álgebra lineal avanzada

Transformaciones lineales
Definición
Sean V y W dos espacios vectoriales sobre F.
Una transformación lineal T de V en W es una función T : V → W tal
que:
T (cuu + v ) = cT (uu ) + T (vv ) para todo u , v ∈ V , c ∈ F.
En el caso V = W , es decir T : V → V , diremos que T es operador
lineal. En el caso V = F, es decir T : V → F, diremos que T es un (o
una) funcional lineal.
Observaciones
1
Para toda transformación lineal T se cumple T (0V ) = 0W .
2
Si V = R, y f (x) = ax + b, f sólo es lineal si b = 0.
T (c1v 1 + · · · + cnv n ) = c1 T (vv 1 ) + · · · + cn T (vv n ).
3
Teorema
Sean V y W dos espacios vectoriales sobre F, siendo V de dimensión
w 1 , . . . , w n } un
finita (dim V < ∞). Sea {vv 1 , . . . , v n } una base de V y {w
conjunto de n vectores en W . Entonces existe una única transformación
lineal T de V en W tal que
T (vv 1 ) = w 1 , . . . , T (vv n ) = w n .
Definición
Sea T una transformación lineal de V en W . Entonces:
• El núcleo (kernel en inglés) de T es el subespacio de V definido por
Nu(T ) = {vv ∈ V : T (vv ) = 0}, (Ker (T ) en inglés).
• La imagen de T es el subespacio de W definido por
w ∈ W : w = T (vv ), v ∈ V }.
Im(T ) = {w
• Si dim V < ∞, definimos la nulidad de T como la dimensión de
Nu(T ) y el rango de T como la dimensión de Im(T ).
Teorema
Si V es de dimensión finita y T : V → W lineal, entonces
Rango(T ) + Nulidad(T ) = dim(V )
Definiciones
• T es no singular si Nu(T ) = 0, o sea: T (vv ) = 0 ⇐⇒ v = 0.
• T es singular si no es no singular.
• T es suryectiva (o sobreyectiva, o sobre) si Im(T ) = W :
∀ w ∈ W , ∃ v ∈ V tal que w = T (vv ).
• T es inyectiva (o 1-1, o uno a uno) si:
T (x) = T (y ) =⇒ x = y (o equiv., x 6= y =⇒ T (x) 6= T (y )).
• T es biyectiva si es inyectiva y suryectiva.
Observación
T lineal es inyectiva si y sólo si T es no singular (Nu(T ) = 0).
Composición de transformaciones lineales
Sean T : V → W y U : W → Z transformaciones lineales.
Entonces la composición UT = U ◦ T : V → Z es la transformación
lineal definida por
UT (vv ) = U(T (vv )).
Definición (Transformación lineal inversible e isomorfismo)
T : V → W lineal es inversible si existe T −1 : W → V lineal tal que
TT −1 = IW y T −1 T = IV .
En este caso diremos que T es un isomorfismo entre V y W ,
y que V y W son isomorfos.
Teorema
Sea T : V → W lineal. Si T es biyectiva, entonces T es inversible y
T −1 : W → V es también lineal.
Teorema
T es no singular si y sólo si lleva conjuntos lin. independientes de V
sobre conjuntos lin. independientes de W .
Teorema
Sean V y W espacios vectoriales de dim < ∞ tales que dim V = dim W ,
y T : V → W lineal.
Entonces son equivalentes:
• T es isomorfismo.
• T es no singular.
• T es suryectiva.
Observaciones
• El teorema no se cumple si dim V 6= dim W . Más aún,
• Si dim V < dim W , T no puede ser suryectiva.
• Si dim V > dim W , T no puede ser no singular.
• En las condiciones del teorema, si T es un isomorfismo entonces:
{vv 1 , . . . , v n } base de V =⇒ {T (vv 1 ), . . . , T (vv n )} base de W .
Teorema
Si dim V = n, entonces V es isomorfo a Fn .