A+B

INICIO 63 ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Trigonometría LECTURA INICIAL ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD La primera civilización en medir el paso del tiempo, utilizando el ángulo solar y la longitud de la sombra que proyecta una vara clavada en el suelo, fue la civilización china. 14/10/13 ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Aplicaciones trigonométricas Busca en la web Ángulos Construye un astrolabio ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Esquema de contenidos Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo Relaciones entre razones trigonométricas Razones trigonométricas 30º 45º 60º Razones trigonométricas de un ángulo Reducir al primer cuadrante Resolución de triángulos Complementario, opuesto y suplementario Identidades y ecuaciones trigonométricas Aplicaciones De la trigonometría ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Conocimientos previos Una razón es el cociente entre dos números o cantidades comparables : Llamamos proporción a la igualdad entre dos razones: a c = b d a b Dos ángulos son complementarios si la suma de sus amplitudes es 90º: α+β=90º Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus amplitudes es 180º: α+β=180º Semejanza de triángulos. Dos triángulos son semejantes cuando se cumple que: * Sus ángulos son iguales: * Sus lados son proporcionales: Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen igual uno de sus ángulos agudos ANTERIOR SALIR SIGUIENTE INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Conocimientos previos Relaciones métricas en el triángulo: Dado un triángulo ABC, siempre se cumple que: El lado mayor es menor que la suma de los otros lados. ➔ El lado menor es mayor que la diferencia de los otros dos lados ➔ La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a 180º SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Medida de ángulos Se llama radián a la amplitud del ángulo central de una circunferencia cuyo arco mide lo mismo que su radio. El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades, y su símbolo es rad. ¿Cuántos radianes hay en una circunferencia? Como la longitud de una circunferencia de radio r es L=2  r una circunferencia completa mide: L 2 r = =2  rad r r ¿Cuál es la equivalencia entre grados y radianes? 360º ⇔ 2  rad 180º ⇔  rad 180º =57º 17 ' 45 ' '  ¿Cómo se pasa de grados a radianes, y viceversa? ¿Cuanto vale un radián? 60º= 1 rad= 60º  ⋅ rad= rad 180º 3  rad  4 rad = ⋅180º=45º 4  rad ANTERIOR SIGUIENTE SALIR INICIO INTERNET ESQUEMA MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Medida de ángulos Los ángulos pueden medirse en tres sistemas: Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG) Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD) Radianes (En la calculadora MODE RAD) Ángulo completo Ángulo llano Ángulo recto SEXAGESIMAL 360º 180º 90º CENTESIMAL 400 200 100 RADIANES 2   2 SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas de un ángulo agudo Llamamos razones trigonométricas de un ángulo α a las razones obtenidas entre los lados de cualquier triángulo rectángulo que tenga un ángulo de α grados. a b c = = a' b' c' SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas de un ángulo agudo Llamamos razones trigonométricas de un ángulo α a las razones obtenidas entre los lados de cualquier triángulo rectángulo que tenga un ángulo de α grados. Hipotenusa a b c = = a' b' c' Cateto opuesto SIGUIENTE Cateto contiguo ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas de un ángulo agudo Llamamos razones trigonométricas de un ángulo α a las razones obtenidas entre los lados de cualquier triángulo rectángulo que tenga un ángulo de α grados. Hipotenusa seno α= cateto opuesto de α b = hipotenusa a a b c = = a' b' c' Cateto opuesto SIGUIENTE Cateto contiguo ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas de un ángulo agudo Llamamos razones trigonométricas de un ángulo α a las razones obtenidas entre los lados de cualquier triángulo rectángulo que tenga un ángulo de α grados. Hipotenusa seno α= cateto opuesto de α b = hipotenusa a coseno α= Cateto opuesto cateto contiguo de α c = hipotenusa a a b c = = a' b' c' SIGUIENTE Cateto contiguo ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas de un ángulo agudo Llamamos razones trigonométricas de un ángulo α a las razones obtenidas entre los lados de cualquier triángulo rectángulo que tenga un ángulo de α grados. Hipotenusa