Métodos de solución de ED de primer orden

CAPÍTULO
2
Métodos de solución de ED de primer orden
2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables
El primer tipo de ED que presentamos es el de ED de variable separables, llamadas así porque es práctrica
común en ecuaciones de dos variables el tratar de separarlas, como se muestra en los siguientes ejemplos.
.x 2
Ejemplo 2.2.1 Separar las variables de la siguiente ecuación algebraica:
x/.y 2 C 3/ D 2xy.
H Por separar las variables de la ecuación se entiende que por medio de operaciones algebraicas válidas
se coloquen todas las x de un lado de la igualdad y todas las y del otro lado. En este caso
.x 2
x/.y 2 C 3/ D 2xy )
x2
x
x
D
2y
:
y2 C 3
Se han colocada las x del lado izquierdo de la ecuación; las y del lado derecho.
dy
D 2
dx
.x
Ejemplo 2.2.2 Separar las variables de la siguiente ED:
2xy
.
x/.y 2 C 3/
H Para una ED como ésta, separar variables significa que por medio de operaciones algebraicas válidas
se escriba la ED en la forma:
g.y/ dy D h.x/ dx ;
para algunas funciones g.y/ y h.x/. En este caso tenemos:
dy
D 2
dx
.x
Para este caso:
g.y/ D
1 canek.azc.uam.mx:
y2 C 3
y
2xy
y2 C 3
2x
)
dy D 2
dx :
2
x/.y C 3/
y
x
x
&
h.x/ D
2x
x2
14/ 1/ 2010
1
x
con
y ¤ 0 y x2
x ¤ 0:
2
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Del resultado anterior, se concluye que la ecuación diferencial
dy
D 2
dx
.x
bles separables.
2xy
es una ED de variax/.y 2 C 3/
Ejemplo 2.2.3 Separar las variables de la siguiente ED:
H
dx
D 2
dy
.x
2xy
.
x/.y 2 C 3/
Al escribir la ED en la forma g.y/ dy D h.x/ dx se tiene:
2xy
x2 x
2y
)
dx D 2
dy :
2
x/.y C 3/
x
y C3
dx
D 2
dy
.x
En este caso:
g.y/ D
2y
2
y C3
Se concluye que la ecuación diferencial
y0 D
Una ecuación diferencial:
la forma:
&
h.x/ D
dx
D 2
dy
.x
x2
x
x
con
x ¤ 0:
2xy
es una ED de variables separables.
x/.y 2 C 3/
dy
D f .x; y/ es de variables separables si podemos escribirla en
dx
g.y/ dy D h.x/ dx :
El método para resolver una ecuación diferencial de variables separables consiste en integrar esta
última igualdad, es decir:
Z
Z
g.y/ dy D h.x/ dx )
) ˛.y/ C C1 D ˇ.x/ C C2 ) ˛.y/
ˇ.x/ D C2
C1 )
) .x; y/ D C , que es la solución general de la ED.
En general, la solución queda definida de manera implícita. Ilustramos este método con los ejemplos
siguientes.
Ejemplo 2.2.4 Resolver la ecuación diferencial: y 0 D
H
dy
D sen x.
dx
Separando las variables se tiene:
dy
D sen x ) dy D sen x dx :
dx
Integrando directamente:
Z
dy D
Z
sen x dx ) y D
cos x C C;
que es la solución general de la ED.
Ejemplo 2.2.5 Resolver la ecuación diferencial: y 0 D sen y.
2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables
H
3
Separando las variables se tiene:
dy
dy
D sen y )
D dx :
dx
sen y
Integrando:
Z
Z
dy
D dx )
csc y dy D x C C )
sen y
) ln j csc y cot y j D x C C :
Z
Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita.
Ejemplo 2.2.6 Resolver la ecuación diferencial:
H
dy
D 2
dx
.x
2xy
.
2/.y 2 C 3/
Separando las variables:
dy
D 2
dx
.x
2xy
y2 C 3
2x
)
dy D 2
dx :
2
2/.y C 3/
y
x
2
Integrando:
Z
2x
y2 C 3
dy C C1 D
dx C C2 )
y
x2 2
Z 3
yC
)
dy D ln x 2 2 C C )
y
2
y
)
C 3 ln j y j D ln x 2 2 C C :
2
Z
Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita.
