Primera parte: múltiple opción. Total: 56 puntos.

Universidad de la República
Facultad de Ingenierı́a - IMERL
Geometrı́a y Álgebra Lineal 1
Primer semestre 2016
Examen
Miércoles 13 de Julio 2016
Número de Examen
Cédula
Nombre y Apellido
En todo el examen, el espacio de los polinomios de grado menor o igual que n con
coeficientes reales se nota como Rn [x].
Primera parte: múltiple opción. Total: 56 puntos.
En la tabla siguiente debés indicar tu vector de respuestas a los ejercicios 1 a 7.
Respuesta correcta: 8 puntos, respuesta incorrecta: −2 puntos, no responde: 0 punto.
RESPUESTAS MO
1
2
3
4
5
6
7
PARA USO DOCENTE.
Ej 1(a)
Ej 1(b)
Ej 1(c)
Ej 2(a)
Ej 2(b)
Ej 2(c)
Total
Total múltiple opción:
Total examen:
1. Sean A = {v1 , . . . , vn } y B = {w1 , . . . , wn } dos bases de un espacio vectorial V . Considere las
siguientes afirmaciones:
j=i
P
(I) La transformación lineal determinada por T (vi ) =
wj para todo 1 ≤ i ≤ n es un
j=1
isomorfirmo.
(II) Dada una transformación lineal T : V → V entonces A ((T ))A es semejante a
(III) El conjunto {v1 + w1 , v2 + w2 , . . . , vn + wn } es una base de V .
Indique la opción correcta:
a) sólo (II) y (III) son verdaderas.
b) sólo (I) y (II) son verdaderas.
c) sólo (I) y (III) son verdaderas.
d ) sólo (II) es verdadera.
e) sólo (III) es verdadera.
1
B ((T ))B .
2
2. Sea la recta r dada por la intersección de los planos 2x + y = 5 y y + z = 1. Consideremos
el plano π definido por r y el punto P = (1, 1, 1). Entonces la intersección de π con el eje de
coordenadas de las x es:
a) el punto (7/2, 0, 0).
b) el punto (−7/2, 0, 0).
c) el punto (7, 0, 0).
d ) el eje de las x.
e) ninguna de las opciones anteriores es correcta.
3 , A = {x2 , x, 1} base de R [x] y B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} base de
3. Sea T : R2 [x] → R
2

1
2 α


R3 con B ((T ))A = α −1 3 con α ∈ R.
0
1 2
Para el valor más grande de α que hace que T no sea invertible se cumple que:
a) {−x2 − 2x + 1} es base de N(T) y {(1, 5, 0), (2, −1, 1)} es base de Im(T).
b) {−x2 − 2x + 1} es base de N(T) y {(6, 6, 1), (2, 1, 2)} es base de Im(T).
c) {x2 − 2x − 1} es base de N(T) y {(1, 5, 0), (2, −1, 1)} es base de Im(T).
d ) {x2 − 2x − 1} es base de N(T) y {(6, 6, 1), (2, 1, 2)} es base de Im(T).
e) {−x2 − 2x − 1} es base de N(T) y {(6, 6, 1), (2, 1, 2)} es base de Im(T).
4. Sean A y B dos matrices reales n × n tal que AB − A2 = O siendo O la matriz nula de tamaño
n × n. Considere las siguientes afirmaciones:
(I) Si A 6= O, entonces A = B.
(II) Si B 6= A, entonces A = O.
(III) Si A es invertible, entonces A = B.
Indique la opción correcta:
a) Todas son verdaderas.
b) La (II) y la (III) son verdaderas.
c) Sólo la (III) es verdadera.
d ) Sólo (I) es verdadera.
e) Sólo la (II) es verdadera.




a b c
g + 2h 2h 2i − g




5. Sean A =  d e f  y B =  d + 2e 2e 2f − d .
g h i
a + 2b 2b 2c − a
Sabiendo que det(A) = 4, entonces det(2B) vale:
a) 32.
b) 64.
c) −128.
d ) 128.
e) −64.
3
6. Sea la transformación lineal T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (3y + z, 4x + 6y + 2z, 8x).
La distancia
de A = (1, 2, 3) a S = Im(T ) es:
r
95
a)
.
r7
11
.
b)
r 21
3
.
c)
7
d ) 0 ya que A pertence a S.
1
e) .
7
7. Se consideran los subespacios S1 = {p ∈ R3 [x] : p00 (0) = 0 y p(−1) = 0},
S2 = {p ∈ R3 [x] : p(1) = 0 y p(0) = 0} y S3 = {p ∈ R3 [x] : p0 (0) = 0}. Entonces:
a) dim(S2 ) = 2, dim(S3 ) = 1, dim(S1 ∩ S2 ) = dim(S1 ∩ S3 ) = 1.
b) dim(S3 ) = 1, S1 ∩ S2 = {o}, dim(S1 ∩ S3 ) = dim(S2 ∩ S3 ) = 1.
c) dim(S3 ) = 3, dim(S1 ∩ S2 ) = dim(S1 ∩ S3 ) = dim(S2 ∩ S3 ) = 1.
d ) dim(S3 ) = 3, S1 ∩ S2 = {o}, dim(S1 ∩ S3 ) = dim(S2 ∩ S3 ) = 1.
e) dim(S2 ) = 2, S1 ∩ S3 = {o} y dim(S1 ∩ S2 ) = dim(S2 ∩ S3 ) = 1.
Segunda parte: problemas de desarrollo. Total: 44 puntos.
Ejercicio 1 (22 puntos)
a) Sea A = {u1 , . . . , un } un subconjunto de un espacio vectorial V . Defina que A sea linealmente independiente (LI).
b) Pruebe que A es linealmente dependiente si y sólo si algún vector de A se escribe como
combinación lineal de los demás.
c) Sea B = {u, v, w} un conjunto LI. Estudie la dependencia lineal de C = {u − 2v, u + v, w}.
Justifique su respuesta.
Ejercicio 2 (22 puntos)
a) Sea T : V → W una transformación lineal. Defina que T sea inyectiva.
b) Pruebe que T : V → W es inyectiva si y sólo si N (T ) = {o}.
c) ¿Existe T : R4 [x] → R4 lineal e inyectiva? Justifique su respuesta.