seno α= cateto opuesto de α b = hipotenusa a coseno α= cateto contiguo de α c = hipotenusa a tangente α= Cateto opuesto Cateto contiguo a b c = = a' b' c' cateto opuesto de α b = cateto contiguo de α c Las razones trogonométricas de un ángulo no dependen del triángulo rectángulo elegido ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas de un ángulo agudo Llamamos razones trigonométricas de un ángulo α a las razones obtenidas entre los lados de cualquier triángulo rectángulo que tenga un ángulo de α grados. Hipotenusa seno α= cateto opuesto de α b = 1 hipotenusa a c oseno α= cateto contiguo de α c = 1 hipotenusa a tangente α= Cateto opuesto Cateto contiguo a b c = = a' b' c' cateto opuesto de α b = cateto contiguo de α c Las razones trogonométricas de un ángulo no dependen del triángulo rectángulo elegido ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Otra razones trigonométricas de un ángulo agudo Hipotenusa Cateto opuesto a 1 cosecante α=cosec = = b sen  a 1 secante de α= = c cos  c 1 cotangente de α= = b tg  Cateto contiguo a b c = = a' b' c' Las razones trogonométricas de un ángulo no dependen del triángulo rectángulo elegido ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas del ángulo agudo Ejemplo: Calcula el seno, coseno y tangente de los ángulos sen α= α y β cateto opuesto 6 = =0,6 hipotenusa 10 cos α = cateto contiguo 8 = = 0,8 hipotenusa 10 sen β= cateto opuesto 8 = =0,8 hipotenusa 10 cos β = tg α= cateto opuesto 6 = =0,75 cateto contiguo 8 tg β = cateto opuesto 8 = =1,34 cateto contiguo 6 cateto contiguo 6 = =0,6 hipotenusa 10 Comprueba con la calculadora que α = 36º 52' 12'' y β =53º 7' 48'' ANTERIOR SALIR SIGUIENTE INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Relaciones entre las razones trigonométricas del ángulo agudo Si en el triángulo rectángulo ABC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos: b2 + c 2 = a2 C Si dividimos la expresión anterior entre a2: 2 2 2 b c a  = a 2 a 2 a2 Expresándolo de otra forma: 2 2   b c  =1 a a B A sen α = b a cos α = c a O lo que es lo mismo: 2 2 sen cos =1 Se denomina relación fundamental ANTERIOR SALIR SIGUIENTE INICIO INTERNET ESQUEMA MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Otras relaciones entre las razones trigonométricas del ángulo agudo b sen a b · a b = = = =tg  cos c c · a c a tg = sen  cos  C sen2  cos2 sen2  1 2 1tg =1 = = =sec  2 2 2 cos  cos  cos  2 2 2 B 1tg =sec  sen α = b a cos α = c a A Comprueba que se cumple también: 1cotg2 =cosec 2  SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º C Sea ABC un triángulo equilátero. Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide 60º. Trazamos una altura h. A B Podemos calcular h en función de l, aplicando el teorema de Pitágoras √ l h + =l 2 2 4l 2−l 2 h= 4 3l 2 h= 4 l2 h =l − 4 3l 2 h= 4 h= 2 2 2 () 2 2 2 h l √3 2 SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º l 2 l 1 sen 30º= = = l 2l 2 l √3 2 l √3 2 l 3 3 cos30º = = √ =√ l 2l 2 1 2 2 1 3 tg 30º = = = =√ √ 3 2 √ 3 √3 3 2 Las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º son: l √3 2 l √3 √3 sen 60º= = = l 2l 2 l 2 l 1 cos60º = = = l 2l 2 √3 tg 60º = Observa que: sen 60º = cos 30º sen 60º 2 2 √3 = = = √3 cos 60º 1 2 2 cos 60º = sen 30º SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º B Sea ABCD un cuadrado. Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide 90º. A Trazamos la diagonal d. D C Podemos calcular d en función de l, aplicando el teorema de Pitágoras d2 = l2 + l2 d2 = 2⋅l2 h=√ 2⋅l 2 h=l  2 SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO INTERNET ESQUEMA MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º Las razones trigonométricas del ángulo de 45º son: l √2 1 2 sen45º = = =√ l √2 √2 2 l cos 45º = l l 2 = 1 2 = 2 2 l tg 45º= =1 l Observa que: sen 45º = cos 45º ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Circunferencia goniométrica: razones de un ángulo cualquiera Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un sistema de coordenadas. Y  A esta circunferencia la llamaremos circunferencia goniométrica. O r=1 1 X Uno de los lados del ángulo deberá coincidir con el semieje positivo de las x, el vértice estará en el origen de coordenadas y el otro lado donde corresponda. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Circunferencia goniométrica: razones de un ángulo cualquiera Cada ángulo queda determinado por sus coordenadas, (a,b), que indican un punto sobre la circunferencia, y se cumple que: b b sen = = =b r 1 Y a a cos = = =a r 1 r=1  O a = cos α Uno de los lados del ángulo deberá coincidir con el semieje positivo de las x, el vértice P estará en el origen b = sen α de coordenadas y el otro lado donde corresponda. 1 P ( a , b)=( cos α , sen α ) X Esta forma de definir las razones trigonométricas de un ángulo nos permite generalizar las razones de cualquier ángulo de otro cuadrante. ANTERIOR SALIR SIGUIENTE INICIO INTERNET ESQUEMA MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Circunferencia goniométrica: razones de un ángulo cualquiera Y cos γ sen γ -1 −1≤sen α≤1 −1≤cos α≤1 A   cos β cos α cos δ O  sen α  1 sen δ sen β B El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores mayores o iguales a –1 y menores o iguales a 1 1 X + _ +_ _+ _+ SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO D C -1 SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas de los ángulos que coinciden con los ejes Las razones trigonométricas que coinciden con los ejes coordenados: 0º o 360º, 90º, 180º y 270º vienen dadas en la siguiente tabla: ÁNGULO >>> 0º 0 rad 90º  rad 2 180º  rad 270º 360º 3 rad 2 2  rad SENO 0 1 0 −1 0 COSENO 1 0 −1 0 1 TANGENTE 0 No existe 0 No existe 0 SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Reducción de ángulos al primer cuadrante II CUADRANTE α β=180º−α Si un ángulo β está en el segundo cuadrante se puede poner como 180º −α, siendo α un ángulo del primer cuadrante. sen =sen  cos =−cos  tan =−tan  Suplementarios { sen 120º=sen 60º 120º=180º−60º  cos120º=−cos60º tg 120º=−tg 60º SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Reducción de ángulos al primer cuadrante III CUADRANTE α Si un ángulo β está en el tercer cuadrante se puede poner como 180º +α, siendo α un ángulo del primer cuadrante. sen =−sen  cos =−cos  tg =tg  β=180º +α Difieren en 180º { sen 210º=−sen 30º 210º=180º30º  cos 210º=−cos 30º tg 210º=tg 30º SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Reducción de ángulos al primer cuadrante IV CUADRANTE α Si un ángulo β está en el cuarto cuadrante se puede poner como 360º −α, siendo α un ángulo del primer cuadrante sen =−sen  cos =cos  tg =−tg  β=360º−α=−α Opuestos { sen 315º=−sen 45º 315º=360º−45º  cos 315º=cos 45º tg 315º=−tg 45º SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO INTERNET ESQUEMA MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos El ángulo complementario de un ángulo α mide (90º −α). 90º−α α β = 90º −α SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO INTERNET ESQUEMA MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos El ángulo complementario El ángulo opuesto de un ángulo es otro ángulo de igual amplitud pero que se mide en sentido de un ángulo α mide (90º −α). inverso, −α. 90º−α α α −α β = 90º −α β = 360 º −α SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO INTERNET ESQUEMA MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos El ángulo complementario El ángulo suplementario de de un ángulo α mide (90º −α). un ángulo α mide (180º −α). El ángulo opuesto de un ángulo es otro ángulo de igual amplitud pero que se mide en sentido inverso, −α. 90º−α α 180º−α α α −α β = 90º −α sen90º−=cos  cos 90º−=sen  tg90º− =cotg  β = 360 º −α β = 180 º −α sen−=−sen  cos −=cos  tg−=−tg  sen180º−=sen  cos 180º−=−cos  tg 180º−=−tg  ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Líneas trigonométricas: seno, coseno y tangente α senα tg α cosα -+ +1er Cuadrante SIGNO DE LA TANGENTE Todos los Cuadrantes ANTERIOR SALIR INICIO INTERNET ESQUEMA MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Aplicaciones de la trigonometría Calculamos la distancia entre las embarcaciones. 60º a 32 d1 cos 30º = b 30º 32 sen 30º = d2 1 32 = 2 a √3 = d 1 2 64 32 a d sen 60º = 1 64 cos 60º = 32 b d2 36,95 √3 = 32 2 a = 64m d1 = 55,43m b = 3695m , b d2 1 = 2 36,95 d2 = 18,48m d1 − d2 d = 55,43 −18,48 d = 36,95 m distancia = SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO INTERNET ESQUEMA MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Razones de la suma y la diferencia de dos ángulos Área de un triángulo El área de un triángulo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente. 1 1 A= base⋅altura= a⋅h 2 2  h  h=b⋅sen C y como sen C= b A b 1 A= a⋅b⋅sen C 2 c h C a B El área de un triángulo es el semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman. 1  1 b⋅c⋅sen A=  1 a⋅c⋅sen B A= a⋅b⋅sen C= 2 2 2 ANTERIOR SIGUIENTE SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Razones