Examen parcial 14-abril-2010. - Universidad Autónoma de Madrid

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE MADRID.
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES.
EXAMEN PARCIAL DE ÁLGEBRA LINEAL. GRADO 1º ECONOMÍA. CURSO 2009-2010.
14 DE ABRIL DE 2010
CUESTIONES:
CADA CUESTIÓN VALE : 0,5 PUNTOS
TOTAL 3 PUNTOS
1. Sea W = L{(1,0,0, a ), (0,1,0, a ), (1,1,1,1)} . Se verifica que:
a) Para cualquier valor de a, W es un subespacio vectorial de dimensión 3.
b) Si a=0, W = {( x, y, z , t ) ∈ R 4 / z = t , x = y} por lo que,
dim(W ) = 4 − nº ecuaciones no redundantes = 4 − 2 = 2
c) Si a=1, BW = {(1,0,0,1), (0,1,0,1), (1,1,1,1)} es una base de W .
2. Dados los subespacios
W1 = {( x, y, z , t ) ∈ R 4 / x = 0, y = 0}
W2 = {( x, y, z , t ) ∈ R 4 / z = 0}
Se verifica que:
a) W1 + W2 = R 4
b) dim(W1 ∩W2 ) = 2
c) W1 ⊕ W2 = {( x, y, z, t ) ∈ R 4 / x = 0, y = 0, z = 0}
d) W1 ∩ W2 = L{(0,0,0,1)}
3. Dadas las aplicaciones lineales f : R 4 → R 3 y g : R 3 → R 2 definidas por:
f ( x, y , z , t ) = (3 x + y, y − z ,2 z + t )
g (u, v, w) = (2u + v, v − w)
Se verifica que:
6 3
−1
0

a) La matriz asociada a la aplicación lineal g o f es 
 0 1 − 3 − 1
10

0

5
 0 − 5


b) La matriz asociada a la aplicación 5 g es  5
c)
f o g es una aplicación lineal definida R 3 → R 3 .
4. Sea f una aplicación lineal cuya matriz asociada respecto de las bases canónicas viene dada por:
 1 0 3

A = 
 2 1 5
Entonces se verifica que:
a) (18,32) ∈ Im( f )
b) dim Im( f ) = 3
c) B = {(−3,1,1)} es una base de Ker ( f ) por lo que dim Ker ( f ) = 1
d)
Im( f ) = R 2 .
5. Sea A x = b donde A ∈ M 3 , x ∈ R 3 , y b ∈ R 3 , b ≠ 0 , un sistema de ecuaciones lineales incompatible.
Entonces se verifica:
a) El sistema homogéneo asociado A x = 0 es un sistema compatible indeterminado.
b) El sistema A x = 2 ⋅ b es un sistema incompatible.
c) Si B es una matriz de orden 3 con rg ( B) = 3 entonces el sistema B x = b es un sistema
compatible determinado.
d) Si C es una matriz de orden 3 con rg (C ) = 2 entonces el sistema C x = b es un sistema
compatible indeterminado.
6. Sea A una matriz de orden 3 ortogonal y sea B una matriz de orden 3 unipotente. Si | A |= 1 entonces se
verifica:
a) | A ⋅ B |= 0
b)
c)
| A ⋅ ( B ⋅ A) t |=| B |
A ⋅ B es una matriz unipotente.
CONTESTACIÓN A LAS CUESTIONES (Señala con una X la respuesta o respuestas correctas):
Cuestión 1
Cuestión 2
Cuestión 3
Cuestión 4
Cuestión 5
a)
a)
a)
a)
a)
b)
b)
b)
b)
b)
c)
c)
c)
c)
c)
d)
d)
d)
PROBLEMAS:
Cuestión 6
a)
b)
c)
TOTAL 7 PUNTOS.
1. Sea f : R 3 → R 3 definida por f ( x, y, z ) = ( x + 2 y + z, y + z, x + y + z ) . Se pide:
a. Obtener la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas.
(0,2 puntos)
b. Hallar las ecuaciones cartesianas de los subespacios Im( f ) y Ker ( f ) . Obtener una base y la
dimensión de los subespacios Im( f ) y Ker ( f ) .
(0,4 puntos)
c. Determinar si es posible la aplicación lineal inversa de f .
(1 punto)
d. Calcular la matriz asociada a la aplicación 2( f o f )
(0,4 puntos)
2. Dado el sistema
 ax − y + 2 z = 1

2 x + 3 y + 5 z = 5
 ax + y + 4 z = b

Se pide:
a. Estudiar la compatibilidad del sistema para los distintos valores de los parámetros a y b .
(1,5 punto)
b. Para a = 1 y b = 1 calcular si es posible, la solución o soluciones del sistema.
(1 punto)
3. Sean los subespacios vectoriales
W1 = {( x, y, z , t ) ∈ R 4 / 2 x + y − z = 0}
W2 = L{(1,0,2,0), (0,0,03)}
Se pide:
a. Obtener una base y la dimensión del subespacio W1 .
(0,5 puntos)
b. Determinar si el vector (2,-1,3,1) pertenece a W1 y en su caso, calcular las coordenadas de dicho
vector respecto de la base obtenida en el apartado anterior.
(0,5 puntos)
c. Obtener las ecuaciones cartesianas del subespacio W1 ∩ W2 una base y su dimensión.
(1 punto)
(0,5 puntos)
d. Calcular la dimensión y una base de W1 + W2