Solución

Universidad de la República
Facultad de Ingenierı́a - IMERL
Geometrı́a y Álgebra Lineal 1
Solución Examen 31 de enero de 2012
1. La ecuación implı́cita del plano π es
20x + 15y − 29z = 0
2. El punto P ∈ r más próximo de r0 es P = (1, 1, 1).
3. Los conjuntos (en el orden de la letra del examen) son L.I., L.I. y L.D..
4. a) Sea (V, K, +, .) un espacio vectorial. Si S1 y S2 son subespacios vectoriales, probar que
S1 ∩ S2 es un subespacio vectorial.
Ver Teórico.
b) Sea S1 = {p ∈ P3 (R)/p(0) = p0 (1) = 0} y S2 = {p ∈ P3 (R)/p00 (0) = 0}. Hallar una base
de S1 ∩ S2 y otra de S1 + S2 . Justificar.
Sea p(x) = ax3 + bx2 + cx + d un polinomio, entonces p ∈ S1 si y solo si p(x) =
ax3 + bx2 − (3a + 2b)x entonces S1 = [x3 − 3x, x2 − 2x] y ese generador es una base.
Por otro lado, p ∈ S2 si y solo si b = 0, de donde S2 = [x3 , x, 1] (y ese generador es base).
Para la intersección vemos que p ∈ S1 ∩ S2 si y solo si d = 0, b = 0 y c = −3a − 2b, de
donde S1 ∩ S2 = [x3 − 3x]. La suma S1 + S2 es todo el espacio P3 . Se puede probar viendo
que S1 + S2 está generado por la unión de las bases de S1 y S2 , ese generador es L.D. y
además genera a todo el espacio.
c)
i) Definir T : P 3 → P 3 lineal tal que ker(T ) = S1 ∩ S2 . ¿Se puede hacer de modo que
resulte invertible? Justificar la respuesta.
Se puede definir de la siguiente forma: se considera la siguiente base de P 3 : {x3 −
3x, x2 , x, 1} y se define T (x3 − 3x) = 0, T (x2 ) = x2 , T (x) = x, T (1) = 1 y luego
por linealidad. Para esa transformación ker(T ) = S1 ∩ S2 . No se puede definir una T
que cumpla lo anterior y sea invertible, ya que no es inyectiva, puesto que ker(T ) 6= {0}.
ii) ¿Se puede definir de modo que ker(T ) = S1 y Im(T ) = S2 ? Justificar la respuesta.
No se puede definir una T que cumpla lo anterior por el teorema de las dimensiones,
ya que dim P 3 = dim ker(T ) + dim Im(T ), pero dim S1 + dim S2 = 5 y dim P 3 = 4.
5. Sea T : P2 → M2×2 (R) una transformación lineal tal que T (x + 1) =
!
!
3
0
1
2
T (x2 + 1) =
y T ((x + 1)2 ) =
.
0 3
−2 1
1
2 1
−1 2
!
,
2
a) Hallar T (ax2 + bx + c).
Escribimos el polinomio ax2 + bx + c como α(x + 1) + β(x2 + 1) + γ(x + 1)2 , de donde
a−b+c
a+b−c
α = c − a, β =
,γ=
y
2
2
a−b+c
a+b−c
T (ax2 + bx + c) = (c − a)T (x + 1) +
T (x2 + 1) +
T ((x + 1)2 ),
2
2
de donde
!
−b + 3c
b
2
T (ax + bx + c) =
.
−b
−b + 3c
b) Hallar la imagen de T y una base de la misma.
"
Im(T ) =
0 1
−1 0
!
,
1 0
0 1
!#
c) Probar que T no es inyectiva.
De la definición de la transformación tenemos que Ker(T ) = [x2 ], de donde no es inyectiva.
6. Se considera T : R3 → R3 lineal tal que T (1, 0, 0) = (1, 1, 0), T (1, 0, −1) = (1, 0, 1) y
T (0, 1, 1) = (a, 1, −a) con a ∈ R.
a) Indicar justificando, si T esta bien definida (es decir si existe una única T lineal que cumpla
las condiciones de arriba.) Discutiendo según valores de a ∈ R.
Está bien definida porque está definida en la base B = {(1, 0, 0), (1, 0, −1), (0, 1, 1)}.
b) De los valores de a para los cuales T esté bien definida indicar, justificando, para cuáles
T es invertible.
Sea C la base canónica de R3 . Tenemos que


1 1
a


1 ,
C (T )B =  1 0
0 1 −a
y haciendo el cambio de base


1
a
0


A = C (T )C =  1
0
1 .
0 1 − a −1
Como det(A) = 2a − 1 tenemso que T es invertible si y solo si a 6= 1/2.
c) Para a = 1 calcular la matriz asociada en la base canónica a la inversa de T .

A−1

0 1
1


= C (T −1 )C =  1 −1 −1  .
0 0 −1
3