de la suma y la diferencia de dos ángulos 1  S12 = p⋅q⋅sen A  B 2 1  S 1 = p⋅h⋅sen A 2 1 S 2= q⋅h⋅sen B 2 1 1 1 p⋅q⋅sen AB= p⋅h⋅sen A  q⋅h⋅senB 2 2 2 2 h h Multiplicamos por sen A B= sen A senB p⋅q q p h h y como cos B= y cos A= : sen AB=sen A⋅cos Bcos A⋅senB q p S 12 =S1 S2  SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Razones de la suma y la diferencia de dos ángulos sen ( A− B)=sen [ A+(−B) ] = sen A cos (−B)+cos A sen (−B ) sen A−B=sen A cos B−cos A sen B Por otra parte sabemos que cos x = sen (90º-x), así que utilizando la fórmula anterior del seno y esta relación podemos obtener: cos ( A+ B)=sen [90º−( A+ B)]=sen [(90º− A)+(−B)]= =sen90º− Acos−Bcos90º− A sen−B = =cos  A cos Bsen A−sen B=cos  Acos B − sen A sen B Es decir: cos AB =cos A cos B−sen A sen B Analogamente: cos A−B =cos A cos Bsen A sen B SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO INTERNET ESQUEMA MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Razones de la suma y la diferencia de dos ángulos (otro modo) sen= BP = MN = NA AM = β β β OA⋅sen AB⋅cos ==cos ⋅sen cos ⋅sen  sen=sen ⋅cos cos ⋅sen  α cos =OP=ON − PN =ON − BM = =OA⋅cos − AB⋅sen ==cos ⋅cos −sen ⋅sen  cos−=cos ⋅cos −sen ⋅sen  SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Tangente de la suma y la diferencia de dos ángulos tg = sen sen ⋅cos cos ⋅sen  = cos cos ⋅cos −sen ⋅sen  Dividiendo numerador y denominador por cos α cos β sen ⋅cos  cos ⋅sen   cos  cos  cos  cos  tg tg  tg  = = cos ⋅cos  sen ⋅sen  1−tg  tg  − cos  cos  cos  cos  tg −= tg = tg tg  1−tg  tg  sen − sen ⋅cos −cos ⋅sen  = cos− cos ⋅cos sen ⋅sen  Dividiendo numerador y denominador por cos α cos β sen ⋅cos  cos ⋅sen  − cos  cos  cos  cos  tg −tg  tg  = = cos ⋅cos  sen ⋅sen  1tg  tg   cos  cos  cos cos  tg −= tg −tg  1tg  tg  SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO INTERNET ESQUEMA MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Razones del ángulo doble y el ángulo mitad Usando las razones de la suma de dos ángulos:  sen=sen ⋅cos cos ⋅sen   1−cos  sen =± 2 2 sen 2 =2 sen  cos  cos=cos ⋅cos −sen⋅sen 2 2 cos 2α=cos α− sen α sen 2 α tg 2 α= cos 2 α { 2 2 2 (1−sen α)−sen α=1−2 sen α = cos 2 α−(1−cos 2 α)=−1+2 cos2 α 2 sen α cos α 2 2 senα cos α cos α = 2 = cos α−sen 2 α cos 2 α sen 2 α − cos 2 α cos 2 α 2 tg α = 2 1−tg α 2α ⇔   α⇔ 2   1cos  cos =± 2 2 tg   1−cos  =± 2 1cos  SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO INTERNET ESQUEMA MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Identidades trigonométricas Una identidad trigonométrica es una igualdad que se verifica para cualquier valor de la variable, x. Realizaremos operaciones en uno de los miembros hasta llegar a obtener el otro miembro: Ejemplos:  sen xcos x 2=1sen 2x 2 2 2  sen xcos x =sen xcos x2 sen x cos x=12 sen x cos x=1 sen 2x 1−cos2 x tg x = sen2x 2 2  2 1−cos x sen x sen x tg x = = = sen 2x 2 sen x cos x 2 cos x 2 SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Ecuaciones trigonométricas Las ecuaciones trigonométricas son ecuaciones en las que la incógnita es un ángulo que aparece asociado a una razón trigonométrica. Para resolverlas conviene realizar transformaciones que consigan expresar todos los términos en función de un mismo ángulo y de una sola razón trigonométrica, o bien factorizarla. Expresada en función de una misma razón y ángulo (inmediata): x=45º360ºk , k ∈ ℤ 2 tg x=2 tg x=1  x ={ x=225º 360ºk , k ∈ℤ Factorizando: sen x=0  x=180ºk , k ∈ ℤ sen 2x=sen x 2sen x cos x=sen x  sen x 2cosx −1=0  cos x =1  x = x=60º360ºk , k ∈ℤ 2 {x=300º360ºk , k ∈ℤ Ecuación de segundo grado: x=−2  no tiene sentido pues −1≤sen x ≤1 cos2 x−3 sen x=3  1−sen x−3sen x=3  sen x3sen x2=0  { sen sen x=−1  x =270º360ºk , k ∈ ℤ 2 2 IMPORTANTE: Es necesario comprobar las soluciones porque algunas de ellas pueden no ser válidas ANTERIOR SALIR SIGUIENTE INICIO INTERNET ESQUEMA MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Seno y coseno del ángulo triple: sen3x y cos3x Vamos a buscar una fórmula simplificada para calcular las razones del ángulo triple: sen3x y cos3x 2 2 sen 3x=sen x2x= senx cos2x cosx sen2x= senx cos x−sen x cosx · 2senxcosx= 2 3 2 2 3 2 3 =senx cos x−sen x2cos x senx= 3 senx cos x−sen x= 3 senx 1−sen x−sen x= 3 3 3 =3 senx −3sen x−sen x= 3 senx−4sen x 2 2 cos 3x=cos  x2x= cosx cos2x−senx sen2x= cosx cos x−sen x −senx 2senx cosx= 3 2 2 3 2 3 2 =cos x−cosx sen x−2sen x cos x= cos x−3cosx sen x= cos x−3cosx 1−cos x= 3 3 3 =cos x−3cosx3cos