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UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
FACULTAD DE INGENIERÍA
INSTITUTO DE CIENCIAS BASICAS
Álgebra
Guía de Ejercicios Nº1
Trigonometría Plana
TRIGONOMETRÍA PLANA
1.
En cada caso, encuentre los valores de las restantes funciones trigonométricas si:
1
2 13
a)
cos θ = ; θ no está en Q I.
; no está en Q IV.
i) sen θ =
7
13
b)
tan θ = − 5; θ no está en Q IV.
77
j) cos θ =
; no está en Q IV
7
9
c)
sen θ = ; θ no está en Q II.
8
2 5
; no está en Q I.
k) tan θ =
3
15
d)
cos θ = − ; θ no está en Q II.
4
2 10
l) sen θ =
; no está en Q I.
15
; cos θ > 0.
e)
tan θ =
7
8
m) csc θ = 9; θno está en Q I.
5
f)
sen θ = − ; tan θ < 0.
n) cot θ = 2; θno está en Q I.
13
o) sec θ = b; θ está en Q IV.
40
; sen θ > 0.
g)
cos θ = −
41
p) cot θ = a; θ está en Q I.
24
h)
tan θ = −
; sen θ < 0.
7
2.
Califique como falso o verdadero las siguientes afirmaciones, justificando su
respuesta
a) cos 10º < cos 20º
g)
1
= sen 24º
cos ec 66°
h)
sec2 12º =
b) sen 25º < sen 50º
c) sen 45º + sen 45º = sen 90º
d) cot 20º = tan 70º
1
sen 2 78°
e) sen(5º + θ) = cos(85º − θ)
f)
cos 50º =
3.
Si sen α =
4.
Si cos α =
1
cos ec 50°
cos α − tg α
17
, con α∈QII, determine el valor de la expresión
.
9
sec α
sen α + ctg α
4
, con α∈QI, determine el valor de la expresión :
5
cos α ⋅ cos ec α
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1
5.
sen 2 α − 1
1
Considere que 0 < α ≤ π y suponga que si tg α = p entonces
.
=
sen α
2p
Determine el valor de α y el valor de p
.
2 5
2
, encuentre sen ( α + β ) y cos( α - β ).
y cos β =
5
2
6.
Si sen α =
7.
Calcule el valor exacto de las siguientes expresiones:
a) 3sen 45º·cos 30º +
6 cos2 60º − cos3 900
b) 7 cos4 45º − sen 60º·cos 30º + cos 0º
c) 5 3 sen 60º − 7 2 cos 45º + sen4 30º
d) 12sen2 60º −16cos4 30 + sen 30º
e) 20sen4 45º − 6cos2 30º + 3sen 3 30º − sen 0º
f)
10cos3 60º −4sen5 30º − sen2 450
g) 3 2 cos 45º + 16sen6 60º − 18cos 60º
h) cos5 60º + 6 sen 45º - 3 sen3 90º
8.
9.
Encuentre los valores exactos de seno y coseno de los siguientes ángulos, sin utilizar
calculadora:
a) 210º
c) 315º
e) 300º
g) 225º
b) 135º
d)330º
f) 240º
h)480º
Calcule:
a) sen 195º a partir de las funciones de 60º y 135º
b) cos 345º a partir de las funciones de 30º y 315º
c) sen 285º a partir de las funciones de 240º y 45º
d) cos 165º a partir de las funciones de 45º y 120º
10.
Simplifique cada expresión reduciéndola a un solo término:
a) cos 200º cos 160º − sen 200º sen 160º
b) sen θ sen 2θ − cos θ cos 2θ
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2
c) sen
θ
5θ
θ
5θ
cos
+ cos sen
6
6
6
6
d) sen 80º cos 100º + sen 100º cos 80º
11.
Verifique las siguientes igualdades:
a) sen(π + θ) = − sen θ.
b) sen (
7π
+ 4θ ) = − cos 4θ.
2
c) cos(C − D)cosD − sen(C − D)senD = cosC.
d) sen(45º + θ) − cos(225º + θ) =
2 cosθ.
e) sen(30º + θ) + cos(120º + θ) = 0.
A
3
3π
< A < 2π, encuentre los valores exactos de cos
y cos 2A
, con
7
2
2
12.
Si cos A =
13.
Si sen B = −
12
B
3π
, encuentre los valores exactos de sen
, con π < B <
y sen
13
2
2
2B
14.
15.
16.
17.
C
C
5
π C
< < π, encuentre los valores exactos de cos C y cos
= − , con
2
8
2 2
4
π
Sea f la función trigonométrica definida por f(x) = 3 – 2 cos(2x −
).
2
a) Grafique la función f indicando sus principales características.
Si cos
b) Determine los valores de x∈[0, 2π[ tales que f(x) = 2.
π
Dadas las funciones reales f(x) = 1 + 2 sen(2x − ) y g(x) = −sen x
2
a) Determine, si existe, x∈[0, 2π[ tal que f(x) = g(x).
b) Haga un bosquejo de la gráfica de f indicando amplitud, periodo, fase y desfase.
(
Considere la función trigonométrica f (x )=1 + sen x −π 2
1
2
)
a) Grafique la función f.
b) Determine los valores de x∈[0,2π[ tales que f ( x ) =
18.
3
4
Sea f la función trigonométrica definida por f (x )= 2 + 3 cos (x + π )
a) Grafique la función f
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b) Determine los valores de x∈[0,2π[ tales que f ( x ) =
1
2
 x + 2π 
1

