Algebra Lineal XIV: Espacio Nulo y Rango de una Transformación

Algebra Lineal XIV: Espacio Nulo y Rango de una
Transformación Lineal.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica
Universidad de Guanajuato
email: [email protected]
En estas notas, se presentan algunos de los conceptos mas importantes para el análisis de transformaciones
lineales.
1.
Espacio Nulo de una Transformación Lineal.
En esta sección definiremos el espacio nulo, también conocido como kernel o núcleo de una
transformación lineal.
Definición del espacio nulo de una transformación lineal. Sea T una transformación lineal de
un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V , ambos definidos sobre un campo K. El espacio
nulo de la transformación lineal, T , denotada NT o ker(T ), se define como NT ⊆ V , tal que
NT = {v ∈ V|T (v ) = 0 ∈ V }
En simples palabras, el espacio nulo de una transformación lineal es el conjunto de todos los vectores
de V cuya imagen es el vector 0 ∈ V .
Teorema. El espacio nulo de la transformación lineal, T , es un subespacio de V.
Prueba: Es suficiente probar que el espacio nulo es un subconjunto cerrado respecto a la adición y a
la multiplicación por escalar. Suponga que v1 , v2 ∈ NT y λ ∈ K, entonces
1. Cerrado respecto a la adición. Considere
T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) = 0 + 0 = 0
Por lo tanto v1 + v2 ∈ NT , y el espacio nulo está cerrado respecto a la adición.
2. Cerrado respecto a la multiplicación por escalar. Considere
T (λv1 ) = λT (v1 ) = λ0 = 0.
Por lo tanto λv1 ∈ NT , y el espacio nulo está cerrado respecto a la multiplicación por escalar.
Por lo tanto NT ≤ V.
Definición de la Nulidad de una Transformación Lineal. La dimensión del espacio nulo de una
transformación lineal T , se denomina la nulidad de T y se denota por ν(T ).
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Figura 1: Representación Gráfica del Espacio Nulo y Rango de una Transformación Lineal.
Debemos recordar que aplicando la definición del rango de una trasformación, función o mapeo a
una transformación lineal T ,que se denomina RT , se tiene que
RT = {v ∈ V | T (v) = v para algún v ∈ V}.
Teorema. El rango de una transformación lineal T , RT , es un subespacio de V .
Prueba: Nuevamente es suficiente probar que el conjunto está cerrado respecto a la adición y a la
multiplicación por escalar. Suponga que v1 , v2 ∈ RT y λ ∈ K, entonces
1. Cerrado respecto a la adición. Puesto que v1 , v2 ∈ RT existen v1 , v2 ∈ V tales que
T (v1 ) = v1
y
T (v2 ) = v2
Puesto que V es un espacio vectorial, v1 + v2 ∈ V y
T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) = v1 + v2 .
Por lo tanto, v1 + v2 ∈ RT y RT está cerrado respecto a adición.
2. Cerrado respecto a la multiplicación por escalar. Puesto que V es un espacio vectorial, λv1 ∈ V y
T (λv1 ) = λT (v1 ) = λv1 .
Por lo tanto, λv1 ∈ RT y RT está cerrado respecto a la multiplicación por escalar.
Definición del Rango de una Transformación Lineal. La dimensión del rango de una transformación
lineal T , se denomina la rango de T y se denota por p(T ).
Teorema. Una transformación lineal T : V → V es inyectiva si, y solo si, NT es exclusivamente el
vector {0}.
Prueba: Suponga que T es inyectiva, entonces T (v1 ) = T (v2 ) implica que v1 = v2 . Sea v ∈ NT
arbitrario, entonces T (v ) = 0 puesto que T (0) = 0, se tiene que
T (v) = T (0)
por lo tanto v = 0
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Se concluye pues, que NT = {0}.
Suponga que NT = {0} entonces si
T (v1 ) = T (v2 ) ⇒ T (v1 − v2 ) = 0.