x= 4cos x− 3cos x SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Resolución de triángulos rectángulos Para resolver triángulos rectángulos hay que tener en cuenta que: 1. Conocemos uno de sus ángulos, el ángulo recto. C ̂ A=90º 2. Sus lados cumplen el teorema de Pitágoras b 2 +c 2 =a2 B A 3. Sus dos ángulos agudos son complementarios ̂ Ĉ =90º B+ 4. Utilizaremos las razones trigonométricas de sus ángulos agudos ̂ sen B= b a ̂ cos B= c a ̂ b tg B= c ̂ c sen C= a b cos Ĉ = a ̂ c tg C= b ANTERIOR SIGUIENTE SALIR INICIO INTERNET ESQUEMA MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo es obtener sus elementos desconocidos (longitud de sus lados y amplitud de sus ángulos, el área) a partir de otros elementos conocidos. RECUERDA QUE: a) Conocidos dos lados Uno de sus ángulos es recto. ➔ Podemos aplicar el Teorema de Pitágoras. ➔ Sus dos ángulos agudos son complementarios. ➔ Aplicando el T.Pitágoras: a 2b2=c 2  b2 =13,752 −7,52 b=  132,81=11,52 m     a  A =arcsen a =arcsen 7,5 =33º 3 ' 21' ' sen A= c c 13,75  B=90º   A  B=90º−33º 3 ' 21 ' ' º =56º 56 ' 39 ' ' b) Conocidos un lado y uno de los ángulos agudos 38 m 48º h Utilizaremos la razón trigonométrica que relaciona el ángulo y el lado conocido: h sen 48º= h=38⋅sen 48º =28,24 m 38 Aplicando el T.Pitágoras: 38 2=x 2h2  x 2=382−28,242  x = 38 2−28,24 2=  646,50=25,43 m x   48º  N=90º  N=90º−48º=42º SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Teorema del seno (con la altura hC) a b c = =  sen B  sen C sen A Como ya sabes por la definición de las razones trigonométricas: hC   hC =b · sen A En el triángulo rectángulo AMC: sen A= b En el triángulo rectángulo BMC:  sen B= hC h C =a · sen B a ̂ ̂ Como b · sen A=a · sen B Usando la altura hC obtenemos → a b = ̂ sen B ̂ sen A La otra se obtiene igual considerando otra de las alturas del triángulo, por ejemplo h A: hA h A =b · sen C b  h A  h A =c · sen B sen B= c  sen C= hA  b c =  sen C  sen B hA a b c = =  sen B  sen C sen A SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Teorema del seno 2 (con la altura hB) a b c = =  sen B  sen C sen A Como ya sabes por la definición de las razones trigonométricas: hB hB  h B =c · sen A c hB  sen C=  hB =a · sen C a  sen A= luego  c⋅sen A=a⋅sen C hB  a c =  sen C  sen A La otra se obtiene igual considerando otra de las alturas del triángulo:  h C  hC =b · sen A sen A= b hC  sen B= h C =a · sen B a hC  a b c = =  sen B  sen C sen A b a =  sen A  sen B SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Interpretación geométrica del teorema del seno El teorema del seno se cumple tanto para el triángulo rojo ABC, como para el verde A'BD. En este último observa que el lado opuesto a C es el diámetro de la circunferencia, luego 2R, por tanto tenemos: a 2R = =2R sen  A ' sen 90º Por otro lado observa que A=A' pues abarcan el mismo arco BC a a = =2R  sen  sen A A' Es decir, que en cualquier triángulo la relación entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. a b c = = =2R    sen A sen B sen C SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO INTERNET ESQUEMA MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Teorema del coseno Dado un triángulo cualquiera, trazamos una altura que dividirá el triángulo en dos triángulos rectángulos. En el triángulo rectángulo AMC: ̂ sen A= hc ̂ → hc =b⋅sen A b cos A= m ̂ →m=b⋅cos A b Si aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo CMB se tiene: 2 2 a =(c− m) + hc 2 2 2 sustituyendo los valores de h y m hallados anteriormente, tenemos:   b⋅sen A  a = c−b⋅cos A 2 2 2 ̂ b 2⋅cos 2 A+ ̂ b2⋅sen2 Â →a =c −2bc⋅cos A+ ⏟ factor común b 2 2 2 ̂ ̂ b 2 (sen 2 A+cos ̂ →a =c −2bc⋅cos A+ A) ⏟ 2 2 sen α +cos α =1 2 2 2 2   a =c b −2bc⋅cos A De forma análoga se obtendrían las igualdades:  b2 =a2 c 2 −2ac⋅cos B  c 2 =a2 b2 −2ab⋅cos C ANTERIOR SIGUIENTE SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Teorema del seno vs coseno cuando calculamos ángulos de un triángulo a b c = =  sen B  sen C sen A  1; A  puede ser un ángulo Si el sen A= 2 er agudo u obtuso (pertenecientes al 1 o 2º cuadrantes). 30º ∈ I Cuadrante  1  A=  Si sen A= 2 150º ∈ II Cuadrante { Salvo que tengamos datos suficientes del ejercicio, el TS nos obliga a discutir las soluciones.   Además si sen A1 o sen A−1 ∃ solución   a2 = c 2  b2 −2bc⋅cos A   b2 = a 2  c 2 −2ac⋅cos B  c 2 = a 2  b2 − 2ab⋅cos C El TC nos permite conocer perfectamente el ángulo si conocemos los tres lados del triángulo. 