Considere la función real f (x ) = 2 cos 
19.

a)
2

3
Grafique la función f indicando período y amplitud
2
= 18 1 + cos x
b) Verifique si se satisface la igualdad f x
[ ( )]
(
)
1
π
1
sen  x + 
2
2
2
a) Bosqueje un gráfico para la función f(x) indicando período, traslación, desfase y
amplitud.
7
b) Resuelva la ecuación f(x) = en [−2π , 2π]
4
Consideremos f(x) = − 2 −
20.
Identidades trigonométricas
21.
¿Cuáles valores de a, b y c hacen de la siguiente ecuación una identidad?
3 + 4cos2 θ + 5cos4 θ = a + bsen2 θ + csen4 θ
22.
Demuestre las siguientes identidades:
a) 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sen2 x
j) tan x + cot x = 2cosec 2x
b)sen4 x − cos4 x = 1 − 2 cos2 x
k)
c) tan2 x − cot2 x = sec2 x − cosec2 x
d)(cosec x − cot x)2 =
e)
cos2 x
1 − cos x
1 + cos x
2
(1 − senx )2
= (sec x + tan x)
f) sen x·cos3x − cos x· sen3x =
g)
1
sen 4x
4
i)
sen 4 x ⋅ cos 2 x − cos 4 x ⋅ sen 2 x
cos 2 − sen 2 x
=tan 2x
csc2 x
= 1−
1
sec 2 x
l)
sen3x cos 3x
−
=2
senx
cos x
m)
sen 2 x 1 − cos x
x
⋅
= tan
1 − cos 2 x cos x
2
n)
tan θ = (sec θ + 1)⋅(csc θ − cot θ)
o)
5 sec A − tan A 5 csc A + 1 82 − 2 cos2 A
+
=
8 sec A + tan A 8 csc A − 1 63 + cos2 A
p)
sec θ(sen θ − 1)(tan θ + sec θ) = −1
q)
(cot θ − tan θ )2 = cot2 θ (2 − sec2θ)2
1 − cos x
x
= tan
senx
2
2 sec x
x
h)
= csc2( )
sec x − 1
2
2
r)
tan 2 θ
1 + csc 2 θ + tan 2 θ
= sen 4θ
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(cot θ − tan θ)2 = cot2 θ(2 − sec2 θ)2
s)
t)
cot 2 A
sen 2B
−
cot 2 B
sen 2 A
2
w)
2 csc θ cot θ + 2 cot 2 θ
csc θ + cot θ − 1
2
= cot A – cot B
u)
1 − cos θ
4
= cot2 θ – 2cscθ cot θ + csc2 θ
1 + cos θ
v)
senB + cos B − 1 1 − senB
=
senB − cos B + 1
cos B
csc θ + cot θ + 1 =
x)
csc6 θ − cot6 θ= 1 + 3csc2 θcot2 θ
y)
(senA senB − cosA cosB)2 +
(senA cosB + cosA senB)2 = 1
1
1
1
1
sec4(5θ) +
sec2(5θ) es idéntica a
tan4(5θ) + tan2(5θ) + C
20
40
20
8
donde C es una constante real; determine el valor de esa constante C.
23.
Demuestre que
24.
Decida si las siguientes igualdades son o no identidades trigonométricas:
a) 10 cos2 11º − 10 sen2 11º
b)
π
π
sen cos
6
6
c) 4sen4 θ − 4sen2 θ = cos2 2θ
3
d)
 1 − cos160° 
6

