FORMULAS BASICAS — NUMEROS COMPLEJOS • i= √ −1, y se llama unidad imaginaria. • Un número complejo tiene la forma a+bi, donde a, b ∈ R. a se llama parte real de z y se escribe a = Re(z), y b se llama parte imaginaria: b = Im(z). OBSERVACION: a y b son números reales. • El conjugado del número complejo z = a+bi, es z = a−bi. Análogamente, a − bi = a + bi. • El módulo del número complejo z = a + bi, es el número real positivo √ |z| = a2 + b2 . • El argumento número ¡ ¢complejo z = a + bi, es el número real Arg(z) = α dado por α = arctg ab y teniendo en cuenta la regla de los signos, esto es que sig(cos α) = sig(a), y sig(sen α) = sig(b). La única determinación del ángulo α en radianes en el intervalo (−π, π] se llama argumento principal de z. Formas de escribir un número complejo • Forma binómica z = a + bi. • Forma cartesiana z = (a, b). • Forma polar z = rα , con r = |z| y α = Arg(z). • Forma trigonométrica z = r (cos(α) + i sen(α)). • Forma exponencial z = r · eαi Operaciones básicas • Suma y resta: Si z = a+bi y w = c+di, entonces z +w = (a+c)+(b+d)i; y z − w = (a − c) + (b − d)i. • Producto y cociente: z · w = (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i; a + bi (a + bi)(c − di) (ac + bd) + (bc − ad)i z = = = w c + di (c + di)(c − di) c2 + d2 • Producto y cociente en forma µ ¶polar: Si z = rα y w = ρβ , entonces rα r z = = z · w = rρα+β ; y w ρβ ρ α−β 1 n n . • Potencia de exponente número natural: z n = (rα ) = rnα • Raı́z n-ésima n √ de un número complejo: Sonon números complejos: √ n n r r α+2kπ , con k = 0, 1, . . . , n − 1 α = n • Exponencial de base el número e. Si z = a + bi, entonces ea+bi = ea · ebi = (ea )b , es decir el número complejo de módulo ea y argumento b. • Logaritmo neperiano complejo: Si z = a + bi, entonces ln(z) = ln(|z|) + (Arg(z) + 2kπ) i, con k ∈ Z. • Potencia de base y exponente complejo. Si Si z = a + bi y w = c + di, entonces para calcular z w , primero se toman logaritmos neperianos y despues se usa la exponencial compleja: ln z w = w ln z ⇒ z w = ew ln z • Logaritmo de base cualquiera. Se calcula pasándolo a ln: logz (w) = Fórmulas de Euler • eπi + 1 = 0 y, en general eαi = cos(α) + i sen(α). • Para todo número complejo z se verifica: ezi + e−zi ezi − e−zi ; cos z = sen z = 2i 2 2 ln w ln z