soluciones 1

S O L U C I O N E S
MATEMÁTICAS
1.ºBACHILLERATO
BACHILLERATO
1º
U n i d a d 5 Números complejos
5C
1
z
a + bi
(a + bi ) (c – di )
=
=
c + di
(c + di ) (c – di )
=
t
10
a)
b)
(ac + bd) + (– ad + bc)i
c2 + d2
Para que el cociente sea un número imaginario puro se
debe de cumplir que:
=
–2
2
a c + b d = 0 ⇒ a c = – (b d)
2
1 – xi
⇒(x + (2 – y)i · (1 + i) = (1 + xi) · i ⇒
1+i
i
⇒ (x – (2 – y)) + (x + (2 – y))i = x + i ⇒
x+ (2 – y)i
c)
=
d)
⇒ (igualando las partes reales e imaginarias) ⇒
⇒ x – (2 – y) = x
x+2–y=1
}
⇒
–2+y=0⇒y=2
x=1+y–2⇒x=1+2–2=1
Los valores son x = 1 e y = 2.
3
11
a) x 2 – 2x + 2 = 0
b) 2x – 2x + 1 = 0
2
4
k∈Z
a) n = 2 k
Sean z = a + bi y t = c + di . Si sus afijos son simétricos
respecto del eje imaginario, cumplen que:
1 = 1 = a – bi
z
a + bi
a 2 + b2
a=–cyb=d
 1z  = 
Luego z + t = (a + bi) + (c + di) = (a + bi) + (–a + bi) = 2 bi.
6
a) Falso, ya que si z = 1 – i y t = – 3 + i, tenemos que
 z + t  = 2 y  z  = 冑苴
2 , t  = 冑苴
10 , con lo que
冑苴
冑苴
 z + t  = 2 ≠ 2 + 10 =  z  +  t 
b) Cierta, si z = a + bi se tiene que
b) n = 2 k ∈ + 1 k ∈ Z
5
Por tanto la suma de z y t será un número imaginario puro.
Sea z = a + bi, se tiene que –z = a – bi y (–z) = –a –bi
1
z 
Como a , b ∈ R ⇒ a + b ∈ R ⇒ – (a + b ) ∈ R
Por tanto (–z) · —
z ∈ R–
7
+
2
2
+
2
2
=
 a – bi  =
=
1
冑苴
a2苴
+苴
b2
冑苴
a2苴
+苴
b2
=
a2 + b2
–
12
Sean z = a + bi y —
z = a – bi los números complejos que
buscamos, se tiene que:
z = (a + bi) + (a – bi) = 8 ⇒ 2 a = 8 ⇒ a = 4
z +—
z· —
z = (a + bi) · (a – bi) = 25 ⇒
⇒ (a2 + b2) + (ab –ba)i = a2 + b2 = 25
13
Sea z = a + bi el número complejo, en forma polar es
z = 4α. Su conjugado —
z = a – bi tendrá en forma polar la
forma —
z = 4(–α), ya que los complejos conjugados tienen los
argumentos opuestos. Por tanto: z · —
z = 4α · 4(–α) = 16 0º y
el módulo es 16 y el argumento 0º.
Sea z = r y —
z = r
45°
(– 45°)
Se tiene z · —
z = r45° · r(– 45°) = r20°
Como a = 4 ⇒ 16 + b2 = 25 ⇒ b2 = 9 ⇒ b = ± 3.
Luego r2 = 25 ⇒ r = 5
Los números buscados son z1 = 4 + 3i y zz = 4 – 3i
El número complejo es: z =
o
1
a2 + b2
a2 + b2
= – [(a2 + b2) + (ab – ba)i] = – (a2 + b2)
2
a – bi
a2 + b2
a2苴
+苴
b2
= 冑苴
z = (–a – bi) · (a – bi) = – (a + bi) · (a – bi) =
Luego: (–z) · —
2
5
8
z = 2 + 2i
z = 2 – 2i
9
Si z1 = –1 + 2i, sabemos que si un complejo es solución de
una ecuación, también lo es su conjugado, por tanto la
otra solución es z1 = –1 – 2i.
Como z1 = zz = – 2 y z1 · z2 = 5 la ecuación de segundo
grado es: x 2 + 2x + 5 = 0.
—
z =
(
5 冑苴
2 –
2
5 冑苴
2
2
5 冑苴
2 + 5 冑苴
2 i y
2
2
(
i
)
)
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5C
10º = 1 + 0i ⇒ 4 + 0i mediante la traslación de tres unidades positivas.
16
a)
4 + 0i ⇒ 4 i por el giro de centro origen y amplitud de 90º
positivos.
4i ⇒ 4 + 4i traslación de 4 unidades negativas.
– 4 + 4i ⇒ 4 – 4i giro de centro el origen y amplitud 180º.
15
z1 = 10º
z2 = 190º
z3 = 1180º
z4 = 1270º
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b)