 = sen 8θ
2


e) 2sen
B
B
cos = sen B
2
2
f)
2sen 3θ − 1 = − cos 6θ.
g)
1 + cos 200°
= cos 80º
2
2
i)
1 − 2cos2 8θ = cos (−16θ )
j)
2(1 + cos 2B) = ± 2cosB
θ
θ
1
− sen2
= cos 2θ
5
5
5
k)
cos2
l)
sen 6A = 2sen 12A⋅cos 12A
m)
cos2
n)
sen2 11B −
θ
θ
θ
= sen2 = cos
6
6
3
1
1
cos 22B =
2
2
h) cos2 6A = cos 12A + sen2 6A
25.
Transforme
a)
cos4 θ en
3
1
1
+ cos 2θ + cos 4θ
8
2
8
b)
sen4 2θ en
3
1
1
+ cos 4θ + cos 8θ
8
2
8
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5
c)
26.
sen2 θ⋅cos2 θ en
1
1
− cos 4θ
8
8
Con las hipótesis de cada caso, determine sen(A + B) y cos(A + B). Compruebe su
resultado utilizando calculadora o computadora y aproxime A, B y A + B.
a)
senA =
1
9
y senB =
, con A y B en Q I
10
10
b)
cos A =
8
3
, con A en Q I y tan B = − , con B en Q II
17
4
c)
senA =
4
7
, con A en Q I y senA = − , con B en Q III
5
25
d) cotA =
15
12
, con A en Q I y cosB = − , con B en Q III
5
17
Funciones trigonométricas inversas
27.
Calcule el valor de:
a)
3
4

sen  arc cos + arc sen 
4
5

1
3

tg  arctg + arc cot g 
2
4


 3 
 1

c) sen  arcsen  −  + arccos 

2
2


 


