Función Cuadrática

Función Cuadrática
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Diremos que una función f es una función polinómica si existen números reales a0, a1,
a2,......an tales que:
n
n-1
2
f(x) = anx + an-1x + . . . . . + a2x + a1x + a0
6
4
3
Ejemplo: f(x) = 5 x + 137 x – x + 8
es f : R→R cuyo grado es 6.
Vamos a estudiar ahora la función de grado 2.
Definición: a la función polinómica de grado 2 se la denomina función cuadrática
La expresión general de la función cuadrática es:
f(x) = a.x2 + b.x + c
Donde a , b y c son números reales siendo a ≠ 0
Su dominio es el conjunto R porque es el conjunto más amplio para el cual la fórmula tiene
sentido.
Su gráfica es una parábola.
Los términos reciben estos nombres :
término lineal
y = a.x2 + b.x + c
término cuadrático
término independiente
A esta forma de expresar las función cuadrática se la llama polinómica.
Si le damos diferentes valores a los coeficientes a , b y c obtenemos las fórmulas de
distintas funciones cuadráticas.
Por ejemplo:
2
f(x) = 2 x + x – 6
;
2
h(t) = 80 t – 5 t
;
2
g(x) = -x + 7
;
2
s(t) = 2 t + t –3
LA FUNCIÓN y = x2
Consideremos primero la función f(x) = x siendo f : R → R U { 0 }.
Su gráfico es:
2
+
y
f(x) = x2
4
1
(0,0)
1
2
x
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Función Cuadrática
Los gráficos de las funciones cuadráticas tienen siempre un eje de simetría vertical. En
este caso es el eje y.
El punto en el que la parábola corta el eje de simetría se llama vértice. En este caso el
punto de coordenadas ( 0,0).
Como cualquier valor de x ( positivo o negativo) elevado al cuadrado da por resultado un
+
número positivo o cero , éste conjunto será la imagen. I(f) = R U { 0 }.
LA FUNCIÓN y = ax2
Veremos ahora cómo modifica el trazado de la curva el n° real a. Observen los gráficos
siguientes donde a toma valores distintos de 1.
y
con a > 0
g
f
f = x2
h
g = 2 x2
h = ½ x2
x
En este caso, si a es positivo las parábolas tienen sus ramas dirigidas hacia arriba y
además con distinta abertura.
y
con a < 0
x
f = - x2
h
g = -2 x2
f
g
h = - ½ x2
Cuando a es negativo, las ramas de la parábola están dirigidas hacia abajo y tienen
diferente abertura.
☺ CONCLUSIÓN:
El signo de a indica hacia dónde se dirigen las ramas.
El valor absoluto de a modifica la abertura de las parábolas.
Forma Canónica
La fórmula de la función cuadrática también puede expresarse en forma canónica, que es la
siguiente:
2
y = a (x – h) + k
donde :
a es el término cuadrático ,
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Función Cuadrática
(h ; k ) son las coordenadas del vértice, y
x = h es la recta de simetría de la parábola
Si queremos relacionar esta expresión con la forma polinómica, basta con desarrollar las
operaciones indicadas en la forma canónica e igualar término a término de la siguiente
manera:
2
2
a (x – h) + k = a.x + b.x + c
2
2
2
a ( x – 2hx + h ) + k = a.x + b.x +
2
2
2
ax – 2ahx +a h + k = ax + bx + c
2
2
⇒
a = a
ax = ax
– 2ahx = bx ⇒ – 2ah = b ⇒
2
ah + k
= c
c
h = - b / 2a
2
⇒ k = c - ah ⇒
k = c – a( - b / 2a)
2
⇒
k = c – b2/4a
Ejemplo :
2
Conociendo la función f(x) = 2x –6x + 2 hallar su expresión canónica.
2
2
2
ax – 2ahx + ah + k = 2x –6x + 2
a=2
( − 6) 3
=
2 .2 2
(−6) 2
36
5
= 2−
=−
k= 2−
4.2
8
2
h=
−
2
3
5

f(x) = 2 x −  −
2
2

Entonces la expresión queda :
Esta función tiene el vértice en el punto V =
3 5
 ;− 
2 2
Y el eje de simetría es la recta x = 3/2
Ahora grafiquémosla: ……
y
x=3/2
3/2
x
-5/2
V= (3/2, -5/2)
Desplazamientos de la función cuadrática
Si analizamos la forma canónica de la función, donde figuran como dato importante las
coordenadas del vértice, podremos ver si la parábola está desplazada o no.
