Tema 20 - Universidad Nacional de Colombia : Sede Medellin

MATEMÁTICAS BÁSICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN
CLASE #28
Identidades Trigonométricas
Una identidad es una ecuación que es válida para todos los valores de las variables para los cuales están
de…nidas las expresiones involucradas en ella.
Ejemplo
La ecuación x3
1)(x2 + x + 1) es una identidad porque es válida para todo x 2 R:
1
2
= 2
es una identidad para x 6=
x 1 x+1
x
1
las expresiones que aparecen en la igualdad.
La ecuación
1
1 = (x
La ecuación x2
1; porque para esos valores están de…nidas
1 = 0 no es una identidad, porque sólo es válida para x =
1:
Si una identidad contiene expresiones trigonométricas, se denomina identidad trigonométrica..
Veremos inicialmente unas identidades trigonométricas básicas, llamadas identidades trigonométricas
fundamentales, que nos permiten expresar una función trigonométrica en términos de las otras, simpli…car
expresiones trigonométricas y resolver ecuaciones trigonométricas.
Identidades Trigonométricas Fundamentales
Identidades Recíprocas
Se deducen directamente de la de…nición de las funciones trigonométricas:
sen t
=
cos t
=
tan t
=
tan t
=
1
csc t
1
sec t
1
cot t
sen t
cos t
;
;
;
;
1
sen t
1
sec t =
cos t
1
cot t =
tan t
cos t
cot t =
sen t
csc t =
Identidades Pitagóricas
sen 2 t + cos2 t
1 + tan2 t
1 + cot2 t
= 1
= sec2 t
= csc2 t
Prueba:
En la circunferencia unitaria consideremos un ángulo en posición estándar cuya medida en radianes es
t y sea P = (x; y) el punto en el que el lado terminal del ángulo t interseca la circunferencia unitaria.
1
Como sen t = y y cos t = x; por el Teorema de Pitágoras
sen 2 t + cos2 t = 1 (1)
Si en (1), dividimos ambos lados de la ecuación por cos2 t , cos t 6= 0; obtenemos
sen 2 t cos2 t
+
=
cos2 t cos2 t
tan2 t + 1 =
1
cos2 t
sec2 t:
Si en (1), dividimos ambos lados de la ecuación por sen2 t , sen t 6= 0; obtenemos
sen 2 t cos2 t
1
=
+
sen2 t sen2 t
sen2 t
1 + cot2 t = csc2 t:
Simpli…cación de Expresiones Trigonométricas
Para simpli…car expresiones trigonométricas utilizamos las mismas técnicas empleadas para simpli…car expresiones algebraicas y las identidades trigonométricas fundamentales.
Ejemplo
Simpli…car las siguientes expresiones trigonométricas:
1. cos3 x + sen 2 x cos x
2.
1 + cot A
csc A
3.
sen y
cos y
+
:
cos y
1 + sen y
Solución
1. cos3 x + sen 2 x cos x = cos2 x cos x + sen 2 x cos x = cos2 x + sen 2 x cos x = 1 cos x = cos x:
sen A + cos A
cos A
1+
sen A (sen A + cos A)
1 + cot A
sen A
sen
A
=
=
= sen A + cos A:
=
2.
1
1
sen A
csc A
sen A
sen A
Observación: En algunas casos es útil escribir la expresión a simpli…car en términos de las funciones seno
y coseno, como se hizo en el ejemplo anterior.
3.
sen y
cos y
sen y (1 + sen y) + cos y cos y
sen y + sen 2 y + cos2 y
+
=
=
cos y
1 + sen y
cos y (1 + sen y)
cos y (1 + sen y)
sen y + 1
1
=
=
= sec y:
cos y (1 + sen y)
cos y
2
Demostración de Identidades Trigonométricas
Además de las identidades trigonométricas fundamentales, hay otras identidades importantes que se usan en
otros cursos de matemáticas y de física.
Dada una ecuación es fácil probar que no es una identidad, hallando al menos un valor de la variable (o
variables) para el cual no se satisfaga la ecuación.
Ejemplo
Demostrar que la ecuación sen x + cos x = 1 no es una identidad trigonométrica.
Solución
Para demostrar que, sen x + cos x = 1 no es una identidad, basta encontrar un valor de x para el cual no se
cumpla la ecuación.
p
p
2
2
y cos =
. Luego,
Consideremos x = : sen =
4
4
2
4
2
p
p
2
2 p
sen + cos =
+
= 2 6= 1:
4
4
2
2
Como sen x y cos x están de…nidas para todo x 2 R y x = no satisface la ecuación, entonces sen x+cos x = 1
4
no es una identidad.
Ejemplo
Demostrar que la ecuación tan x + 1 = 2 no es una identidad.