Observación: En este punto es pertinente aclarar que el uso del valor absoluto en la integral
Z
dy
D ln j y j C C
y
es la forma correcta de aplicar esta fórmula de integración. Sin embargo, con cierta frecuencia en las
páginas siguientes y el resto del libro, el lector podrá encontra varias veces
Z
du
D ln u C C:
u
Esto se hace por facilidad de escritura o bien por conveniencia, para hacer algunas manipulaciones y
conseguir despejar a la variable dependiente en la solución de la ED.
Se supone también que el lector conoce, por sus cursos previos de cálculo, las convenciones usuales
en la manipulación de funciones elementales. Así por ejemplo, al escribir
sen y D f .x/ ) y D arcsenŒf .x/
no hace falta insistir que para que y sea una función bien definida se debe cumplir j f .x/ j 1.
En lo sucesivo omitiremos mencionar explícitamente las restricciones de este tipo: como que los denominadores deber ser ¤ 0, los argumentos del logaritmo deben ser positivos etc, a menos que se
considere muy necesario.
4
Ecuaciones diferenciales ordinarias
También para el resto del libro haremos algunas convenciones sobre la constante de integración que
se añade en las integrales indefinidas, si:
F 0 .x/ D f .x/
entonces escribimos equivalentemente:
Z
F .x/ dx D f .x/ C C
y G 0 .y/ D g.y/
Z
y
G.y/ dx D g.y/ C C;
donde C representa una constante arbitraria, sin embargo si tenemos por ejemplo
F .x/ dx D G.y/ dx;
queremos concluir que
Z
F .x/ dx D
Z
G.y/ dy;
o sea
f .x/ C C1 D g.y/ C C2 :
No es necesario usar dos constantes arbitrarias ya que análogamente se puede escribir
f .x/ D g.y/ C C;
donde C sustituye a C1
C2 .
De forma similar y repeditamente en lo que sigue el lector podrá ver expresiones como C1 C C2 D C ,
C1 C2 D C , 3C1 D C , e C1 D C , cos C1 D C , etc. en las que esencialmente se hace la convención de
que la suma, resta, producto, exponencial o cualquier otro valor funcional de una constante es otra
constante.
Así por ejemplo, una fórmula como e C D C no es necesariamente incorrecta al interpretarse como un
ejemplo de estas convenciones.
p
Ejemplo 2.2.7 Resolver la ecuación diferencial: y 0 D 2x y
H
1.
Separando las variables e integrando:
)
Z
.y
1
dy
D 2x.y 1/ 2 ) .y
dx
Z
1
1/ 2 dy D 2 x dx )
1
) 2.y
1/ 2 C C1 D x 2 C C2 ) 2.y
1/
1
2
dy D 2x dx )
1
1/ 2 D x 2 C C:
Elevando al cuadrado:
1
1/ D .x 2 C C /2 ) y D 1 C .x 2 C C /2 :
4
Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma explícita.
4.y
Ejemplo 2.2.8 Resolver el PVI:
H
0
y D xy C x
2y
2I con la condición y.0/ D 2.
Para separar las variables comenzamos factorizando y después integramos, se tiene:
dy
D x.y C 1/ 2.y C 1/ D .y C 1/.x 2/ )
dx
Z
Z
dy
dy
D .x 2/ dx )
D .x 2/ dx )
)
yC1
yC1
1
1
) ln.y C 1/ C C1 D .x 2/2 C C2 ) ln.y C 1/ D .x 2/2 C C:
2
2
2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables
5
Para determinar C , consideramos la condición inicial y.0/ D 2:
ln 3 D
1
. 2/2 C C ) C D ln 3
2
2 ) ln.y C 1/ D
1
.x
2
2/2 C ln 3
2:
De donde
1
2/2 Cln 3 2
y C 1 D e 2 .x
) yD
1
2
3e 2 .x 2/ 2
1
D e 2 .x
2/2 2 ln 3
e
)
1:
Representa la solución del PVI con y.0/ D 2.
Ejemplo 2.2.9 Resolver la ecuación diferencial: .x 2 C 1/y 0 tan y D x.
