábolas siguientes cuyas ecuaciones canónicas se dan, encuentro sus elementos:
a.
b.
c.
d.
2
(x – 3) = 20(y + 2)
2
(x + 2) = - 12(y - 1)
2
(y + 3) = 12(x – 3/2)
2
(y – 1/2) = - 8(x + 2)
e.
f.
g.
h.
2
2
(y + 1) = 4x
2
(y – 2/3) = - 16x
2
x = 8(y + 2)
2
y = - 10x
i. y = 12(x + 2)
2
j. (y- 4) = - (x + 2)
2
k. x = - 10(y + 5)
2. Hallo la ecuación canónica y la general de la parábola cuyo foco es el punto (2, 6) y su vértice es el punto
(- 3, 6). Hallo además la ecuación de la directriz, del eje de parábola y la longitud del lado recto.
3. Encuentro la ecuación canónica y general de la parábola cuyo foco es el punto (3, 8) y la directriz es la recta
x = 2. Hallo además la ecuación del eje de parábola y la longitud del lado recto.
4. El foco de una parábola es el punto (- 2, 3) y la directriz es la recta y = 6. Determino su ecuación canónica,
la ecuación del eje principal y la longitud del lado recto.
2
5. Halla todos los elementos de la parábola cuya ecuación es y + 4x – 7 = 0.
6. Halla la ecuación de la parábola con foco (0, 2) y directriz la recta 3y + 6 = 0.

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA.
Ya se me había mencionado que cuando la parábola tiene su eje paralelo al eje x la variable que aparece
elevada al cuadrado es y, y cuando su eje es paralelo al eje y la variable que aparece elevada al cuadrado es x.
Por lo tanto se tiene que:
2
* Si su eje es paralelo al eje y la ecuación general será de la forma: x + bx + cy + d = 0
2
* Si su eje es paralelo al eje x la ecuación general será de la forma: y + by + cx + d = 0
OBSERVO detenidamente la solución de los siguientes ejercicios que mi profesor desarrolla en la clase:
Expreso cada una de las siguientes parábolas en su forma canónica y halla sus elementos:
2
a. y + 6x + 4x + 8 = 0
2
d. 4y + 48x + 12y = 159
2
b. 4x – 8x - 3y – 2 = 0
2
e. 4y – 48x – 20y = 71
2
c. 9y + 24y + 72x + 16 = 0