Solución
Consideremos x =
6
:
1
1
1
6
tan =
= p2 = p y tan + 1 = p + 1 6= 2:
6
6
3
3
3
cos
6
2
Luego, tan x + 1 = 2 no es una identidad.
sen
¿Cómo probar que una Ecuación es una Identidad?
Para probar que una ecuación es una identidad trigonométrica, debemos elegir un lado de la ecuación y
transformarlo, usando identidades conocidas y operaciones algebraicas, hasta obtener el otro lado de la
ecuación.
Algunas sugerencias para realizar este trabajo son:
Escoger el lado "más complicado" de la ecuación para transformarlo.
Realizar operaciones algebraicas como sumar o restar fracciones, o expresar una fracción como una
suma de fracciones, o factorizar numerador o denominador de una fracción, entre otras.
Tener en cuenta la expresión del lado de la ecuación al cual se quiere llegar ya que ésta le puede sugerir
el paso siguiente.
En algunos casos, es útil expresar el lado de la ecuación a transformar en términos de seno y coseno,
usando las identidades fundamentales.
3
Otro método para probar que una ecuación es una identidad, es transformar ambos lados por separado hasta
obtener en cada lado la misma expresión. En este caso no necesariamente realizamos las mismas operaciones
en ambos lados, sino que trabajamos independientemente en cada lado hasta obtener el mismo resultado en
ambos lados.
Ejemplo
Probar las siguientes identidades trigonométricas:
1.
1 + sec2 x
= 1 + cos2 x
1 + tan2 x
2. 2 tan x sec x =
3.
1
1
sen x
1
1 + sen x
tan2 x
1 + cos x
=
:
cos x
sec x 1
Solución
1. Transformemos el lado izquierdo de la ecuación:
1 + sec2 x
1 + sec2 x
1
sec2 x
=
+
= cos2 +1 = 1 + cos2 x:
=
sec2 x
sec2 x sec2 x
1 + tan2 x
Luego,
1 + sec2 x
= 1 + cos2 x es una identidad trigonométrica.
1 + tan2 x
2. Escojamos el lado derecho:
1
1
sen x
1
1 + sen x (1 sen x)
2 sen x
2 sen x
sen x 1
=
= 2
=
=2
= 2 tan x sec x:
1 + sen x
(1 sen x) (1 + sen x)
1
sen 2 x
cos2 x
cos x cos x
Luego, la ecuación dada es una identidad trigonométrica.
3. Trabajemos con ambos lados separadamente:
1 + cos x
1
cos x
=
+
= sec x + 1
Lado izquierdo:
cos x
cos x cos x
tan2 x
sec2 x 1
(sec x + 1) (sec x 1)
=
= sec x + 1:
Lado derecho:
=
sec x 1
sec x 1
sec x 1
Como al transformar cada lado de la ecuación se obtiene la misma expresión, la ecuación dada es una
identidad.
Otras identidades trigonométricas importantes
Existen otras identidades trigonométricas importantes que involucran más de un ángulo o múltiplos de un
ángulo.
Fórmulas de Adición y Sustracción
1. sen (s + t) = sen s cos t + cos s sen t
cos (s + t) = cos s cos t sin s sin t:
tan s + tan t
tan (s + t) =
1 tan s tan t
4
Prueba
Las fórmulas para seno y coseno de la suma de ángulos se deducen de la siguiente grá…ca
sen s cos t cos s sen t
+
sen(s + t)
sen s cos t + cos s sen t
cos s cos t = tan s + tan t
tan (s + t) =
=
= cos s cos t
cos
s
cos
t
sin s sin t
1 tan s tan t
cos(s + t)
cos s cos t sin s sin t
cos s cos t cos s cos t
2. sen (s
t) = sen s cos t
cos s sen t
cos (s
t) = cos s cos t + sin s sin t:
tan s tan t
tan (s t) =
1 + tan s tan t
Prueba
Las fórmulas para seno y coseno de la diferencia de ángulos se obtienen escribiendo sen (s t) =
sen (s + ( t)) y cos (s t) = cos (s + ( t)) y teniendo en cuenta que sen ( t) = sen t y cos ( t) =
cos t:
Tarea
Usar el hecho de que s
t = s + ( t) para probar la fórmula de la tangente de la diferencia
Ejemplo
Calcular el valor exacto de las siguientes expresiones, sin emplear calculadora:
1. cos (20o ) cos (70o )
2. tan
sen (20o ) sen (70o )
7
:
12
Solución
1. cos (20o ) cos (70o )
7
2. tan
= tan
12
sen (20o ) sen (70o ) = cos (20o + 70o ) = cos (90o ) = 0:
3
4
+
12
12
p
p
+ tan
3
1+ 3
4
3 = 1+ p
p :
=
1 1
3
1
3
tan tan
4
3
tan
= tan
4
+
3
=
1
5
Ejemplo
Demostrar las siguientes identidades trigonométricas:
1. sec
2. 1
2
x = csc x
tan x tan y =
cos (x + y)
:
cos x cos y
Solución
1. Transformemos el izquierdo:
1
1
1
1
sec
x =
=
=
=
= csc x:
2
0
cos
x
+
1
sen
x
sen
x
cos cos x + sen sen x
cos
x
2
2
2
2. Transformemos el lado derecho:
cos x cos y sen x sen y
cos x cos y
cos (x + y)
=
=
cos x cos y
cos x cos y
cos x cos y
= 1 tan x tan y:
sen x sen y
=1
cos x cos y
sen x sen y
=1
cos x cos y
sen x sen y
cos x cos y
Expresiones de la forma A sen x + B sen x
Las expresiones de la forma A sen x+B sen x siempre pueden escribirse en la forma k sen (x + ) ó k cos (x + ).
