Banco primer departamental de ecuaciones diferenciales

Banco de preguntas para el
primer examen departamental
Ecuaciones Diferenciales
Resp. Dr. José Eligio Moisés Gutiérrez Arias
Ejercicio 1 Veri…que que las ecuaciones siguientes sean homogéneas
y resuélvalas.
a.
b.
c.
d.
e.
(x2 2y 2 )dx + xydy = 0;
x2 y 3xy 2y 2 = 0;
x2 y = 3(x2 + y 2 ) tan 1 xy + xy;
dy
x sen xy dx
= y sen xy + x;
y
xy = y + 2xe x ;
Ejercicio 2 Demuestre que la sustitución z = ax + by + c cambia y =
f (ax + by + c) en una ecuación con variables separables y aplique este
método para resolver las ecuaciones siguientes
a. y = (x + y)2 ;
b. y = sin2 (x y + 1);
c. y y = 2 x 3
d. y = cos(y x)
Ejercicio 3 a) Si ae 6= bd, demuestre que las constantes h y k se pueden
escoger de tal modo que las sustituciones x = z h; y = w k; reducen
dy
ax+by+c
dx = F dx+ey+f a una ecuación homogenea en las variables z y w.
b) Si ae = bd, descubra una sustitución que reduzca la ecuación del
inciso a), en otra que tenga variables separables.
Ejercicio 4 Resuelva las ecuaciones siguientes ocupando el ejercicio
anterior:
a.
dy
dx
=
x+y+4
x y 6
b.
dy
dx
=
x+y+4
x+y 6
c. (x + y
2) dx + (x
y + 4) dy = 0
d. (x + y + 1) dx + (2x + 2y
1) dy = 0
1
Ejercicio 5 Determine cuáles de las ecuaciones siguientes son exactas
y resuelva las que lo sean.
1. (x + y2 )dy + dx = 0:
2. (sen x tan y + 1)dx+cos x sec2 ydy = 0:
x3 )dx + (x + y 3 )dy = 0:
3. (y
4. (2y 2
4x + 5)dx = (4
2y + 4xy)dy
5. (y + y cos xy)dx + (x + x cos xy)dy = 0:
6. cos x cos2 y dx + 2 sen x sen y cos ydy = 0:
xey )dy = (ey + cos x cos y)dx:
7. (sen x sen y
8.
1
x
y sen y dx
x
x
y 2 sen y dy
9. (1 + y)dx + (1
= 0:
x)dy = 0:
3
10. (2xy + y cos x)dx + (3x2 y 2 + sen x)dy = 0:
11. dx =
y
1 x2 y 2 dx
+
x
1 x2 y 2 dy:
Ejercicio 6 Resuelva las ecuaciones siguientes, encontrando un factor
integrante:
a. (3x2
y 2 ) dy
2xy dx = 0:
1) dx + (x2
b. (xy
xy) dy = 0:
3 4
c. x dy + y dx + 3x y dy = 0:
d. (3xy + y 2 )
e. (x
(x2 + xy) y = 0:
2xy) dx + dy = 0:
4
f. (2xy ey + 2xy 3 + y) dx + (x2 y 4 ey
x2 y 2
3x) dy = 0:
Ejercicio 7 Resuelva las ecuaciones siguientes:
a.
b.
c.
d.
e.
x dy y dx = (1 + y 2 ) dy:
y dx x dy = xy 3 dy:
x dy = (x5 + x3 x2 + y) dx:
(y + x) dy = (y x) dx:
x dy = (y + x2 + 9y 2 ) dx:
Ejercicio 8 Resuelva los siguientes ejercicios como ecuaciones lineales:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
dy
x dx
3y = x4 :
1
y + y = 1+e
2x :
2
(1 + x ) dy + 2xy dx = cot x dx:
y + y = 2xe x + x2 :
y + y cot x = 2x csc x:
(2y x3 ) dx = x dy:
2
Ejercicio 9 La notacion habitual dy=dx implica que x es la variable
independiente e y la dependiente. Al tratar de resolver una ecuanción diferencial, resulta a veces útil remplazar x por y; y trabajar
con la ecuacion resultante. Aplíque este metodo a las ecuaciones
siguientes:
a.
(ey
b.
y
2xy)y = y 2 ;
xy = y y 2 ey :
Ejercicio 10 Entre las 22 ecuaciones diferenciales que siguen hay algunas representativas de todos los tipos. Resuelva.
xy)y = y 2
1.
(1
2.
(2x + 3y + 1)dx + (2y
p
xy = x2 + y 2
3.
4.
5.
y 2 dx = (x3
3x + 5)dy = 0
xy)dy
2 3
(x y + y)dx = (x3 y 2
x)dy
6.
xdy + ydx = x cos xdx
7.
xydy = x2 dy + y 2 dx
8.