Resuelva para x ∈ ℜ la ecuación:
 x +1  π
 x −1 
a) arctg 
=
 + arctg 
x +2 4
x +2
b)
27.
b) arccos(x) + arctg(x) =
c)
28.
π
.
2
arcsen ( x ) − arccos( x ) =
Demuestre que Arcsen
1
5
π
6
+ Arcsen
2
5
=
π
2
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Ecuaciones trigonométricas
6
Resuelva las siguientes ecuaciones para i) θ ∈ [0, 2π]
29.
ii) θ ∈ ℜ
a) 2sen2 θ = 1
v) 3sec θ⋅csc θ = csc θ
b) csc2 θ = 4
w) cos 2θ = 1 − sen θ
c) 4cos2 θ = 1
x) sen 4θ −
3 cos 2θ = 0
d) tan θ = 3
y) sen 2θ +
2 sen θ = 0
2
3
e) sen(θ − 7º) =
2
2
f) cos(θ + 10º) =
2
g)
h)
i)
j)
(
(
)(
3) = 0
3 sec θ − 2 )⋅ (2 sen θ + 3 ) = 0
(cos ec θ − 2 ) ⋅ (2 cos θ − 3 ) = 0
(2cos θ − 1)⋅ ( 3 csc θ + 2 ) = 0
2 sen θ − 1 ⋅ 2 cos θ +
k) tan θ = tan θ
2
l)
z) cos 4θ = 7cos 2θ + 8
aa) sen θ = sen
θ
2
bb) cos 2θ − 2cos2 θ = 0
cc) cos 6θ + sen2 3θ = 0
dd) sen 2θ + 2cos2
θ
=1
2
ee) sen2 θ = 6cos θ + 6
ff)
2cos2 θ + 7sen θ = 5
gg) tan θ + cot θ = 2csc θ
csc3 θ = 2csc θ
hh) sen2 θ = 3cos2 θ
m) 2cosθ⋅senθ + 2cosθ + senθ + 1 =
0
ii)
cos 3θ + cos θ = cos 2θ
n) 2cos2 θ − cos θ = 1
jj)
4tan θ =
o) 2sen2 θ + 3sen θ + 1 = 0
kk) 3sec 2θ + 2sen2 θ + 1 = 0
p) 2cos2 θ − 9cos θ − 5 = 0
ll)
q) cos θ =
3 sen θ
r) 2sen θ⋅tan θ −
3 tan θ = 0
s) 6sec2 θ + 5sec θ + 1 = 0
t)
2 sen
2sen2 θ + 7cos θ − 5 = 0
u) cos θ + sec θ = 1,9
mm) tan(
3 sec2 θ
θ
+ 1 − cos θ =
2
2
π
− θ) = 1 − sen 2θ
4
nn) cot θ + sen2 θ − cos2 θ⋅cot θ = 0
oo) 3 2 cos
θ
+ 1 + cos θ = − 6
2
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Resolución de triángulos
30.
La medida del ángulo mayor de un triángulo es el doble de la medida del ángulo7
menor, ¿Es la medida del lado mayor el doble de la medida del lado menor? Obtenga
la medida de c, si α = 40,4º, γ = 81,0º y a = 100.
31.
Se desea determinar la distancia entre dos puntos A y B que se encuentran en las
orillas opuestas de un río. Se traza un segmento de recta AC de una longitud de 240
metros y se encuentra que los ángulos BAC y ACB miden 63º 20’ y 54º 10’,
respectivamente. Calcule la distancia aproximada entre A y B.
32.
Un topógrafo elige un punto C a 375 metros de A y 530 metros de B, para determinar
la distancia entre A y B. Determine la distancia requerida sabiendo que el ángulo
BAC mide 49º 30’.
33.
Un poste de telégrafos, que está inclinado en un ángulo de 12º con respecto al sol, da
una sombra sobre la tierra de 10 metros de longitud, cuando el ángulo de elevación del
sol es de 64º. Obtenga la longitud del poste.
34.
Una carretera recta forma un ángulo de 15º con la horizontal. Un poste vertical, que se
encuentra en la orilla de la carretera, produce una sombra sobre ésta de 75 metros de
longitud, cuando el ángulo de elevación del sol es de 57º. Determine la longitud del
poste.
35.
El ángulo de una de las esquinas de un terreno triangular mide 73º 40’. Si los lados
entre los cuales se encuentra dicho ángulo, tienen una longitud de 175 y 150 metros,
determine la longitud del tercero de los lados.
36.
Un poste vertical sobre una ladera, mide 40 metros de alto y forma un ángulo de 17º
con el horizonte. Encuentre la longitud mínima que debe tener una cuerda, que parte
de la punta del poste, para que alcance un punto a 72 metros de la base del poste.
37.
Demuestre que para todo triángulo ABC, se cumple.
a) a2 + b2 + c2 = 2⋅(bc⋅cos α + ac⋅cos β + ab⋅cos γ)
b)
cos α cos β cos γ a 2 + b 2 + c 2
+
+
=
a
b
c
2 abc
38.
Desde un punto sobre el piso localizado a 120 metros de la Torre Eiffel, se observa
que el ángulo de elevación de la punta de la torre es 68,2º. ¿Qué altura tiene la torre?.
39.
Desde un punto localizado en el mismo plano que la parte superior de las cataratas de
Bridalveil en el parque nacional de Yosemite y a una distancia de 234 metros, el
ángulo de depresión del extremo inferior de las cataratas es de 41,5º. Encuentre la
altura de las cataratas de Bridalveil.
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40.
Un helicóptero vuela a 130 metros sobre uno de los extremos de un puente que se
tiende sobre el río Missouri en la ciudad de Jefferson. El ángulo de depresión del otro
extremo del puente visto desde el helicóptero es de 32,0º. ¿Qué longitud tiene el
puente?
41.
El ángulo de elevación de la parte más alta de la torre del City Hall de Filadelfia,8
tomada desde un punto al nivel del piso y a 100 metros de su base es de 61,3º ¿Qué
altura tiene el edificio?
42.
Encuentre el radio de una circunferencia para la cual una cuerda de 10,8cm.
corresponde a un ángulo de 38,4º en su centro.
43.
Un cercado de altura h está localizado en posición este – oeste. El ángulo de elevación
del sol es θ y su orientación es SW. Obtenga el ancho de la sombra que proyecta el