H
Separando las variables e integrando:
Z
Z
dy
x dx
sen y
x dx
tan y D x ) tan y dy D 2
)
dy D
)
dx
x C1
cos y
x2 C 1
1
1
ln.cos y/ C C1 D ln.x 2 C 1/ C C2 ) ln.cos y/ D ln.x 2 C 1/ C C:
2
2
.x 2 C 1/
)
Podemos encontrar la forma explícita de la solución usando propiedades del logaritmo:
ln.cos y/
1
1
1
1
D ln.x 2 C 1/ 2 C C ) .cos y/
1
D e ln.x
1
Considerando e C D C y observando que e ln.x
2 C1/ 2
CC
D e ln.x
2 C1/ 2
eC :
1
2 C1/ 2
D .x 2 C 1/ 2 , se tiene:
p
p
1
1
D C.x 2 C 1/ 2 ) sec y D C x 2 C 1 ) y D arcsec.c x 2 C 1/:
cos y
Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma explícita.
.y
dy
D
dx
.x
Ejemplo 2.2.10 Resolver la ED:
H
1/.x
1/.y
2/.y C 3/
.
2/.x C 3/
Al separar las variables se obtiene:
.y
y 2
dy D
1/.y C 3/
.x
x 2
dx )
1/.x C 3/
Z
Aplicando fracciones parciales, obtenemos:
Z
Z
1
dy
5
dy
C
D
4
y 1
4
yC3
y 2
dy D
1/.y C 3/
.y
1
4
Z
dx
5
C
x 1
4
Z
Z
.x
x 2
dx :
1/.x C 3/
dx
:
xC3
Multiplicando por 4, e integrando:
ln.y
1/ C 5 ln.y C 3/ C C1 D
5
) ln.y C 3/
ln.y
ln.x
1/ C 5 ln.x C 3/ C C2 )
1/ D ln.x C 3/5
5
ln.x
5
1/ C ln C )
.y C 3/
C.x C 3/
.y C 3/5
C.x C 3/5
D ln
)
D
)
y 1
x 1
y 1
x 1
) .y C 3/5 .x 1/ D C.x C 3/5 .y 1/:
ln
Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma explícita.
6
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Ejemplo 2.2.11 Resolver el PVI:
H
dy
sen x C e 2y sen x
D
I con la condición y
D 0.
y
y
dx
3e C e cos 2x
2
Comenzamos separando las variables e integrando para obtener:
Z
Z
dy
.sen x/.1 C e 2y /
ey
sen x
e y dy
sen x
D y
)
dy
D
dx
)
D
dx:
dx
e .3 C cos 2x/
1 C e 2y
3 C cos 2x
1 C e 2y
3 C cos 2x
Pero cos2 x D
1
.1 C cos 2x/, entonces:
2
Z
Z
e y dy
sen x dx
D
1 C .e y /2
3 C Œ2 cos2 x
1
D
Z
sen x dx
1
D
2 C 2 cos2 x
2
Z
sen x dx
:
1 C .cos x/2
Ahora, integrando por sustitución:
1
1
arctan.cos x/ C C2 ) arctan e y D
arctan.cos x/ C C:
2
2
Considerando la condición inicial y
D 0:
2
1
1
arctan e 0 D
arctan cos
C C ) arctan 1 D
arctan 0 C C ) C D :
2
2
2
4
arctan e y C C1 D
Por lo tanto, la solución buscada es:
1
arctan.cos x/ C :
2
4
arctan e y D
Es decir:
4 arctan e y C 2 arctan.cos x/ D :
Cualquiera de las dos últimas expresiones representa la solución del PVI.
Ejemplo 2.2.12 Resolver la ecuación diferencial: x 3e
H
2x 2 C3y 2
y3 e
dx
x2
2y 2
dy D 0.
