I Complejos N2 - Liceo Manuel Barros Borgoño

Liceo Manuel Barros Borgoño
Prof. Bryan A. Morales Prado
Dpto. de Matemáticas
Ejercicios sobre Suma
Números complejos
Nombre:
Curso:
Fecha:
Conjunto de números complejos C
Un número complejo z cualquiera SIEMPRE se puede escribir como una pareja de sumandos; uno es
un número real y el otro es un número imaginario.
El número real es un número que pertenece a este conjunto, es decir es un racional o un
irracinal.
Un número imaginario es un número real multiplicado la unidad imaginaria como por ejemplo
4i, −8i, i (1i = i), etc.
Entonces cualquier complejo será de la forma z = a + bi
bi, donde a y b son números reales e i es la unidad
imaginaria, esto es conocido como un complejo en su forma canónica. Para cada complejo se le destacan
2 partes; parte real y parte imaginaria.
Para un complejo z = a + bi tenemos:
La parte real (Re) es el número real que NO está multiplicando la unidad imaginaria. Si no se
encuentra visible entonces es 0.
Re(z) = Re(a + bi) = a
La parte imaginaria (Im) es SOLO el número real que está multiplicando la unidad imaginaria.Si no se encuentra visible la unidad imaginaria entonces es 0 y si solo se encuentra i entonces
es 1.
Im(z) = Im(a + bi) = b
De esta forma el complejo z se puede escribir siempre en su forma caónica ası́:
z = a + bi = Re(a + bi) + (Im(a + bi))i = Re(z) + iIm(z)
Para ambas partes NO OLVIDE considerar el signo.
Podemos calcular la parte real de la parte imaginaria de un número complejo, por ejemplo 9 − ii.
Re(Im(9 − i)) = Re(−1) = −1
Suma
La operación de suma se puede resumir de dos formas la primera es usando la reducción de términos
semejantes (junto con alguna eventual factorización) la segunda es darle un algoritmo1 . Ambos
enfoques sirven para conseguir el siguiente resultado:
La suma de dos complejos z1 = a + bi y z2 = c + di con a, b, c, d números reales (o en resumen dos
complejos en su forma canónica) se define como:
z1
z2
z1 + z2
z1 + z2
z1 + z2
=a + bi
=c + di
=(a + bi) + (c + di)
=a + c + bi + di
=(a + c) + (b + d)i
Si queremos decirlo como algoritmo nos podemos referir a la parte real y parte imaginaria:
La parte real de la suma es la suma de las partes reales
La parte imaginaria de la suma es la suma de las partes imaginarias
1
Una serie de procesos (o etapas) dictados para ser seguidos en un determinado orden. Un ejemplo de esto es
prepararse un té; hervir agua, depositar el agua en un tazón, depositar una bolsa de té, dejar reposar, echar azúacar a
gusto y revolver. Sin embargo las instrucciones no son siempre conmutativas en este caso; no sirve revolver antes de
echar el agua
1
Consideremos la suma de los siguientes complejos; z1 = 5 + i y z2 = 13 − 6i la suma es:
z1 + z2 = (5 + 13) + (1 − 6)i = 18 − 5i
Si consideramos el algoritmo tenemos
Re(z1 + z2 ) = Re(z1 ) + Re(z2 ) = 5 + 13 = 18
Im(z1 + z2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 ) = 1 − 6 = −5
Como tenemos z1 + z2 = Re(z1 + z2 ) + (Im(z1 + z2 ))i (forma canónica de z1 + z2 usando parte real e
imaginaria) luego conseguimos z1 + z2 = 18 − 5i
Recuerde que desde los números enteros la palabra suma se refiere también a sumar inversos
aditivos (signo menos), lo que en los números naturales serı́a resta. El inverso aditivo de z se denota
−z
−z. Si z = a + bi entonces su inverso aditivo es −z = −a − bi
bi.
Complete el siguiente cuadro
z1
z2
2 + 5i
9 + 3i
3+i
4 − 4i
−9 + 10i
−9 − 10i
2+i
2−i
7 + 12i
−7 + 12i
6 + 7i
−6 − 7i
1 2
+ i
3 3
3
8
Re(z1 )
Im(z1 )
Re(z2 )
Im(z2 )
3
1
−2
0
8
12
2
i
5
1+i
Re(z1 + z2 )
Im(z1 + z2 )
−9
6
−3 + 8i
z1 + z2
6
12 − 100i
√
2
2
24
√
2
2
0
2
7
7
−
3
−4
4
− i
7
5 + 5i
33 + 44i
20
10
22
15
−4
i
1
39
1 + 7i
5−i
4i + 4i2
10 + 13i
√
5+i 5
√
i 2
2