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Función Cuadrática
Si el vértice está en el punto origen de coordenadas,
2
el vértice es V = ( 0, 0)
Por ejemplo : f(x) = 3x
entonces la fórmula será: f(x) = a (x – 0 ) + 0
2
donde
a=3
y
V = ( 0,0 )
Si la parábola está desplazada en sentido horizontal,
el vértice será de la forma V =(h, 0) y la fórmula de la función será : f(x) = a (x – h )2 + 0
Por ejemplo : f(x) = 3 (x – 1 )2
donde a = 3 y V = ( 1, 0 )
Si la parábola está desplazada en sentido vertical,
2
el vértice será de la forma V = ( 0, k) y la fórmula de la función será: f(x) = a ( x – 0 ) + k
.
2
Por ejemplo f(x) = ¼ x + 3 donde a = ¼
y V = ( 0, 3 )
Si la curva se encuentra desplazada en los dos sentidos,
2
entonces el vértice estará en V = ( h, k ) y la fórmula será f (x) = a ( x – h ) + k
2
Por ejemplo: f (x) = ½ ( x + 2 ) – 4 donde a = ½ y V = ( - 2, - 4)
y = ax2
y = ax2 + k
y
y
y = a(x-h)2
y
y = a (x-h)2+k
y = ax2
y = ax2
k
k
0
h
x
0
x
0
h
x
Forma factorizada
Ya hemos visto que la función cuadrática se puede expresar en forma polinómica y también en
forma canónica, donde cada una nos brinda datos diferentes.
Otra forma de expresar la función cuadrática es en forma factorizada donde los datos
2
implícitos en ella son las raíces del polinomio, y a es el coeficiente x , valor que aparece en
todas las expresiones.
Su expresión general es:
f(x) = a (x – x1) (x – x2)
donde x1 y x2 son las raíces del polinomio de segundo grado que más adelante veremos
cómo se obtienen.
Recuerden el concepto de raiz de un polinomio y qué interpretación geométrica tiene, volviendo
al capítulo de polinomios.
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Función Cuadrática
Ejemplo: f(x) = ½ (x – 1) (x + 3)
En este caso x1= 1 y x2 = - 3 son los valores que anulan el polinomio, pero gráficamente son
los valores de x donde la parábola corta al eje X .
Su gráfico aproximado es:
y
y =½ (x – 1) (x + 3)
h
x2
x
x1
k
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Para hallar las raíces de un polinomio debemos buscar los valores que anulan el polinomio, o
2
sea cuándo ax + bx + c = 0.
Esto significa resolver una ecuación de segundo grado, y para ello debemos analizar tres
situaciones distintas según sean sus coeficientes, todos distintos de cero o no.
2
Si el término lineal es nulo la ecuación es de la forma ax + c = 0
2
Por ejemplo :x - 4 = 0
2
x =4
x=
±2
x=2 o x=-2
Entonces la solución es S = { 2 ; - 2 }
2
Si el término independiente es nulo la ecuación es de la forma ax + bx = 0
Por ejemplo:
2
3x + 6x = 0
3x ( x + 2 ) = 0
Entonces hay dos posibilidades:
3x = 0
1)
3x = 0 sólo si x = 0 pues 3 ≠ 0
2)
x + 2 = 0 si x = - 2
ó x+2=0
un producto
es nulo si
alguno de
sus factores
lo es
Por lo tanto la solución de la ecuación es : S = { 0 ; - 2 }
2
Si la ecuación es completa tiene la forma ax + bx + c = 0
Como no podemos usar ninguno de los procedimientos anteriores debemos recurrir al
completamiento de cuadrados o a la fórmula resolvente de Baskara.
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Función Cuadrática
− b ± b 2 − 4ac
Esta fórmula se abrevia en forma general x1,2 =
2a
donde a, b y c son coeficientes de los términos de dicha ecuación.
2
x + 2x – 3 = 0 donde a = 1 ; b = 2 y c = - 3
Por ejemplo:
− 2 ± 2 2 − 4.1.(−3)
x1-x2 =
2.1
entonces:
− 2 + 2 2 − 4.1.(−3) − 2 + 16
=1
x1 =
=
2.1
2
x2 =
− 2 − 2 2 − 4.1.(−3) − 2 − 16
=
=-3
2.1
2
Por lo tanto la solución es S = { 1 ; - 3 }
Discriminante
Se denomina discriminante a la expresión que queda afectada por la raíz cuadrada en la
fórmula a resolver y se lo identifica con la letra griega ∆.
∆ = b2 – 4.a.c
el número que resulta de esta operación puede ser positivo, negativo o cero. de acuerdo con
esto existen tres tipos de solución:
☺
☺
☺
2
Si b – 4.a.c > 0 entonces la ecuación tiene dos soluciones reales distintas
2
Si b – 4.a.c = 0 entonces la ecuación tiene dos soluciones reales coincidentes
2
Si b – 4.a.c < 0 entonces la ecuación no tiene solución en el conjunto de reales pues
no existe solución para la raíz cuadrada de un número negativo.
Por lo tanto ∆ discrimina el tipo de solución de la ecuación.