Por lo tanto, v1 − v2 ∈ NT , pero puesto que NT = {0} entonces
v1 − v2 = 0 ⇒ v1 = v2
y la transformación lineal es inyectiva.
Teorema. Sea T : V → V una transformación lineal inyectiva, entonces si {v1 , v2 , . . . , vn } es
linealmente independiente entonces {T (v1 ), T (v2 ), . . . , T (vn )} es linealmente independiente. En otras
palabras, una transformación lineal inyectiva preserva la independencia lineal de los subconjuntos.
Prueba: Considere la combinación lineal
0 = λ1 T (v1 ) + λ2 T (v2 ) + . . . + λn T (vn ) = T (λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn ).
Por lo tanto λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn ∈ NT = {0}, sin embargo, si {v1 , v2 , . . . , vn } es linealmente
independiente, la única solución posible es la trivial,
λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.
Por lo tanto el conjunto {T (v1 ), T (v2 ), . . . , T (vn )} es linealmente independiente.
Corolario. Sea T : V → V una transformación lineal inyectiva, entonces si B = {v1 , v2 , . . . , vn } es
una base de V , entonces, T (B) = {T (v1 ), T (v2 ), . . . , T (vn )} es una base de RT .
Prueba: Por el teorema anterior T (B) = {T (v1 ), T (v2 ), . . . , T (vn )} es linealmente independiente, por
lo tanto, es suficiente probar que T (B) genera a RT .
Sea v ∈ V un elemento arbitrario del rango de T , entonces
v = T (v ) donde v ∈ V
es arbitrario
Entonces
v = T (v ) = T (λ1v1 + λ2v2 + · · · + λnvn ) = λ1 T (v1 ) + λ2 T (v2 ) + · · · + λn T (vn ).
Por lo tanto T (B) genera a RT y T (B) es una base para RT .
Corolario. Sea T : V → V una transformación lineal inyectiva, entonces ρ(T ) = dim(RT ) =
dim(V).
Prueba: Por el corolario anterior T (B) = {T (v1 ), T (v2 ), . . . , T (vn )} es una base de RT , entonces
ρ(T ) = dim(RT ) = dim(V).
Teorema. Sea T una transformación lineal de un espacio vectorial finito dimensional V sobre otro
espacio vectorial V , ambos definidos sobre un campo K. Sea {v1 , v2 , . . . , vq } una base para el espacio
nulo de T y {v1 , v2 , . . . , vq , vq+1 , . . . , vn } sea una base de V. Entonces {T (vq+1 ), . . . , T (vn )} es una base
para RT .
Prueba: Por las suposiciones del teorema, ν(T ) = q, si q = 0, entonces T es inyectiva y este teorema
se reduce al primero de los dos corolarios anteriores. Suponga, pues, que q ≥ 1, que {v1 , v2 , . . . , vq } es
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una base para el espacio nulo de T y que {v1 , v2 , . . . , vq , vq+1 , . . . , vn } es una base de V.
Sea v ∈ V arbitrario, entonces T (v) es un elemento arbitrario del RT dado por
T (v ) =
T (λ1v1 + λ2v2 + · · · + λq vq + λq+1vq+1 + · · · + λnvn )
=
λ1 T (v1 ) + λ2 T (v2 ) + · · · + λq T (vq ) + λq+1 T (vq+1 ) + · · · + λn T (vn )
=
λq+1 T (vq+1 ) + · · · + λn T (vn ).
Por lo tanto {T (vq+1 ), . . . , T (vn )} genera RT , mostraremos ahora que este conjunto es linealmente
independiente. Suponga, por contradicción, que existen escalares λq+1 , . . . , λn no todos iguales que 0, tal
que
0 = λq+1 T (vq+1 ) + · · · + λn T (vn ) = T (λq+1vq+1 + · · · + λnvn )
Por lo tanto λq+1vq+1 + · · · + λnvn ∈ NT . De aquı́ que
λq+1vq+1 + . . . + λnvn = λ1v1 + λ2v2 + . . . + λq vq
λ1v1 + λ2v2 + . . . + λq vq − λq+1vq+1 − . . . − λnvn = 0.
