Calcula

CÁLCULO I ( 1o GIEAI). CURSO 2013-14.
SOLUCIONES del EXAMEN Bloque 2
(24 de noviembre de 2014)
√
1. Dada la función f (x) = x + 3, utiliza la√linealización de y = f (x) en el punto adecuado para
obtener, de forma aproximada, el valor de 4.05 SIN utilizar la calculadora.
Este ejercicio se propuso en clase, aunque no se resolvió
√ allı́. Además, el ejercicio 9 de la hoja 2 es
similar. Tenemos que aproximar el valor de f (1.05) = 4.05 con la recta tangente a f (x) en x = 1:
1
com f 0 (x) = √
, la ecuación de la recta es
2 x+3
1
y(x) = f (1) + f 0 (1)(x − 1) = 2 + (x − 1)
4
1
0.05
y el valor pedido es f (1.05) ∼ y(1.05) = 2 + (1.05 − 1) = 2 +
= 2.0125
4
4
2. La relación cos(x + y) = x − y define implı́citamente x como función de y. Calcula dx/dy.
Al derivar implicitamente respecto de y y despejar x0 se tiene
− sin(x + y)(x0 + 1) = x0 − 1 ⇔ x0 (y) =
1 − sin(x + y)
1 + sin(x + y)
3. Determina la solución de la ecuación ex = −x con dos decimales de precisión.
Hay varios ejercicios deeste tipo propuestos en la hoja 2 (si se usa el método de Newton) o en la hoja
1 (en caso de utilizar el método de la bisección). Se trata de calcular la solución de f (x) = ex +x = 0.
Como f es continua y f (0) > 0 pero f (−1) > 0 la ecuación tiene al menos una solución. Además,
f 0 (x) > 0, por lo que la solución es única. Como f es derivable se puede usar el método de Newton
(o el de la bisección). Para utilizar Newton hay que aplicar el esquema xn+1 = xn − f (xn )/f 0 (xn ) a
partir de un punto incial x0 ”próximo” a la raı́z. Por ejemplo, x0 = 0, x0 = −1 o, mejor, x0 = −1/2.
Precisamente con esa elección se tiene
x0 = −0.5, x1 = −0.5663110032, x2 = −0.567143165
Z √
1 − x2
dx
x4
Hay que hacer alguno de los cambios de variable sin t = x o cos t = x (ver ejercicio 21 de la hoja
2). Si usas el segundo,
Z √
Z
Z
1
sin2 t
tan3 t
tan3 (arc cos t)
1 − x2
dx
=
dt
=
tan2 t
dt =
+C =
+C
4
4
2
x
cos t
cos t
3
3
4. Calcula
x2 − x + 3
dx
x2 − 2x − 2
Función racional, como en el ejercicio 22 de la hoja 2. Lo primero es dividir numeradorentre denominador
Z
Z
x2 − x + 3
x+5
dx = 1 + 2
dx
2
x − 2x − 2
x − 2x − 2
√
Además, las raı́ces del polinomio del denominador son x = 1 ± 3 de donde, tras descomponer en
fracciones simplesse tiene
√
√
Z
√
√
x+5
3−4 3
3+4 3
1+ 2
dx = x +
ln |x − 1 − 3| +
ln |x − 1 + 3|
x − 2x − 2
6
6
Z
5. Calcula
6. Una partı́cula se mueve a lo largo de la curva y = atan (x2 ). Cuando x = 1 cm la componente y de
su posición está aumentando a una velocidad de dos centı́metros por segundo.
a) ¿A qué velocidad cambia la componente x en ese momento?
b) ¿A qué velocidad crece en ese momento la distancia de la partı́cula al origen?
c) ¿A qué velocidad se modifica el ángulo formado por el semieje positivo de las x y el segmento
que va desde el origen a la posición de la partı́cula?
a) Derivando con respecto a t en y = atan (x2 ) tenemos
dy
2x dx
=
dt
1 + x4 dt
dx dy = 2, llegamos a
= 2.
y como
dt x=1
dt x=1
b) La distancia d de la partı́cula al origen esta relacionada con x e y de la siguiente forma:
p
d = x2 + y 2
Derivando respecto a t obtenemos
xx0 + yy 0
d0 = p
x2 + y 2
8 + 2π
y sustituyendo x = 1, y = atan 1 = π/4, x0 = 2 e y 0 = 2 llegamos a d0 |x=1 = √
.
16 + π 2
c) El ángulo θ formado por el semieje positivo de las x y el segmento que va desde el origen a la
posición de la partı́cula verifica la siguiente igualdad:
tg θ =
y
x
Derivando respecto a t obtenemos
(1 + (tg θ)2 )θ0 =
y 0 x − yx0
x2
y sustituyendo x = 1, y = π/4, x0 = 2 e y 0 = 2 y observando que en este caso tg θ = π/4
32 − 8π
llegamos a θ0 |x=1 =
.
16 + π 2
7. Dada la función

