1-2007-08

Ampliación de Matemáticas
Grupo 16 de 1o de Ciencias Ambientales, 12 de marzo de 2007, primer
examen orientativo.
Ejercicio 1.Parte 1: Escribir cómo se leen las ecuaciones:
(a) x0 (t) = t2 sen2 x(t)
(b)
dy
= x3 + y −2
dx
(c) x00 (t) = 2x0 (t) + 5x(t) − cos t
(d) y 00 (x) = y(x) + ln y(x)
Rx
(e) y 0 (x) = 2y(x) + 0 y(t) dt
(f)
dy
d2 y
=
+ y − ex
dx2
dx
Indicación.- (e) se lee “y prima de x igual a 2 por y de x más la integral desde
0 hasta x de y de t diferencial de t”
Parte 2: Completar las ecuaciones y fórmulas siguientes al cambiar las variables mudas como se sugiere:
(A) x0 (t) = t2 sen2 x(t),
−→
z 0 (t) =
(B) x0 (t) = t2 sen2 x(t),
−→
y 0 (x) = x2
(C) x00 (t) = 2x0 (t) + 5x(t) − cos t,
(D) p0 (v) = 2v 3 p(v),
y 0 (x) = 2x3
−→
−→
(E) f (x) = sen x,
x00 (s) = 2x0 (s)+
−→
f ( ) = sen t
(F)
n
X
ai ,
−→
i=1
n
X
a
j=1
(G)
Z
7
(x2 + x − 2) dx,
Z
−→
1
(
+ − ) ds
1
(H)
F (x) = e
7
−x2
Z
x
cos t dt,
1
−→
F (y) = e
−
Z
cos
1
ds
(I)
Sn = n 3
n
X
ai ,
−→
Sm = m3
i=0
X
a
j=0
(J)
f (n) = (n2 − n − 1)
n
X
ak ,
−→
f (n) = (n2 − n − 1)
X
aj−2
j=3
k=1
Parte 3: Traducir a sı́mbolos matemáticos las ecuaciones y fórmulas siguientes:
(a) “x prima de t igual a x de t por seno de t” (x0 (t) = x(t) sen t)
(b) “derivada de y respecto de x igual a x al cuadrado más y”
(c) “derivada segunda de x igual a derivada primera de x más dos por e elevado
a menos t”
(d) “g de n igual a n al cubo por la suma de b sub j desde j igual a 1 hasta n”
(e) “c sub 1 más c sub 2 más puntos suspensivos más c sub m”
(f) “G de u igual a la integral desde 0 hasta u de x al cuadrado más x menos
seno de x diferencial de x”
Ejercicio 2.- Hallar la función g(x) para que la función x(t) = e2t sea una
solución de la ecuación diferencial
dx
= 2x − t + g(x).
dt
Ejercicio 3.- Sea u(x) la solución del problema de condición inicial
(
y 0 (x) = x2 + y(x)2
y(0) = 0.
Hallar u0 (0), u00 (0), u000 (0). ¿Tiene u(x) un punto de inflexión en x = 0? Probar
que u00 (x) < 0 para todo x < 0; por tanto u(x) es cóncava en el intervalo (∞, 0).
Sea v(x) la solución del problema de condición inicial
(
y 0 (x) = x2 + y(x)2
y(0) = 1.
Hallar v 0 (0), v 00 (0), v 000 (0). Observando la Figura 1 adivinamos que existe un
punto x1 < 0 donde v 00 (x) se anula; demostrar la existencia de este x1 , lo que
podrı́a interpretarse diciendo que v(x) tiene un punto de inflexión inclinada en
x1 .
2
Figura 1: Curvas de soluciones de y 0 = x2 + y 2 .
3
Ejercicio 4.-Sea b(t) una función cuya gráfica sobre el intervalo 0 ≤ t ≤ 6
aparece en la Figura 2. También se dan dos funciones x1 (t) y x2 (t) en la misma
figura. Se pide decir cuál de estas dos funciones es la solución del problema de
condición inicial
(
x0 (t) = x(t) + b(t),
x(0) = 2.
Razónese.
x
4
x1 (t)
x2 (t)
2
t
0
1
2
4
3
−2
b(t)
−4
Figura 2: Datos visuales del Ejercicio 4.
4
5
6