Solución taller 1 - Universidad Icesi

Universidad Icesi
Departamento de Matemáticas y Estadı́stica
Solución de la primera prueba corta del curso Cálculo de una variable
Grupo: Once
Perı́odo: Inicial del año 2000
Prof: Rubén D. Nieto C.
PUNTO 1. Halle las constantes a y b para que la siguiente función sea continua para todo x:



x≤2
(x − 1)2 + a si




f (x) =
x+b
si
2<x≤3






si
x>3
x2 + x + 1
SOLUCION:
Por definición de f (x), se tiene:
lim f (x) = lim− x + b = 3 + b
x→3−
También se tiene:
x→3
lim f (x) = lim+ x2 + x + 1 = 32 + 3 + 1 = 9 + 3 + 1 = 13
x→3+
x→3
Para que la función f (x) sea continua en el punto x = 3 se debe tener lim− f (x) = lim+ f (x) que, por los anteriores resultados,
x→3
implica:
3 + b = 13
∴
b = 13 − 3
x→3
∴
b = 10
(1)
Por definición de f (x), se tiene:
lim f (x) = lim− (x − 1)2 + a = (2 − 1)2 + a = 12 + a = 1 + a
x→2−
También se tiene:
x→2
lim f (x) = lim+ x + b = 2 + b
x→2+
x→2
Para que la función f (x) sea continua en el punto x = 2 se debe tener lim− f (x) = lim+ f (x) que, por (1) y los anteriores
resultados, implica:
x→2
1 + a = 2 + b = 2 + 10 = 12
∴
a = 12 − 1
x→2
∴
a = 11
La respuesta a este punto es entonces:
Las constantes solicitadas son a = 11 y b = 10
PUNTO 2. Encuentre los puntos de tangente horizontal a la gráfica:
h(x) =
4x2 − 12x + 9
2x + 3
SOLUCION: Tomando f (x) = 4x2 − 12x + 9 y g(x) = 2x + 3 se tiene:
h(x) =
1
f (x)
g(x)
Aplicando la fórmula con la cual se obtiene la derivada de un cociente de funciones resulta:
h0 (x) =
=
f 0 (x)g(x) − g 0 (x)f (x)
(8x − 12)(2x + 3) − 2(4x2 − 12x + 9)
=
2
(2x + 3)2
g(x)
16x2 + 24x − 24x − 36 − 8x2 + 24x − 18
8x2 + 24x − 54
=
(2x + 3)2
(2x + 3)2
Para que la tangente a la gráfica de h(x) sea horizontal, la pendiente, es decir la derivada h0 (x), debe ser nula, por tanto:
h0 (x) =
8x2 + 24x − 54
=0
(2x + 3)2
4x2 + 12x − 27 = 0
∴
∴
8x2 + 24x − 54 = 0 × (2x + 3)2 = 0
(2x + 9)(2x − 3) = 0
∴
∴
2(4x2 + 12x − 27) = 0
2x + 9 = 0 ∨ 2x − 3 = 0
∴
x=−
9
3
∨ x=
2
2
Como las ordenadas de la función h(x) correspondientes a estos valores de x son:
h −
9
2
4 × 81 108
+
+9
4
2
81 + 54 + 9
4(−9/2) − 12(−9/2) + 9
144
=
=
=
=
= −24
2(−9/2) + 3
−9 + 3
−6
9
−2 × + 3
2
2
4(3/2)2 − 12(3/2) + 9
3
=
=
h
2
2(3/2) + 3
4 × 9 36
−
+9
4
2
0
9 − 18 + 9
= =0
=
6
6
3+3
Entonces, la respuesta a este punto es:
Los puntos de tangente horizontal a la gráfica de h(x) son P1 =
9
− , −24
2
y P2 =
en el punto de abscisa x =
π
3
SOLUCION: La ecuación de tal tangente es de la forma:
y − y0 = m(x − x0 )
donde:
x0 =
π
3
y y0 = y
i
x = π/3
=
π
π 1
π
π
× cos = × =
3
3
3
2
6
Como la derivada de la función y es:
y 0 = 1 × cos x + x(− sen x) = cos x − x sen x
entonces la pendiente m viene dada por la evaluación de tal derivada en x = π/3, esto es:
√
√ !
1 π 3
1
π 3
π
=
1−
m = cos π/3 − sen π/3 = −
3
2
3 2
2
3
Por tanto, la respuesta a este punto es:
La ecuación de la tangente a la curva y = x cos x en el punto de abscisa x = π/3 es:
√ !
1
π 3 π
π
1−
x−
y− =
6
2
3
3
2
3
,0
2
PUNTO 3. Halle la ecuación de la tangente a la curva:
y = x cos x
∴