Primero separamos las variables y planteamos las integrales:
2
2
x 3 e 2x e 3y dx D y 3 e
x2
e
2y 2
2
2
dy ) x 3 e 2x e x dx D y 3 e
2y 2
e
3y 2
dy )
Z
2
x 2e 3x xdx D
Z
y2 e
5y 2
y dy:
Integrando por partes ambas integrales:
u
du
D t2
&
dv
D 2t dt
&
v
2
D e at dt
1 at 2
D
e
2a
Se tiene:
Z
1 2 3x2 1
2
x e
e 3x xdx D
6
3
1 2 3x2
1 3x2
x e
e
D
6
18
1 2
y e
10
1 2
y e
10
5y 2
5y 2
Z
1
2
C
e 5y y dy
5
1 5y 2
e
CC
50
Multiplicando por 450 (mínimo común múltiplo de 6, 18, 10 y 50):
.75x 2
2
25/e 3x C .45y 2 C 9/e
5y 2
D C:
Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita.
2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables
Ejemplo 2.2.13 Resolver la ED:
H
7
dy
yC1
Dp
p .
dx
x C xy
Separamos variables factorizando primero y posteriormente integramos, resulta:
Z p
Z
p
dy
yC1
yC1
1C y
dx
y C1
p p Dp
Dp
)
dy D p )
dy D x
p
dx
xC x y
x.1 C y/
yC1
x
yC1
Resolvemos la primera integral mediante el cambio de variable
1
2
dx :
p
y D t para así obtener:
Z
t C1
2t 2 C 2t
2t
dt
D
dt D
t2 C 1
t2 C 1
Z Z
2t 2
2t
2
2t
C 2
dt D
2
C 2
dt D
t2 C 1
t C1
t2 C 1
t C1
Z
Dado que t D
D 2t
p
y, resulta:
2 arctan t C ln.t 2 C 1/ C C:
p
p
p
2 y C ln.y C 1/ 2 arctan y C C1 D 2 x C C2 )
p
p
p
) 2. y
x/ C ln.y C 1/ 2 arctan y D C:
Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita.
Ejemplo 2.2.14 Resolver la ecuación diferencial:
H
xy 3y C x
dy
D
dx
xy C 2y x
3
.
2
Separando variables, se tiene:
dy
xy 3y C x
D
dx
xy C 2y x
x 3
y 1
dy D
dx :
)
yC1
xC2
3
y.x 3/ C .x 3/
.y C 1/.x 3/
D
D
)
2
y.x C 2/ .x C 2/
.y C 1/.x C 2/
Efectuando las divisiones e integrando:
Z Z 2
5
1
dy D
1
dx ) y
yC1
xC2
) y
ln.y C 1/2 D x
2 ln.y C 1/ C C1 D x
5 ln.x C 2/ C C2 )
ln.x C 2/5 C C:
Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita.
Ejercicios 2.2.1 Variables separables. Soluciones en la página 9
Resolver las siguiente ecuaciones diferenciales:
1.
dy
D tan x C sec x .
dx
2.
dy
D tan y .
dx
3.
dx
x2
D
.
dy
y
4.
y
dx
D 2 .
dy
x
8
Ecuaciones diferenciales ordinarias
5.
ds
.2t C 1/.2s 1/
D
.
dt
2.t 2 C t/
6.
ds
.s 3 s/.4t 3 6t/
D 4
.
dt
.t
3t 2 /.3s 2 1/
7.
du
.u C 1/.t C 1/
D
.
dt
.u C 2/.t 1/
8.
dt
tu C u C 3t C 3
D
.
du
tu C 2u t 2
9. x 2 y 0 D 1
x2 C y2
x2y2 .
y D 2x 2 y .
10. xy 0
dx
D x2 C 1 .
dt
2
x
dy
12. .y ln x/ 1
D
.
dx
yC1
11. 4tx
13.
d
D .cos t/.cos 2
dt
14.
dy
De
dt
15.
dy
C y D yxe xC2 .
dx
16. e x y dy
2t C3y
.e
y
cos2 / .
.
C e 2x
y
/ dx D 0 .
17. 2tx 2 C 2t C .t 4 C 1/x 0 D 0 con x.0/ D 1 .
18.
19.
20.
2r
1
t
dr C
1
.y
1/2
r 2r 2
dt D 0 con r .2/ D 4 .
t2 1
dx C p
dT
D k.T
dt
1
x2
C4
dy D 0 .
T1 /; con T .0/ D T0 I
k, T0, T1 constantes .
2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables
Ejercicios 2.2.1 Variables separables. página 7
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
9