FUNCIÓN Y ECUACIÓN CUADRÁTICA
Volviendo a la función cuadrática, analicemos cómo hallar las raíces o puntos de intersección
con el eje X y qué interpretación geométrica tiene el discriminante en cada caso.
Si queremos conocer los puntos de intersección de la función f(x) = ax2 +bx + c con el eje de
2
abscisas, debemos resolver la ecuación 0 = ax + bx + c .
Obtendremos así dos valores probables de x que verifican esa ecuación, los cuales me
determinarán los puntos P1 = ( x1, 0 ) y P2 = ( x2, 0 ).
Pero de acuerdo al signo del discriminante tendremos tres situaciones diferentes :
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Función Cuadrática
si ∆ > 0 la función cortará al eje X en dos puntos distintos P1 = ( x1, 0 ) y P2 = ( x2, 0 )
si ∆ = 0 la función cortará al eje en un único punto pues x1 = x2 y ese punto será el
vértice de la parábola.
si ∆ < 0 la función no cortará el eje X.
Estas tres situaciones corresponden a los siguientes gráficos.
a>0
a>0
a>0
a<0
a<0
∆>0
∆=0
a<0
∆ <0
2
Ejemplo: Dada la función f(x) = x + 4x – 5 realizar un estudio completo de la misma.
1. Determinemos el dominio y la imagen de f(x).
Como es una función polinómica su dominio son todos los reales entonces:
D(f) = R
Para hallar la imagen esperaremos a tener su expresión canónica y su gráfica.
2. Encontremos la expresión canónica para la cual debemos hallar las coordenadas del
vértice.
Sabemos que: a = 1 ; b = 4
y c=-5
2
2
x + 4x – 5 = a( x – h ) + k
2
2
x + 4x – 5 = x – 2 hx + h + k
2
Igualando término a término tenemos
h: 4=-2h ⇒ h=-2*
k:
2
2
-5 = h + k ⇒ -5 = (-2) + k
k = - 5 – 4 = -9 *
Tenemos así el vértice en V = ( h, k) ⇒ V = ( -2, -9 ) *
Ahora sólo reemplazamos en la expresión inicial así la forma canónica es
2
f(x) = ( x + 2 ) - 9
y el eje de simetría está en x = -2
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Función Cuadrática
3. Para hallar los puntos de intersección con los ejes debemos resolver dos ecuaciones:
Intersección con el eje Y
En este caso x = 0 así si reemplazamos en la forma polinómica , obtenemos
2
y = 0 + 4.0 – 5 = - 5 y el punto que buscamos es P0 = ( 0; -5 )
Intersección con el eje X
En este caso es y = 0 por lo que reemplazamos en la fórmula polinómica
2
0 = x + 4x – 5
luego necesitamos la fórmula resolvente para esta ecuación de 2° grado y reemplazamos
en ella los valores a, b y c correspondientes
− b ± b 2 − 4ac − 4 ± (−4) 2 − 4.1.(−5)
=
=
2a
2.1
−4+6
−4−6
x1 =
x2 =
=1
= −5
2
2
x1-x2 =
Entonces los puntos de intersección son: P1 = ( 1; 0 )
y P2 = ( -5; 0 )
Con estos datos podemos escribir la forma factorizada f(x) = ( x – 1 ) ( x + 5 )
2
4. Ahora que conocemos f(x) = ( x + 2 ) - 9 podemos hallar la imagen.
Si xestá en el dominio resulta que x∈ R
x+2∈R
(x + 2 ) ∈ R
2
+
es decir que
(x + 2 ) ≥ 0
2
(x + 2 ) – 9 ≥ -9
f(x) ≥ -9
2
0
es decir que la imagen es I(f) = [-9 , ∞)
5. Con todos estos datos intentemos una gráfica , (La parábola tiene las ramas hacia arriba
por ser a positivo,).
h= -2
x2= -5
x1=1
x
y = -5
V
k= -9
Ejemplo : Resolvamos ahora un problema de aplicación de la función cuadrática .
Si una piedra se arroja verticalmente desde el piso hacia arriba con una velocidad inicial de 10
2
m/seg, entonces S(t) = - 5 t + 10 t, donde S metros es la distancia de la piedra desde el punto
de partida a los t segundos y el sentido positivo es hacia arriba. Hallar :
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Función Cuadrática
a)
b)
c)
d)
e)
¿A qué altura subirá?
¿Cuántos segundos tardará en caer al suelo?
¿Cuántos segundos tardará en alcanzar el punto más alto?
¿Qué altura alcanzará a los 0,5 segundos?
Una gráfica que represente la variación de la distancia en función del tiempo.
Primero determinemos el dominio de la función. Si bien es una función cuadrática, la variable
independiente es el tiempo, por lo cual el dominio serán los números reales positivos y el cero.
