Trabajo asignado para la semana 3

ampliación de matemáticas iii
1. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales de variables separadas.
a)
dx
= (x + 1)2
dy
b) ex
dx
= 2x
dy
c)
dx
+ 2xy = 0
dy
d)
dx
y+1
=
dy
x
e) ex y
dx
= e−y + e−2x−y
dy
f ) x2 y 2 dy = (y + 1)dx
2. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales exactas. (¡Ojo! hay algún gazapo en esta relación).
a) (sen y − y sen x)dx + (cos x + x cos y − y)dy = 0
y
dx = (1 − ln x)dy
b) 1 + ln x +
x
c) 6xydx + (4y + 9x2 )dx = 0
d ) (x3 + y 3 )dx + 3xy 2 dy = 0
e) (3x2 y + ey )dx + (x3 + xey − 2y)dy = 0
2
2
f ) (2y sen x cos x − y + 2y 2 exy )dx = (x − sen2 x − 4xyexy )dy
3. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes aplicando el factor integrante
que se indica.
a) −y 2 dx + (x2 + xy)dy = 0, µ(x, y) = y 2
b) y(x + y + 1)dx + (x + 2y)dy = 0, µ(x, y) = ex
c) (x2 + 2xy − y 2 )dx + (y 2 + 2xy − x2 )dy = 0, µ(x, y) = (x + y)−2
4. Resuelve los problemas de valores iniciales siguientes:
a) (1 + x4 )dy + x(1 + 4y 2 )dx = 0, y(0) = 0
b)
dy
+ ty = y, y(1) = 3
dt
c) (x + y)2 dx + (2xy + x2 − 1)dy, y(1) = 1
d ) (ex + y)dx + (2 + x + yey )dy = 0, y(0) = 1
e)
dx
=
dy
y 2 −1
x2 −1 ,
y(2) = 2
f ) (4y + 2x − 5)dx + (6y + 4x − 1)dy = 0, y(−1) = 2
g) y 0 + 2y = 1, y(0) = 5/2
1
5. (Ejercicios adicionales). Una ecuación diferencial de la forma
dx
= f (ax + by + c), (b 6= 0)
dy
puede reducirse a una ecuación de variables separadas por medio de la sustitución u = ax + by + c, de manera que
dx
du
=a+b
dx
dy
y, por tanto, sustituyendo, la ecuación queda
du
= bf (u) + a
dx
Aplica este procedimiento para resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
a)
dx
= (x + y + 1)2
dy
b)
dx
1−x−y
=
dy
x+y
c)
dx
= 1 + ey−x+5
dy
2