DCyT/AMII/Recuperatorio primer parcial - 02/06/07 Apellido y Nombre: 1 (a) (b) 0,5 0,5 2 3 TEMA A 4 Teorı́a (c) (a) (b) (a) (b) (a) (b) (T1) (T2) 0,5 1 1,2 1,3 1,3 1,2 1 1 0,5 PRÁCTICA 1) Plantear (no calcular) el volumen del sólido obtenido haciendo girar la región rayada alrededor de los ejes: (a) y = 2 ; (b) x = 0 ; (c) x = 5 Región limitada por: Y 2 x = y2 x − 5 = −(y − 1)2 1 x- 2y =0 1 x − 2y = 0 4 5 X x = 2 y^ x - 5 = - (y-1)^2 -1 2) (a) Calcular por regla de L’Hôpital: lim µ 1 ¶ sen (ln x) x−1 (b) Utilizando desarrollos de Taylor apropiados determinar para qué valores de k ∈ N el lı́mite siguiente existe (en tal caso calcular su valor): [ sen (ln x)]k lim x → 1 (x3 − x2 ) (ln x)2 x R1 e dx ¿ CV ó DV? En caso de ser CV, calcular su valor. 3) (a) Dada 0 (ex − 1)(e2x + 1) R ∞ x2 + 1 (b) ¿ CV ó DV? Usar criterio de comparación: 1 √ dx x + x4 x → 1+ 4) Considerar f (x) = x2 + ln(1 − x) alrededor de xo = 0 (a) Calcular aproximadamente f (0, 04) utilizando P3 (x) Acotar el error (explicar cómo acotó) y verificar con calculadora. (b) Analizando Rn (x) hallar n que permita aproximar f (−0, 02) Pn (x) con error menor que 10−6 (explicar cómo acotó). utilizando TEORÍA (T1) Verifique una por una las hipótesis de la regla de L’Hôpital para calcular lim x→0 ln(1 + x) ex/2 − 1 (T2) Sea f (x) una función que posee hasta derivada cuarta continua en R. Sea f (x) = P3 (x) + R3 (x) su desarrollo de Taylor de orden 3 alrededor de xo = 0 Demostrar que f (x) puede expresarse como f (x) = P3 (x) + x3 h(x) para cierta función h(x) tal ) que lim h(x) = 0 (Ayuda: Considere h(x) = R3x(x) 3 x→0