Veamos:
Ejemplo
p
1
3
Expresar sen x +
cos x en la forma k cos (x + ).
2
2
Solución
k cos (x + ) = k [cos x cos
sen x sen ] = k cos x cos
k sen x sen
Para que se cumpla la igualdad es necesario que
k sen
=
1
y que k cos
2
=
1
y k 2 cos2
4
=
p
3
:
2
Elevando al cuadrado ambas expresiones:
k 2 sen 2 =
3
:
4
Ahora, sumando:
k 2 sen 2 + k 2 cos2
k 2 sen 2 + cos2
k2
6
1 3
+
4 4
4
=
=1
4
1 = 1
k = 1:
=
= ( k sen ) sen x + (k cos ) cos x:
De esta forma:
Como sen
Así,
< 0 y cos
> 0,
k sen
=
k cos
=
1
: 1 sen
2p
3
: 1 cos
2
1
: sen =
2p
3
=
: cos =
2
=
1
2p
3
2
se encuentra en el IV cuadrante. Por lo tanto,
p
1
3
sen x +
cos x = 1 cos x +
2
2
6
= cos x
=
6
.
6
Fórmulas para el Ángulo Doble y para el Semiángulo ó Ángulo Medio
Fórmulas para el Ángulo Doble
A partir de las fórmulas de adición y sustracción, es fácil probar las siguientes fórmulas para el ángulo doble:
sen 2x = 2 sen x cos x
cos 2x = cos2 x
tan 2x =
1
sen 2 x
2 tan x
tan2 x
En efecto, sen 2x = sen (x + x) = sen x cos x + sen x cos x = 2 sen x cos x
Tarea
Demostrar las fórmulas para el coseno y la tangente del ángulo doble.
Ejemplo
Probar las siguientes identidades:
1. sen2 x =
2. cos2 x =
1
cos 2x
2
1 + cos 2x
2
7
Solución
1. cos 2x = cos2 x
sen 2 x
2
cos 2x = 1
sen x
cos 2x = 1
2 sen 2 x
sen 2 x
2 sin2 x = 1 cos 2x
1 cos 2x
sen 2 x =
2
2. cos 2x = cos2 x
cos 2x = cos2 x
sen 2 x
1
cos2 x
2
cos 2x = 2 cos x 1
1 + cos 2x
cos2 x =
2
Fórmulas para el Semiángulo o Ángulo Medio
r
u
1 cos u
sen =
2
2
r
1 + cos u
u
cos =
2
2
1 cos u
u
sen u
u
tan =
ó, tan =
2
sin u
2
1 + cos u
u
En las dos primeras fórmulas la elección del signo + ó depende del cuadrante en el que se encuentre .
2
Las demostraciones de estas fórmulas se obtienen a partir de los resultados del ejemplo anterior, haciendo
u
x= .
2
u
En efecto, usando el resultado del numeral 2. del ejemplo anterior, haciendo x = ; tenemos:
2
1 cos u
2 u
sen =
2
2
Luego:
r
u
1 cos u
sen =
2
2
Ejemplo
Calcular el valor exacto de cos 22:5o .
Solución
r
45o
1 + cos 45o
cos (22:5 ) = cos
=
2
2
Como 22:5o está en el primer cuadrante, elegimos el signo +:
v
v
p
p
u
u
s
2
u
u2+ 2
p
r
p
p
t
t
1
+
o
1
+
cos
45
2+ 2
2+ 2
o
2
2
cos (22:5 ) =
=
=
=
=
2
2
2
4
2
Tarea
o
Probar las siguientes identidades:
1
sen u cos u = [sen (u + v) + sen (u v)]
2
1
sen u sen u = [cos (u v) cos (u + v)]
2
8