1   puede ser un ángulo que ; A Si el cos A= 2 er pertenezca al 1 o 4º cuadrantes: ̂ 1 → A= ̂ 60º ∈ I Cuadrante Si cos A= 2 300º ∈ IV Cuadrante →> Σ αi =180º { 1   puede ser un ángulo Si el cos A=− ; A 2 que pertenezca al 2º o 3er cuadrantes: 1 ̂ 120º ∈ II Cuadrante ̂ Si cos A=− → A= 2 240º ∈ III Cuadrante→> Σ αi =180º { Con el TC no hace falta discutir las soluciones. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Resolución de triángulos cualesquiera 1 Se conocen tres lados : a = 4, b = 4.5 y c = 3. Nº de soluciones: Si existe es única (Existirá si el lado mayor es menor que la suma de los otros lados) TC-TC Aplica 1º el teorema del coseno para hallar el primer ángulo. Sería buena idea calcular primero el ángulo opuesto al lado mayor, que es el que puede ser obtuso. Para hallar el 2º ángulo vuelve a aplicar el teorema del coseno. Para el 2º ángulo puedes, si prefieres, utilizar el teorema del seno; directamente si ya has calculado el ángulo que puede ser obtuso, si no, empieza calculando el ángulo más pequeño (el opuesto al lado más pequeño) para asegurarnos que es agudo. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Resolución de triángulos cualesquiera 2 Se conocen dos lados y el ángulo comprendido: c = 3 , b = 4 y A= 60º Nº de soluciones: única TC-TC Aplica el teorema del coseno para hallar el lado a. Ahora ya conocemos tres lados y podemos proceder como el caso anterior. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Resolución de triángulos cualesquiera 3 Se conocen un lado y dos ángulos: c = 3.6 , A= 45º y B =105º ̂ Nº de soluciones: Si existe es única ( Si Â + B<180º ) TS-TS ̂ B+ ̂ Ĉ =180º. Determinamos el otro ángulo pues A+ Con el teorema del seno calculamos los otros lados. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Resolución de triángulos cualesquiera 4a Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: a = 2 c = 4 A = 45º Nº de soluciones: 0 TS Mediante el teorema del seno determinamos el ángulo Ĉ Si sen Ĉ >1 no tiene solución. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Resolución de triángulos cualesquiera 4b Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: a= 3 Nº de sol.: 2 c = 4 A= 35º TS-TS Mediante el teorema del seno determinamos el ángulo Ĉ Si sen Ĉ >1 tenemos dos soluciones, uno de ellos obtuso. En cada una de ellas calculamos el ángulo B y con el teorema del seno el lado b. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Resolución de triángulos cualesquiera 4c Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: a = 3 c = 6 A= 30º Nº de sol.:1 TS-TS Mediante el teorema del seno determinamos el ángulo C. Si sen C=1, C=90º y por tanto la solución es única. Aplicando A+B+C=180º obtenemos B y con el teorema del seno el lado b. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Resolución de triángulos cualesquiera 4d Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: a = 3 b = 6 A= 30º Nº de sol.:1 TS-TS Mediante el teorema del seno determinamos el ángulo C, y posteriormente el ángulo B. Aplicando de nuevo el teorema del seno obtenemos el lado b. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Resolución de triángulos cualesquiera 4e Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: a = 3 c = 4 A= 125º Nº de sol.:0 TS Mediante el teorema del seno determinamos el ángulo C. Si sen C>1 no tiene solución. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Resolución de triángulos cualesquiera 4f Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: a=3 c = 2 A= 125º Nº sol.:1 TS-TS Mediante el teorema del seno determinamos el ángulo C, y posteriormente el ángulo B. Aplicando de nuevo el teorema del seno obtenemos el lado b SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Aplicaciones de la trigonometría: T. Rectángulo – Doble tangente Halla la altura, x, que ha alcanzado la cometa. Halla la altura, y, del árbol que se encuentra al otro lado del río. (Método de la doble tangente) sen 48º= x → x =38⋅sen38º 38 } y 15+ x →15 tg 32º+ x tg 32º= x tg 50º y tg 50º= x 15 tg 32º 15 tg 32º= x tg 50º− x tg 32º → x = tg 50º−tg 32º tg 32º= SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Aplicaciones de la trigonometría: TS – Doble tangente a b c=60 Hallar la altura, h, de los aviones. (Método de la doble tangente) } h 2+ x → 2 tg 30º+ x tg 30º= x tg 55º h tg 55º= x 2 tg 30º 2 tg 30º= x tg 55º− x tg 30º → x = tg 55º−tg 30º tg 30º= Halla el área del triángulo si C=38º. Recuerda que S = 1 a⋅b⋅sen Ĉ , es decir, el 2 semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo comprendido por ellos. a 60 60⋅sen 112º = → a= =90,36 u sen 112º sen 38º sen 38º 1 ̂ 1 90,36⋅60⋅sen 30º=1355,4 u 2 S = a⋅c⋅sen B= 2 2 Como c=60 → SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Aplicaciones de la trigonometría: TS – Doble tangente h Determina la superficie del pentágono, conocido el lado a = 3 m. ¡OJO EL TRIÁNGULO NO ES EQUILÁTERO! Como a=3 → R 3 = → R=2,55 m sen 54º sen72º 1 1 2 S = a⋅R⋅sen54º= 3⋅2,55⋅sen 54º=3,09 m 2 2 x Desde un punto a ras de suelo, los ángulos de elevación que presentan la base y la punta de un mástil de 6 m de altura (h), colocado sobre un acantilado, son 38° y 46°. Calcula la altura del acantilado. (Método de la doble tangente) Llamando x a la distancia observador-acantilado: h+6 x h tg 38º= x tg 46º= ANTERIOR } SIGUIENTE SALIR INICIO INTERNET ESQUEMA MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Aplicaciones de la trigonometría: TC Un jugador de golf lanza la pelota desde la posición de salida de un hoyo, distante 350 m, y alcanza una distancia de 180 m. Pero el golpe ha sido defectuoso y la dirección de la pelota forma un ángulo de 20° respecto de la dirección hacia el hoyo. ¿A qué distancia del hoyo ha quedado su pelota? x Para fijar la antena AB, se recurre a los tirantes BC y BD. Si la antena mide AB = 3 m, la longitud del tejado es AC = AD = 11 m, y si el ángulo de la antena con las dos vertientes del tejado es BAD=130º, hallar la longitud que se precisa para los tirantes BC = BD. 2 2 2 Si x= BC= BD → x =3 +11 −2⋅3⋅11⋅cos 130º= =12,63 m 2 2 2 TC : x =180 +350 −2⋅180⋅350⋅cos 20º=191,05 m SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Aplicaciones de la trigonometría: TS 56 m Se desea hallar la distancia entre dos puntos A y B del terreno; A no es accesible y B si lo es. Se recurre a un punto C y se mide CB = 56 m, BCA=55º y ABC=70º. Hallar la distancia AB x 56 = sen 55º sen 55º x =56 m( En este caso se trata de un triángulo isósceles) ̂ Como A=180º−55º−70º=55→ SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD ¿Cómo midió Eratóstenes el radio de la Tierra? Eratóstenes nació en Cirene ( antigua ciudad griega en la actual Libia) en el año 276 a. C (S III a. C) y se cree que era de origen caldeo. Fue matemático, astrónomo y geógrafo. Alrededor del año 255 a. C fue nombrado director de la Biblioteca de Alejandría por el rey Ptolomeo Evegetes. Trabajó con problemas de matemáticas, como la duplicación del cubo y los números primos. Hemos podido conocer algo de sus trabajos, merced a comentarios y citas de otros autores. Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue su trabajo sobre la medición de la Tierra. Estando en la Biblioteca de Alejandría (Egipto), encontró un informe de observaciones sobre Siena (actualmente Asuán, Egipto), ciudad situada a unos 800 Km. al sur de Alejandría, en el que se decía que el día del solsticio de verano (21 de junio) a mediodía, los objetos (como por ejemplo, los obeliscos) no producían sombra y en el fondo de los pozos podía verse la luz del sol. Esto se debe a que esta ciudad está sobre la línea del trópico (en realidad, 33' al norte del Trópico de Cáncer SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD ¿Cómo midió Eratóstenes el radio de la Tierra? Como hemos dicho sabía que un día determinado, al mediodía, en Siena (actualmente Aswan, Egipto), una ciudad ubicada a una distancia considerable de Alejandría hacia el sur, la luz del sol entraba de forma totalmente vertical dentro de un pozo profundo. Eratóstenes también sabía que mientras que esto ocurría en Siena, no sucedía lo mismo en Alejandría. Los rayos del Sol son todos paralelos entre sí, teniendo en cuenta la gran distancia que hay entre el Sol y la Tierra. Los rayos del Sol entran de modo perfectamente vertical dentro del pozo ubicado en Siena, cuando el sol está exactamente sobre esta ciudad (el 21 de junio al mediodía). En el mismo momento que en Siena los rayos del Sol entran al pozo como en la figura, en Alejandría los rayos entran formando un ángulo con la vertical; el gnomon (obelisco en la figura) proyecta cierta sombra. Eratóstenes usó este procedimientoara calcular el perímetro de la Tierra: midió la sombra del gnomon en Alejandría. Conociendo la altura del gnomon, la longitud de su sombra, y la distancia entre Siena y Alejandría, calculó el perímetro terrestre. ANTERIOR SIGUIENTE SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD ¿Cómo midió Eratóstenes el radio de la Tierra? Sabemos que: ● La longitud de arco entre Siena y Alejandría es d S−A Esta distancia era de 5.000 estadios α2 ● El ángulo correspondiente a este arco es ● El ángulo que forman los rayos del Sol con el gnomon es ● α 1=α 2 α1 por ser ángulos alternos-internos Este ángulo resulto ser de 7º 12'=7,2º ● El radio de la Tierra es R. ● Los rayos del Sol llegan en forma paralela a la Tierra. ● La longitud de la sombra es l sombra SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD ¿Cómo midió Eratóstenes el radio de la Tierra? Conociendo la tangente del ángulo, de α tg α , y sabiendo que α<90º podemos obtener el valor con una calculadora. Por otro lado, la proporción del perímetro total de la Tierra, 2⋅π⋅R , que representa la longitud de arco, d, que une los puntos S (Siena) y A (Alejandría) sobre la superficie de la Tierra, es igual a la proporción que representa el ángulo α respecto del ángulo que da una vuelta entera, 360º. De aquí se deduce d 360⋅d 180⋅d = α → R= = π⋅α 2 π R 360º 2πα R= 360º⋅5000 estadios =250000 estadios 2 π⋅7,2 º Aunque no se tienen datos exactos, se sabe que el estadio equivale a unos 160m (actualmente se suele tomar 158m). Por tanto, 250.000 estadios son aproximadamente 250.000*160/1000 = 40.000 Km. Esto equivale a un radio de 6.366 Km. o 6.286 si tomamos los 158m, contra los 6.371 Km. que son los admitidos hoy en día. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO INTERNET ESQUEMA MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD ¿Cómo midió Eratóstenes el radio de la Tierra? Eratóstenes tuvo suerte porque conocía un lugar en donde el sol caía en forma exactamente vertical al mediodía. ¿Se podría hacer el experimento sin saber dónde hay un lugar así? Veamos: Las ciudades, A y B, ubicadas aproximadamente sobre un mismo meridiano terrestre, están separadas por una distancia, d, en la dirección norte-sur. Mediremos, el mismo día, el ángulo que forman los rayos del sol con la vertical al mediodía en cada ciudad, llamamos a estos ángulos αA y αB El ángulo que subtiende el arco que une los puntos A y B es la diferencia entre . Por lo tanto, α −α B d 360⋅d = A → R= 2π R 360º 2 π(α A −α B ) SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD ¿Cómo midió Eratóstenes el radio de la Tierra? Proyecto Eratóstenes. Medición del radio de la Tierra El proyecto consiste en la medición conjunta y simultánea del radio terrestre por parte de docentes y alumnado de escuelas de nivel medio de Latinoamérica. El método de medición está basado en el que usara Eratóstenes de Cirene hace dos mil trescientos años. El desarrollo del Proyecto Eratóstenes es una propuesta conjunta del Departamento de Física de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires, del Laboratorio Pierre Auger, Universidad Tecnológica Nacional, Regional Mendoza (Argentina) y de la Asociación Física Argentina. Esta actividad es sencilla, no demanda gastos y es muy rica para desarrollar los temas de Matemáticas, Física, Astronomía, Geografía e Historia. Cada escuela debe registrarse en la web del proyecto y seguir las instrucciones de la medición simultánea prevista para las escuela participantes. Cada cálculo del radio terrestre requiere de al menos dos escuelas que midan sombras y longitudes de gnomones, cada una en su punto geográfico, durante el mediodía solar de un mismo día, cerca de los equinoccios, o eventualmente de días diferentes, cerca de los solsticios. En este proyecto participan cada año escuelas de Argentina, Brasil, Uruguay, Bolivia, Perú, Venezuela, Colombia y México. La intención de los coordiandores del proyecto es sumar este año escuelas de España y Portugal. Información Proyecto Eratóstenes: http://df.uba.ar/eratostenes SIGUIENTE http://www.astronomia2009.es/doce_miradas/medida_radiotierra.wmv ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Enlaces de interés Acertijos matemáticos Problemas matemáticos IR A ESTA WEB IR A ESTA WEB ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS I 1º Bach. Unidad: Trigonometría ACTIVIDAD Actividad: Medición de arcos Dirección: http://www.santillana.cl/mat2/unidad7b.htm En la sección chilena de la Editorial Santillana, en la figura de esta actividad aparecen trazadas dos circunferencias concéntricas. Observando los puntos móviles se deben resolver las Para desarrollarla, sigue actividades. este enlace. INICIO ANTERIOR SALIR

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