1.1. Trayectoria, posición, velocidad, rapidez y aceleración lineales

Cinemática de la partı́cula
Tarea tema 1.1
26 de agosto de 2016
Problema 1 El movimiento de una partı́cula en una dimensión está dado por la ecuación x(t) =
αt2 + β + γ cos (ωt), donde t representa al tiempo. Determina las expresiones para
la velocidad v y aceleración a como funciones del tiempo. Si α = 6 m/s2 , β = −8 m,
γ = 40 m y ω = π rad/s, determina los valores de v(t) y a(t) cuando t = 6 s.
Problema 2 Una partı́cula se mueve en una dimensión según la ecuación x(t) = αt3 + βt2 + γt + δ,
donde t representa el tiempo. Determina (a) las expresiones para la velocidad v(t)
y la aceleración a(t), (b) el tiempo para cuando el objeto se detiene (i.e. cuando
v = 0 m/s) y (c) la distancia total desde que empieza a correr el tiempo hasta cuando
el objeto llega a x = 0 m. Evalúa las expresiones de los incisos (a), (b) y (c) cuando
α = 1 m/s3 , β = −6 m/s2 , γ = −36 m/s y δ = −40 m.
Problema 3 La aceleración de un objeto que se mueve en una dimensión está dada por a(x(t)) =
−ω 2 x(t), donde ω > 0 es una constante con unidades rad/s. (a) Muestra que la
expresión para la posición como función de tiempo es de la forma x(t) = A sen (ωt) +
2
B cos (ωt). (b) Si definimos T̃ = 12 (v 2 −v02 ) y Ṽ = − ω2 (x2 −x20 ), muestra que entonces
T̃ = Ṽ para todo tiempo t.
Problema 4 Es posible medir la profundidad de un pozo dejando caer una piedra y midiendo
el tiempo τ hasta que suena que ésta impacta con el piso, conociendo solamente
que la aceleración de gravedad es g = 9.8 m/s2 y que la velocidad del sonido es de
vs = 343 m/s. Encuentra la expresión de la profundidad del pozo en función de τ, g
y vs . Evalúa tus resultados si τ = 10 s.
Problema 5 Una bola de boliche se deja caer en un lago de profundidad h. Si al impactar con el
agua la bola tiene una velocidad v0 y la aceleración que experimenta la bola en el
agua como función de la profundidad está dada por a(x) = α − βv 2 , encuentra una
expresión para la velocidad vf con la que la bola golpea el fondo del lago en términos
de v0 , h, α y β.
Si v0 = 25 f t/s, h = 30 f t, α = 10 f t/s2 y β = 0.9 f t−1 , ¿cuánto vale vf ?
Problema 6 La aceleración
de un objeto que se mueve en una dimensión está dada por la expresión
√
a = −k v, donde k ∈ R. Suponga que el objeto inicialmente tiene una velocidad
v0 = 81 m/s, y que cuando x1 = 18 m, v1 = 36 m/s. Encuentra la expresión algebraica
del tiempo en que el objeto se detiene en términos de los parámetros del problema,
y luego da el resultado numérico.
Problema 7 La aceleración de una partı́cula debida a la gravedad terrestre como función de la
altura está dada por
g
a=−
2
1 + Rr
donde r es la distancia entre la superficie de la Tierra y la partı́cula, g es la aceleración
de la gravedad en la superficie y R es el radio de la Tierra. Encuentra una expresión
para la velocidad de escape, i.e. la velocidad v0 para la cual un objeto disparado desde
la superficie de la Tierra no vuelve a caer. (Hint: La velocidad de la partı́cula es v = 0
cuando r = ∞). Utilice los valores estándar para R y g y calcula explı́citamente
cuánto vale v0 en el sistema de unidades de tu preferencia. Compara tus resultados
con esta página: https://en.wikipedia.org/wiki/Escape_velocity
Problema 8 Repita el problema del tiro parabólico hecho en clase y demuestre que, en general,
se cumple que
|~v | = |~v0 |
y que cuando θ = π/4, el vector ~v (t) cuando el proyectil golpea el suelo se cumple que
~v · ~v0 = 0
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