N úmeros complejos

Definición y notación
Operaciones
Conjugado, módulo y argumento
Potencias de complejos
Definición y notación
Operaciones
Conjugado, módulo y argumento
1
Definición y notación
2
Operaciones
3
Conjugado, módulo y argumento
4
Potencias de complejos
Potencias de complejos
Números complejos
Sesión teórica 2 (págs. 10-15)
21 de septiembre de 2010
Definición y notación
Operaciones
Conjugado, módulo y argumento
Potencias de complejos
Definición
Llamaremos números complejos a los elementos del conjunto:
C = {a + bi | a, b ∈ R}.
La expresión a + bi se denomina forma binómica del número
complejo.
Definición y notación
Operaciones
Conjugado, módulo y argumento
Potencias de complejos
Partes real e imaginaria: Dado un número complejo
z = a + bi, llamaremos parte real de z al número real a, y
lo denotaremos por Re(z). Llamaremos parte imaginaria
de z al número real b, y lo denotaremos por Im(z).
Ası́ tenemos
z = Re(z) + Im(z)i
Importante
Si Re(z) = 0 entonces z se llama imaginario puro
Todo número real es un número complejo simplemente
identificando cualquier número real a ∈ R con el complejo
z = a + 0 · i.
Si Im(z) = 0 entonces z es un número real
Definición y notación
Operaciones
Conjugado, módulo y argumento
Potencias de complejos
Definición y notación
Operaciones
Conjugado, módulo y argumento
Potencias de complejos
Plano complejo
Re(z):Proyección sobre el eje real
Im(z): Proyección sobre el eje imaginario
Punto del plano que representa a z: afijo de z
Definición y notación
Operaciones
Conjugado, módulo y argumento
Potencias de complejos
Operaciones con complejos
1
Definición y notación
2
Operaciones
3
Conjugado, módulo y argumento
4
Potencias de complejos
Definición y notación
Operaciones
Conjugado, módulo y argumento
Potencias de complejos
Propiedades de la suma de complejos
(1) Asociativa: (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ).
SUMA: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(2) Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1 .
PRODUCTO:
(a+bi)(c +di) = ac +adi +bci +bdi 2 = ac −bd +(ad +bc)i
(3) Elemento neutro: 0.
(4) Existencia de elemento opuesto: Si z = a + bi entonces
−z = −a − bi.
Es decir, (C, +) es un grupo abeliano.
Definición y notación
Operaciones
Conjugado, módulo y argumento
Potencias de complejos
Definición y notación
Operaciones
Conjugado, módulo y argumento
Potencias de complejos
Propiedades del producto de complejos
1
Definición y notación
2
Operaciones
3
Conjugado, módulo y argumento
4
Potencias de complejos
(1) Asociativa: (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ).
(2) Conmutativa: z1 z2 = z2 z1 .
(3) Elemento neutro: 1.
(4) Existencia de inverso para complejos no nulos: Para todo
número complejo z = 0 existe otro número complejo,
1
1
denotado por , tal que z · = 1. ¡¡Demostrar!!
z
z
(5) Distributiva: (z1 + z2 )z3 = z1 z3 + z2 z3 .
Resumiendo, (C, +·) tiene estructura de cuerpo.
Definición y notación
Operaciones
Conjugado, módulo y argumento
Conjugado de un número complejo
Potencias de complejos
Definición y notación
Operaciones
Conjugado, módulo y argumento
Algunas propiedades del conjugado
Conjugado de z = a + bi:
z = a − bi
Para todo z, w ∈ C:
1
z = z si y sólo si z ∈ R
2
z +w =z +w
3
z=z
4
z · z = Re(z)2 + Im(z)2 ∈ R
5
Re(z) =
z+z
2
y Im(z) =
z−z
2i
Potencias de complejos
Definición y notación
Operaciones
Conjugado, módulo y argumento
Potencias de complejos
Módulo y argumento
Definición y notación
Operaciones
Conjugado, módulo y argumento
Potencias de complejos
Módulo y argumento
Definición
Dado z = a + bi ∈ C llamaremos módulo de z a
|z| = a2 + b2
Definición
Dado z = a + bi ∈ C \ {0} llamaremos argumento de z,
denotado por arg(z), a cualquier número real θ (ángulo) tal que
a = |z|cos(θ)
y
b = |z|sen(θ).
¡El argumento no es único!: Si θ es argumento entonces también lo es
θ + 2kπ para todo entero k .
Argumento principal de z = 0: El único argumento de z en el
intervalo (−π, π], denotado por Arg(z).
Definición y notación
Operaciones
Conjugado, módulo y argumento
Potencias de complejos
Paso de forma binómica a polar (o trigonométrica)
Si z = a + bi, r = |z| y θ = arg(z) entonces:

√
2
2


 r =+ a +b
b
si a = 0
tg(θ) = ,

a

 θ = π/2 + 2kπ ó θ = −π/2 + 2kπ con k ∈ Z, si a = 0
Observación: hay 2 posibles valores para θ (salvo suma de
múltiplo de 2π); se determinará cual es a partir del cuadrante
en el que se encuentra el afijo de z.
Módulo y argumento de z = x + yi
(r , θ) se denominan coordenadas polares del punto z del plano
complejo.
Forma polar de z: rθ .
Forma trigonométrica de z:
z = |z| cos(θ) + |z| sen(θ)i = |z|(cos(θ) + sen(θ)i)
Definición y notación
Operaciones
Conjugado, módulo y argumento
Potencias de complejos
Propiedades del módulo
1
|z| ≥ 0 para todo z ∈ C.
2
|z| = 0 si y sólo si z = 0.
3
|z| = |z| para todo z ∈ C.
4
5
6
7
|z1 z2 | = |z1 | |z2 | para todo z1 , z2 ∈ C.
z1 |z1 |
z = |z | para todo z1 , z2 ∈ C con z2 = 0.
2
2
(Desigualdad triangular) |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | para todo
z1 , z2 ∈ C.
||z1 | − |z2 || ≤ |z1 − z2 | ∀z1 , z2 ∈ C.
|z|2 = zz para todo z ∈ C.
Definición y notación
Operaciones
Conjugado, módulo y argumento
Potencias de complejos
Definición y notación
Operaciones
Conjugado, módulo y argumento
Potencias de complejos
Propiedades del argumento
1
El argumento del producto de dos números complejos es
igual a la suma de los argumentos (módulo 2π).
2
El argumento del cociente de dos números complejos es
igual a la resta de los argumentos (módulo 2π).
Por tanto:
1
Definición y notación
2
Operaciones
3
Conjugado, módulo y argumento
4
Potencias de complejos
rα · sβ = (rs)α+β
rα /sβ = (r /s)α−β
Definición y notación
Operaciones
Conjugado, módulo y argumento
Potencias de complejos
Fórmula de Moivre
Definición y notación
Operaciones
Conjugado, módulo y argumento
Potencias de complejos
Notación exponencial
Fórmula de Euler
eθi = cos(θ) + sen(θ)i
De las dos fórmulas anteriores se deduce inmediatamente la
llamada Fórmula de Moivre, que permite calcular fácilmente las
potencias (con exponente entero) de un número complejo a
partir de su forma polar:
(rα )n = (r n )nα
Ejercicio: Calcular todas las potencias de i a partir de la forma
binómica y a partir de la fórmula de Moivre.
FORMA POLAR (usando notación exponencial): Todo número
complejo z = 0 puede expresarse de la siguiente forma:
z = |z|eθi
(= |z|(cos(θ) + sen(θ)i).
Cuando se hable de “forma polar” de un número complejo se
usará, normalmente, notación exponencial.
Fórmula de Moivre (usando notación exponencial):
Si z = |z|eθi y n ∈ Z entonces z n = |z|n enθi .
Ejercicio: Proporciona una expresión del producto y el cociente
de dos números complejos usando la forma polar (con
notación exponencial).