(ex
9.
y + 2x(y )2 = 0
3x2 y 2 )y + yex = 2xy 3
10. (x2 + y)dx = xdy
11. xy + y = x2 cos x
12. (6x + 4y + 3)dx + (3x + 2y + 2)dy = 0
13. cos(x + y)dx = x sin(x + y)dx + x sin(x + y)dy
14. (y 2 exy + cos x)dx + (exy + xyexy )dy = 0
15. y log(x
y) = 1 + log(x
16. y + 2xy = e
2
17. (y + 3xy
x2
y):
:
2
2x )dx = (x2
2
xy)dy
3
18. (1 + x )y + 2xy = 4x :
19. e2 sin ydx + ex cos ydy = y sin xydx + x sin xydy:
20. (1 + x2 )y + xy = 0
21. (xey + y
x
x2 )dy = (2xy
22. e (1 + x)dx = (xe
x
ey
x)dx:
y
ye )dy:
Ejercicio 11 En los problemas del 1 al 4, encuentre la solución general
de cada ecuación diferencial dada.
3
1
x
1. y +
y = sin x;
2. x2 y + 3xy =
x>0
(sin x)
x ;
x<0
3. y + (tan x)y = x sin 2x;
=2 < x < =2
x
4. xy + 2y = e ;
x>0
Ejercicio 12 En los problemas del 1 al 4, encuentre la solución de
cada problema con valores iniciales dado. Indicar el intervalo en el
que es válida la solución.
1.
2.
3.
4.
y(1) = 12
y(1) = 1
y( 2 ) = 1
y( ) = 1
xy + 2y = x2 x + 1;
xy + y = ex ;
y + (cot x)y = 2 csc x;
xy + 2y = sin x;
Ejercicio 13 Resuelva cada una de las ecuaciones de los problemas del
1 al 8. Indique las regionesdel plano x y para las que se satisfacen
las condiciones del teorema fundamental de existencia y unicidad.
2
2
dy
1. dx
= xy
3. y + y 2 sin x = 0
5. y = (cos2 x)(cos2 2y)
dy
e x
7. dx
= xy+e
y
dy
x
2. dx
= y(1+x
3)
4. y = 1 + x + y 2 + xy
1
6. xy = (1 y 2 ) 2
2
dy
x
8. dx
= 1+y
2
Ejercicio 14 En cada uno de los problemas, del 1 al 5 encuentre un
factor integrante y resuelva la ecuación dada.
1. (3x2 y + 2xy + y 3 )dx + (x2 + y 2 )dy = 0
2. y 0 = e2x + y
3. dx +
x
y
sin y dy = 0
4. ydx + (2xy
x
1
e
2y
)dy = 0
x
5. e dx + (e cot y + 2y csc y)dy = 0
Ejercicio 15 Demuestre que las ecuaciones de los problemas 1 al 15
son homogéneas, y encuentre sus soluciones.
1.
dy
dx
=
x+y
x
2
2. 2ydx
xdy = 0
4.
dy
dx
=
x +3y 2
2xy
4y 3x
2x y
6.
dy
dx
=
4x 3y
2x y
=
x+3y
x y
8. (x2 +3xy +y 2 )dx x2 dy = 0
=
y 2 +2xy
x2
3.
dy
dx
=
x +xy+y
x2
5.
dy
dx
=
7.
dy
dx
9.
dy
dx
2
11. (x
2
2
10. x dy
2
2
xy) dy + (x + y ) dy = 0
4
(x + 2 y) dx = 0
12. y 2 + x2 y 0 = x y y 0
13. (x2 + y 2 ) y 0 = 2x y
14. 2x3 y dx + (x4 + y 4 ) dy = 0
p
15. (y + xy) dx = x dy
Ejercicio 16 Resolver los siguientes problemas por cualquier método.
1.
dy
dx
=
x3 2y
x
2. (x + y)dx
3.
dy
dx
=
(x
4. (x + e )dy
5.
dy
dx
y)dy = 0
2x+y
3+3y 2 x ;
y
y(0) = 0
dx = 0
2xy+y 2 +1
x2 +2xy
=
dy
6. x dx
+ xy = 1
7.
dy
dx
=
y;
x
x2 y+y 3
sugerencia : sea u = x2
dy
8. x dx
+ 2y =
9.
dy
dx
sin x
x ;
2xy+1
x2 +2y
=
y(1) = 0
10. (3y 2 + 2xy)dx
y(2) = 1:
(2xy + x2 )dy = 0
11. (x2 + y)dx + (x + ey )dy = 0
12.
dy
dx
+y =
1
1+ex
1
ydx = (xy) 2 dx
13. xdy
14. (x + y)dx + (x + 2y)dy = 0;
x
15. (e +
16.
