Práctico 1

Ondas - Curso 2014
Facultad de Ciencias - Instituto de Fı́sica
Práctico 1
Fecha de entrega de los ejercicios: Martes 8 de Abril
1. Encuentrar la posición de equilibrio estático para el sistema masa resorte que pende verticalmente
de un soporte fijo.
a) Mostrar que la ecuación de movimiento puede expresarse de la forma mẍ + kx = 0, donde
x es la coordenada de la masa medida desde la posición de equilibrio.
b) Probar que la solución puede
p expresarse de la forma x = A sin(ωt) + B cos(ωt) , donde A
y B son constantes y ω = k/m
c) Mostrar que la solución también puede expresarse de la forma x = C cos(ωt + ϕ). ¿Cuál
es la relación entre las constantes C y ϕ con las constantes A y B?.
2. Una cuerda de longitud L, la cual está fija en ambos extremos bajo una tensión T , tiene enhebrada una cuenta
de masa m a una distancia a de uno de sus extremos.
Suponga que a la masa m se le imprime un pequeño
desplazamiento transversal, apartando la cuerda de su
posición de equilibrio de forma tal que la tensión permanece aproximadamente constante. Para oscilaciones
pequeñas encuentrar la frecuencia natural de la vibración transversal.
3. Un manómetro tiene sección transversal A. La columna de lı́quido (que tiene densidad ρ y
longitud L) se pone en movimiento. Hallar la frecuencia natural de la oscilación del sistema.
4. La polea de la figura tiene radio r y puede girar sin fricción alrededor de un eje por su centro.
La masa m está unida a un resorte de constante k por una cuerda de masa despreciable pasando
por la polea sin deslizamiento. Determinar la frecuencia natural del sistema usando
a) Ecuaciones de fuerzas.
b) Consideraciones de enrgı́a
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5. Un sistema masa-resorte oscila dentro de un fluido que le ejerce una fuerza amortiguadora
proporcional a la velocidad F = bv. La constante elástica del resorte es k = 80N/m y la masa
es de m = 0,2kg.
a) Escribir la ecuación de movimiento.
b) ¿Qué condición tiene que cumplir la constante b para que el sistema tenga soluciones de la
γt
b
forma x(t) = A0 e− 2 cos(ωt + ϕ), con γ = 2m
?
√
c) Si ω =
3
2 ω0 ,
donde ω0 =
q
k
m,
¿cuál es el valor de la constante b?
d ) ¿Cuál es el valor del Factor de calidad Q del sistema oscilatorio y en qué factor se reducirá la
amplitud del sistema después de 10 ciclos?
6. Se considera el sistema formado por 2 masas iguales m acopladas por resortes de igual constante
elástica k. Hallar los modos normales de vibración horizontal del sistema.
7. (*) Sean 2 péndulos simples de masas iguales m
y largos l, acoplados por un resorte de constante
elástica k como se muestra en la figura.
a) Hallar las ecuaciones que gobiernan el movimiento de los péndulos.
b) Hallar las frecuencias de oscilacion de los modos normales del sistema ω1 y ω2 .
c) Dé la expresión de la energı́a E del sistema en función de las variables xa , xb y sus derivadas.
Muestre que la energı́a E se mantiene constante en el tiempo.
d ) Halle las soluciones particulares que cumplan las condiciones iniciales xa (0) = 2A, ẋa (0) =
2
y la
0, xb (0) = 0 y ẋb (0) = 0.Definiendo la frecuencia promedio como ωP = ω1 +ω
2
ω1 −ω2
frecuencia de modulación ωM =
2 , exprese las soluciones particulares halladas en
función de estas frecuencias.
8. (*) Se construye un sismógrafo simple que consiste en una
masa M colgando de un resorte en un soporte rı́gido sujeto a
la superficie de la Tierra como se muestra en la figura.
a) Si la función η representa el movimiento de la corteza terestre, escribir la ecuación de
movimiento para la masa suponiendo que existe un amortiguamiento proporcional a la
velocidad de la masa.
b) Resolver la ecuación de movimiento suponiendo que η = C cos(ωT t). Graficar la amplitud
del movimiento resultante en función de la frecuencia y discutir.
c) ¿Como cambiarı́a el resultado anterior si no existiera el amortiguamiento?
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9. Sean las vibraciones representadas por x1 (t) = A1 cos(2πν1 t) y x2 (t) = A2 cos(2πν2 t). Considere la suma de ambas vibraciones x(t) = x1 (t) + x2 (t).
a) Encontrar la forma general para x(t)
b) ¿Cuál es el periodo de la vibración resultante? Encontrar este periodo explı́citamente si
ν1 = 450 Hz y ν2 = 100 Hz.
c) Suponga ahora que las frecuencias ν1 y ν2 son muy próximas. Grafique x(t).
d ) ¿Sufre la frecuencia de la vibración resultante alguna variación si se le agrega una fase ϕ a
x1 ? ¿Y la amplitud?
e) Realice un diagrama fasorial para sumar los fasores asociados a las soluciones x1 (t) y x2 (t)
suponiendo que existe entre ellos una fase ϕ y que ambas frecuencias son iguales, y muestre
que se cumple: A2 = A21 + A22 + 2A1 A2 cos(ϕ).
f ) Demuestre que si z es el complejo asociado a la solución x, éste puede expresarse como:
z = eiωt (A1 + A2 eiϕ ).
10. Sea un punto P del plano cuyo movimiento en coordenadas cartesianas se rige por las siguientes
ecuaciones: x(t) = A cos(ωx t) e y(t) = B cos(ωy t + ϕ).
a) Si las frecuencias ωx y ωy son iguales, dibuje la trayectoria del punto P para ϕ = 0,
π
2
b) Repita el punto anterior suponiendo que las frecuencias cumplen ωx = 2ωy
3
y π.