cercado al nivel del piso.
44.
Desde la cima de un peñasco al borde de un lago, se observa una boya con un ángulo
de depresión θ y una segunda boya más cercana al peñasco, está a d metros de la base
de éste. Demuestre que la distancia entre las boyas es d(tan θ⋅cot θ − 1) metros.
45.
Un helicóptero sobrevuela directamente sobre un camino que va de este a oeste al
nivel del suelo. Mirando hacia el este, el piloto ve un bache en el camino, con un
ángulo de depresión θ. Mirando hacia el oeste, observa otro bache en el camino con
un ángulo de depresión ∅. Si los baches están separados por “a” metros, determine a
qué altura vuela el helicóptero.
46.
Un observador en A mira directamente al norte y ve un meteoro con un ángulo de
elevación de 55º. En el mismo instante, otro observador, localizado 10 Km. al oeste de
A, ve el mismo meteoro y ubica su posición como N 50º E, pero olvida anotar el
ángulo de elevación. Encuentre la altura del meteoro y la distancia desde el punto A al
meteoro.
47.
Desde una cabaña C ubicada en la cima de una colina costera ubicada a 120 m. sobre
el nivel del mar, se observa un velero S detenido en la bahía. Obtenga la longitud que
recorre la luz de un foco que se dirige desde la cabaña hasta el velero con un ángulo
de depresión de 30º.
48.
Sobre un terreno plano ha crecido un árbol inclinado hacia su derecha. Desde la base P
del árbol, un observador se desplaza s unidades hacia la izquierda llegando al punto A y
continúa t unidades en dicha dirección hasta ubicarse en un punto B. Si desde los puntos
A y B observa la cúspide del árbol con ángulos de elevación α y β, respectivamente,
determine la longitud del árbol y su ángulo de inclinación.
49.
Sea ABC un triángulo equilátero y P un punto interior de él. Si las distancias desde P
a los tres vértices son 1m, 1m y 2m, determine el área del triángulo.
50.
Desde el pie de un poste, el ángulo de elevación a la punta de un campanario mide αo;
desde la parte superior del poste que tiene “m metros” de altura, el ángulo de
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9
elevación a la punta de dicho campanario mide βo. Si el pie del poste y de la torre
están en la misma recta horizontal, compruebe que la altura h de la torre
h=
51.
m tg α
tg α − tg β
Un asta de bandera está enclavada verticalmente en lo alto de un edificio. Desde m
metros de distancia, los ángulos de elevación de la punta del asta y la parte superior
del edificio son 2α y α respectivamente. Demuestre que el asta de bandera mide:
h=
m tg α (1 + tg 2 α )
1 − tg 2 α
52.
Desde la cumbre H de un cerro de 100m. de altura se observa un campamento A con un
ángulo de depresión de 45º y una aldea B con un ángulo de depresión de 30º; además, el
ángulo entre las visuales a los puntos A y B es de 120º. Determine la distancia entre A y
B.
53.
En los extremos de una calle existen una torre y una iglesia y entre sus bases hay una
distancia de 200m. Desde el punto equidistante a ambos edificios se miden sus ángulos
de elevación y resulta que suman 90º. Además se supo que desde el pie de la torre el
ángulo de elevación de la iglesia mide θº mientras que desde el pie de la iglesia el
ángulo de elevación de la torre mide (2θ)º. Calcule las alturas de ambos edificios.
1.-
Resultados – Trigonometría Plana
−4 3
64 − 9 17
; tan(θ ) = −4 3
a) sen(θ ) =
3.7
81
π
7
15
5.- α = ; p = 3
c) cos(θ ) =
; tan(θ ) =
3
8
15
7.- a) 6
8
15
e) cos(θ ) = ; sen(θ ) = ±
9
17
17
c)
16
9
9
g) sen(θ ) = ; tan(θ ) = −
7
41
40
e)
8
3 13
2
; tan(θ ) = ±
i) cos(θ ) = ±
3
13
3
g)
4
2
3 5
11.a)
Verdadero
k) sen(θ ) = − ; cos(θ ) = −
7
7
c) Verdadero
1
4 5
e) Verdadero
m) sen(θ ) = ; cos(θ ) =
9
9
120
3 13
B
; sen  = ±
13.- sen(2 B) =
1
169
13
2
o) sen(θ ) = − 1 − b 2 ; cos(θ ) =
b
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5π
13π
; x2 =
12
12
π
5π
17.- b) x1 = ; x 2 =
3
3
19.- No se verifica
Identidades Trigonométricas
21.- a = 12; b = −14; c = 5
Funciones Trigonométricas Inversas
3 7 3
+
27.- a)
20 5
Ecuaciones Trigonométricas
15.- b) x1 =
29.- a) θ =
c) θ =
π
4
π
3
127π
67π
;θ 2 =
e) θ1 =
180
180
5π
g) θ =
6
i) θ =
π
6
k) θ1 =
23.- c =
3
40
b) 0
2π
3
m) θ =
o) θ1 = −
q) θ =
s) ∃/
u) ∃/
π
π
2
;θ 2 = −
π
6
3
w) θ1 =
π
6
;θ 2 =
5π
6
π
;θ 2 = 0
4
Resolución de Triángulos
31.- AB = 219,3588 metros
35.- c = 195,85 metros
39.- altura = 207,0257 metros
41.- altura = 182,6537 metros
47.- dis tan cia = 240 metros
53.- iglesia = 150mts. ; torre =
200
mts.
3
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Universidad Diego Portales – Ingeniería Civil
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