17.
dy
dx
dy
dx
=
dy
1) dx
=y
y(2) = 3
x
ye
x2 +y 2
x2
= e2x + 3y
18. (2y + 3x)dx =
19. xdy
0
xdy
2 2
ydx = 2x y dy;
y(1) = 2
x+y
20. y = e
y
21. xy 0 = y + xe x
22.
dy
dx
=
x2 1
y 2 +1 ;
23. xy 0 + y
y( 1) = 1
y 2 e2x = 0
24. 2 sin y cos xdx + cos y sin xdy = 0
25.
2 xy
y
x2 +y 2
26. (2y + 1)dx +
dx +
x2 y
x
x
x2 +y 2
dy = 0
5
x2
y2
dy = 0
27. (cos 2y
28.
dy
dx
=
29.
dy
dx
=
30.
dy
dx
=
sin x)dx
2
3x 2y y
2x+3xy 2
p
x2 y 2
2x
2y+
y3
1 2xy 2 ;
31. (x2 y + xy
32.
dy
dx
2 tan x sin 2ydy = 0
3
y(0) = 1
y)dx + (x2 y
2
2
3x y+y
2x3 +3xy ;
=
2x2 )dy = 0
y(1) =
2
Ejercicio 17 Determinar el tipo (ordinaria o parcial), linealidad, orden y grado de las ecuaciones diferenciales siguientes:
1. x2 dy + ydx = 0
2. (y )3 = 3x2
3.
1
4
d3 y
dx3
dy
4. x4 dx
@u
@t
6.
d2 x
dy 2
+x=0
2
3
d y
4d y
x2 dx
2 = y dx3
2
5.
5
d2 y
dx2
= 4 @@xu2 +
@u
@y
3x = sin y
7. y + xy = sin y
Ejercicio 18 Determinar el tipo (separable, homogénea, exacta, lineal) de las ecuaciones diferenciales
1. '1 (x)
1 (y)dx
x
= '2 (x)
2 (y)dy
y
2. (y ) = e
sin 2x
y
3.
+x + y
sin2 x
y2
y=0
2y + (x + 1)4 dx = 0
p
5. xy = y + y 2 + x2
4. (x + 1)dy
6. y =
7. e
y
2xy
3x2 y 2
(x + y ) = 1
Ejercicio 19 Encontrar la solución general (ECUACIONES SEPARABLES).
1.
dy
dx
2.
2x2 yy = 2
3.
x sin xe
4.
dy
dx
= e3x
=
2y
y
y2
dx = ydy
2
x
1+y 2
6
dy
y
5.
6.
p
y 2 + 1 dx = x y dy
x y2 = 2 x y
7. y
8.
9.
dx
1+x
=
y ln x dx =
y y = 2 x ey
(y+1)2
x
dy
2
10. (x2 + 9) y + x y = 0
Ejercicio 20 Resolver el problema con valor inicial.
1. (x2
1)y + 2xy 2 = 0;
y(0) = 1
2. y cot x + y = 2;
3. y = y
2
2
y(0) =
4;
y(0) =
2
2
4. (x
1)y + 2 x y = 0;
5. y = 3 y
2=3
;
1
y(0) = 1
y(2) = 0
Ejercicio 21 Hallar la solución general (ECUACIONES HOMOGÉNEAS)
a)
b)
c)
d)
(x y) dy = (y x)dx
(x + 2y) dx xdy = 0
y 2 + x2 y = xyy
p
(y + xy)dx = xdy
Ejercicio 22 Resolver el problema con valor inicial.
(x + y)dy = ydx
y(0) = 1
Ejercicio 23 Encontrar la solución general (ECUACIONES EXACTAS).
a. 2xydx + (x2
p
b. 2x(1 + x2
c. e
y
dx
y 2 )dy = 0
p
y)dx
x2
(2y + xe
y
2
d. (1 + y sin 2x)dx
ydy = 0
)dy = 0
2y cos2 xdy = 0
e. (sin x + sin y)dx + (x cos y + cos y)dy = 0
f. y dx + x dy = 0
g. 2x + y 2 + 2xy y = 0
h. (y cos x + 2x ey ) + (sin x + x2 ey
2
i. 2xy dx + (x
1)dy = 0
2
j. (2x + 3x y)dx + (x3
k. e
y
dx
2
[2y + x e
3y 2 )dy = 0
y
] dy = 0
2
l. 2y cos x dy = [1 + y sin(2x)] dx
7
1) y = 0
Ejercicio 24 Obtener la solución general (ECUACIONES LINEALES
DE PRIMER ORDEN)
1.
2.
3.
4.
5.
xy 2y = 2x4
(2x + 1)y = 4x + 2y
(xy + ex )dx xdy = 0
y + y sin x = 2xecos x
x2 dy + xydx = 8x2 cos2 xdx
8