Por lo tanto, {v1 , v2 , . . . , vq , vq+1 , · · · , vn } es linealmente dependiente y no puede ser una base para V,
una contradicción de las suposiciones iniciales.
Corolario. Sea V un espacio vectorial finito-dimensional y T una transformación lineal de un espacio
vectorial V sobre otro espacio vectorial V . Entonces
ρ(T ) + ν(T ) = dimV
Prueba: Por el teorema anterior n = dimV, q = ν(T ) y n − q = ρ(T ) por lo tanto
dim V = n = q + (n − q) = ν(T ) + ρ(T ).
A partir de estos resultados, es posible obtener algunos resultados respecto a transformaciones lineales
inyectivas y sobreyectivas.
Teorema. Sea T : V → V una transformación lineal tal que dim V < dim V , entonces T no puede
ser sobreyectiva.
Prueba: Si T es sobreyectiva ρ(T ) = dim V y ν(T ) ≥ 0, entonces
dim V = ν(T ) + ρ(T ) o
Por lo tanto
ρ(T ) = dim V − ν(T )
dim V = ρ(T ) = dim V − ν(T ) o
dim V ≥ dim V
Teorema. Sea T : V → V una transformación lineal tal que dim V > dim V , entonces T no puede
ser inyectiva.
Prueba: T es inyectiva si y solo si ν(T ) = 0, además ρ(T ) ≤ dim V entonces
dim V = ν(T ) + ρ(T ) = 0 + ρ(T ) = ρ(T ) ≤ dim V
Teorema. Sea T : V → V una transformación lineal tal que dim V = dim V , entonces T no puede
ser biyectiva.
Prueba: Si dim V > dim V , entonces T no puede ser inyectiva. Si dim V < dim V entonces T no
puede ser sobreyectiva.
Teorema. Sean S : V → V y T : V → V dos transformaciones lineales tales que la composición
T S : V → V está definida, entonces
ρ(T S) + dim(RS ∩ NT ) = ρ(S).
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Figura 2: Representación Gráfica de una Transformación Compuesta.
Prueba. Sea T la restricción de la transformación lineal T sobre el rango de S, es decir
T : V → RS < V T (v ) = T (v ) ∀v ∈ RS
Puede probarse que T es una transformación lineal.
Entonces, aplicando el teorema anterior a la transformación lineal T , se tiene que
ρ(T ) + ν(T ) = dim(RS ) = ρ(S).
Puede probarse que
RT = RT S
por lo que ρ(T ) = ρ(T S)
De manera semejante, el espacio nulo de T está definido por
NT = {v |v ∈ RS , v ∈ NT } = RS ∩ NT
Por lo tanto, se tiene que
ρ(T S) + dim(RS ∩ NT ) = ρ(S).
2.
Ejercicios.
Problema 1. Para cada una de las siguientes transformaciones, T , pruebe que son lineales, y determine
el espacio nulo y rango de la transformación lineal.
1. T : R2 → R2
T (x1 , x2 ) = (x1 + x2 , −x2 )
2. T : R2 → R2
T (x1 , x2 ) = (x1 , 0)
3. T : R3 → R3
T (x1 , x2 , x3 ) = (x2 − x3 , 2x1 + x2 , 0).
4. T : R3 → R
T (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x2 + 2x3 ).
5. T : R2 → R3
T (x1 , x2 ) = (x1 , x2 , x1 + x2 ).
6. T : R3 → R2
T (x1 , x2 , x3 ) = (x3 , x1 + x2 ).
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Problema 2. Para cada una de las siguientes transformaciones, T , pruebe que son lineales, y determine
el espacio nulo y rango de la transformación lineal.
1. T : P3 → R4
T (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ) = (a0 − a1 , a2 , a3 , 0)
a1
a1 + a2
2. T : R4 → M2×2 T (a1 , a2 , a3 , a4 ) =
a2 + a3 a1 + a4
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