Identifiquemos los coeficientes de la expresión polinómica: a = - 5 ; b = 10 y c = 0.
Analicemos ahora qué podemos deducir de la función antes de hacer cálculos.
como a < 0 sabemos que la parábola tiene sus ramas hacia abajo, por lo tanto la función
tendrá un máximo en k. Hallando este valor encontraremos la altura máxima a la que subirá
la piedra.
para ese valor de S(t) ,el valor de abscisa correspondiente me dirá el instante en el cual
alcanza esta altura, lo que será el valor h.
en las raíces x1 y x2 del polinomio tendremos los puntos donde la altura de la piedra es
cero, situación que se da en el momento de lanzamiento y cuando termina la caída.
con sólo reemplazar un valor cualquiera de t en la fórmula sabremos a qué altura estará en
ese momento.
2
Comencemos con los cáculos. La fórmula es
S(t) = - 5 t + 10 t
Para hallar el vértice debemos igualar a la forma canónica
2
2
- 5 t + 10 t = a (t - h) + k
-5=a
10 = - 2 a h
2
0=ah +k
⇒
h=1
⇒ k=5
V=(1;5)
Para hallar las raíces podemos factorear ya que el polinomio no está completo
2
2
S(t) = - 5 t + 10 t = 5 t ( - t + 2 )
2
-5 t ( - t + 2 ) = 0 ⇒
5t = 0
ó
( -t + 2 ) = 0 ⇒
t=0 ó t=2
entonces las dos puntos buscados son P1 = ( 0; 0 ) y P2 = ( 2; 0 )
Construyamos primero el gráfico y luego contestemos las preguntas
S
k=5
0
S(t) = - 5t2 +10t
h=1
2
t
a) El valor máximo de la función es k por lo tanto subirá hasta los 5 metros
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Función Cuadrática
b) La función alcanza su máximo en x = h por lo tanto alcanzará su altura máxima en 1
segundo.
c) Tardará 2 segundos en caer al suelo( no tenemos en cuenta la altura del lanzador)
2
d) Reemplazo 0,5 en la expresión : S(0,5) = - 5 (0,5) + 10 (0,5) = 0,75 metros
TRABAJO PRÁCTICO
1.- Grafica las siguientes funciones cuadráticas
f(x) = x2 – 5x + 6
g(x) = -x2 + 4x
2
k(x) = x + x + 1
j(x) = x2 – 3
h(x) = -1/2 x2 + 3/2
2.- Halla la fórmula de la función cuadrática que
pasa por el punto ( 1 ; -1 ) y su vértice es el punto ( -2; 3 )
su gráfico corta al eje y en ( 0; 3 ) y su vértice es el punto ( 1; 2 )
3.- Halla los posibles valores de m para que se cumpla la condición pedida:
f(x) = x2 + mx + 3 corta al eje x en dos puntos
g(x) = 2x2 – x – m no corta el eje x
h(x) = -x2 – mx – 5 contacta al eje x en un solo punto
4.- Los registros de temperatura tomados entre las 0 horas y las 24 horas en una zona rural se
ajustan a la función T(x) = -1/10 (x – 12 )2 +10, donde T es la temperatura en grados
centígrados y x es la hora del día.
¿cuál fue la temp. máxima?
¿a qué hora se registró?
¿cuándo la temp. fue de cero grado?
¿qué temperatura había a las 3 de la tarde?
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Función Cuadrática
EVALUACIÓN
Ejercicio 1:
El gráfico de la función f(x) = ax2 + bx + c, con a > 0, tiene su vértice en el punto ( 1; -2 ). Indica si
el punto ( 2; -4 ) puede pertenecer al gráfico de f y justificalo.
Ejercicio 2:
Sin resolverlas indica qué tipo de raíces tiene cada una de las sig. ecuaciones
3x – x2 + 0.1 = 0
x2 + 4 = 0
3x2 – ½ = 0
Ejercicio 3:
Sea la función g(x) = - 0,5 ( x + 1 )2- 1,5
Determina: las coordenadas del vértice, las raíces reales, la ecuación del eje de simetría, y el punto de
intersección con el eje de ordenadas.
Ejercicio 4:
¿Cuál es la superficie máxima que se puede abarcar con una soga de 100m dispuesta en forma rectangular sobre
el piso?
Ejercicio 5:
Se arroja verticalmente hacia arriba una pelota de tenis imprimiéndole una velocidad de 10 m/seg.
Su altura en metros sobre el suelo, t segundos después de haber sido lanzada, está dada por la función:
h(t) = 1,05 + 10 t – 5 t2
¿desde qué altura fue lanzada?
¿en qué instante y cuál fue la altura máxima?
¿para qué valores de t asciende y para cuáles desciende?
halla el tiempo que demora en llegar al suelo.
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