4x + 4



 x+4
f (x) =
1




(cos x)2
Z
se define g(x) =
si x ∈ [−2, 0)
si x ∈ [0, π]
si x ∈ (π, 2π]
x
f (t) dt
0
a) Encuentra una expresión a trozos para g(x) de forma semejante a la de f .
b) Enuncia el Teorema Fundamental del Cálculo y halla g 0 (x).
c) Calcula los extremos locales y absolutos de g.
a) Si x ∈ [−2, 0)
Z x
Z
g(x) =
f (t) dt = −
0
0
x
4t + 4
t=0
dt = (−4t + 12 ln |t + 4|)|t=x = 12 ln 4 + 4x − 12 ln(4 + x)
t+4
si x ∈ [0, π]
Z
g(x) =
x
Z
f (t) dt =
0
x
1 dt = x
0
y si x ∈ (π, 2π]
t=x
Z x
Z π
Z x
1
1
π 1
1
g(x) =
f (t) dt =
1 dt + (cos t)2 dt = π +
t + sen(2t) = + x + sen(2x)
2
4
2
2
4
0
0
π
t=π
de manera que

12 ln 4 + 4x − 12 ln(4 + x) si x ∈ [−2, 0)


x
si x ∈ [0, π]
g(x) =

 π 1
1
si x ∈ (π, 2π]
2 + 2 x + 4 sen(2x)
b) Teorema fundamental del Cálculo Sea f una función continua en [a, b]. La función g
definida para todo x ∈ [a, b] como:
Z x
g(x) =
f (s) ds.
a
0
es continua en [a, b], derivable en (a, b) y g (x) = f (x).
g 0 (x) = f (x).
c) La derivada de g(x), que es f (x), para x ∈ [0, 2π] es claramente positiva, y en [−2, 0) hay que
4x + 4
ver el signo de
, x + 4 siempre es positivo y 4x + 4 es positivo si x ∈ (−1, 0) y negativo
x+4
si x ∈ [−2, −1). Ası́ f es decreciente en [−2, −1) y creciente en (−1, 2π], lo que implica que el
mı́nimo absoluto de g(x) se alcanza en x = −1 y vale g(−1) = −4+12 ln(4/3) ≈ −0,547815. El
máximo absoluto se alcanzará o en x = −2 o en x = 2π, como g(−2) = −8+12 ln 2 ≈ 0,317766 y
g(2π) = 23 π ≈ 4,712389 es éste último. El único extremo local coincide con el mı́nimo absoluto.
8. Sea R la región encerrada por las rectas x = 0 y x = 2 y las curvas y = 3 +
√
1
e y = 3 x2 + 1.
x+1
a) Expresa el volumen del sólido que se genera cuando R gira alrededor de la recta y = 1 mediante
una integral, sin calcularla.
b) Aproxima el valor de la integral utilizando la regla del trapecio con n = 4.
a) El gráfico de la región R es el siguiente:
Región R
5
y=3+1/(x+1)
y=(x 2+1) (1/3)
x=2
y=1
4
3
2
1
0
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
√
Las secciones transversales del sólido son coronas circulares con radio pequeño rx = 3 x2 + 1−1
!
2
√
2
1
1
3
2
y radio grande Rx = 3+
−1, de manera que su área es A(x) = π
2+
−
x +1−1
.
x+1
x+1
El volumen del sólido, por tanto, se puede calcular mediante la siguiente integral:
!
2 p
Z 2
2
1
3
2
x +1−1
dx
V =
π
2+
−
x+1
0
b) Para aproximar el valor de la integral utilizando
la regla del trapecio con n = 4 llamamos
!
2
√
1
2
f (x) = π
2+
− 3 x2 + 1 − 1
. Calculamos h = 2/4 = 0,5 y ası́ tenemos x0 = 0,
x+1
x1 = 0,5, x2 = 1, x3 = 1,5 y x4 = 2. La regla del trapecio nos da:
T4 = 0,25(f (0) + f (2)) + 0,5(f (1/2) + f (1) + f (1,5)) ≈ 40,5048