Taller 7 Sistema de Números Complejos

Asignatura: Matemática Fundamental [405036M-02]
Taller 7
Sistema de Números Complejos
1. Responde las siguientes preguntas:
a) ¿Qué es un número complejos?
b) ¿Qué es la unidad imaginaria?
c) ¿Qué es el conjugado de un número complejos?
d ) ¿Es todo número complejo un número real?
e) ¿Cuándo dos números complejos son iguales?
f ) ¿Cuál es el inverso del número complejo z = a + bi?
1 1
g) ¿Puedo afirmar que (a + bi)−1 = + i?
a b
2. Demuestra las siguientes propiedades sobre números complejos.
a) z · z = Re(z)2 + Im(z)2
b) z + w = z + w.
c) z · w = z · w.
(z)
z
d)
=
w
w
e) |z| ≥ 0
f ) |z − w| = |w − z|
g) z · z = |z|2
h) z = z
i ) z + z = 2Re(z)
j ) z − z = 2Im(z)
3. Efectúa los siguientes cálculos:
√
√
−100
√
b) 2 −4
√
−8
c)
27
√
d ) −π
a)
e)
−
16
125
−
1
1000
√
f)
g)
√√
2−π
4. Halla el valor de las siguientes potencias:
a) i2
d ) i5
g) i106
b) i3
e) i7
h) i134
c) i4
f ) i25
i ) i232
5. Justifica el por qué de la relación de inclusión R ⊂ C
6. Representa gráficamente los siguientes números complejos y halla el módulo o norma de cada uno
de ellos. Puedes hacerlo en un mismo sistema de coordenadas.
a) z1 = i
c) z3 = 4
e) z5 = 1 + 3i
b) z2 = 2i
d ) z4 = 0i
f ) z6 = −2 − 32 i
7. Sean z = −3 + 4i, w = 1 − 6i y t = −8 − 4i. Halla:
a) z + w − t
−z
b)
w
t−z
c) −3
w
d ) |2z − 3w + 2t |
g) |z + z
1
+w
z
f ) |(2i) · (w − t)|
h) |z − (2w − t)|
e)
i ) z 2 − 3w
8. ¿Por qué el número neutro de la suma en C es el número 0? Justifica.
9. ¿Por qué el número neutro de la multiplicación en C es el número 1? Justifica.
10. Calcula
11. Halla
a + bi
.
c + di
2
2 − 4i
−
.
3 + 4i 3 − 2i
12. Representa gráficamente el número complejo arbitrario z = a + bi. Interpreta geométricamente el
conjugado de z.
Elaborado por Jaime Andrés Castaño. Junio de 2016.