Examen final de febrero

Examen Final de Geometrı́a I
Doble Grado en Ingenierı́a Informática-Matemáticas
12 de Febrero de 2015
(1) Dado k 2 R, consideremos en R4 el subespacio
Uk := L{(0, 1, k, 3), (0, k, 2
k, 3), (k
2, 1, 2, 3)}
(a) Calcular la dimensión de Uk en función de los valores de k. Determinar
una base y ecuaciones cartesianas de Uk para cada k 2 R.
(b) Para k satisfaciendo dim Uk = 2, encontrar un subespacio W de R4 tal
que R4 = Uk W . Determinar las ecuaciones cartesianas de W .
(2) Consideremos los subespacios U de M2 (R) y W de R3 dados por:
⇢✓
◆
a b
a+b+c=0
, W = {(x, y, z) 2 R3 : x+z = 0}.
U=
2 M2 (R) |
b+c+d=0
c d
(a) Determinar una aplicación lineal f : M2 (R) ! R3 con Ker(f ) = U
e Im(f ) = W y calcular M(f, B0 , B00 ), donde B0 y B00 son las bases
canónicas de M2 (R) y R3 respectivamente.
(b) Encontrar bases B1 de M2 (R) y B2 de R3 en las que
0
1
1 0 0 0
M(f, B1 , B2 ) = @ 0 1 0 0 A
0 0 0 0
(3) En el espacio P2 [x] de los polinomios reales de grado menor o igual que dos,
consideremos la 1-forma lineal ' : P2 [x] ! R dada por '(a0 + a1 x + a2 x2 ) =
a0 + a1 a2 .
(a) Encontrar una base B ⇤ = {'1 , '2 , '3 } de P2 [x]⇤ en la que ' tenga
coordenadas (1, 1, 0).
(b) Encontrar la base B de P2 [x] de la que B ⇤ es base dual.
(4) Sea V un espacio vectorial real de dimensión finita, y End(V ) = L(V, V ) el
espacio vectorial de los endomorfismos de V (con las operaciones naturales
de suma y producto por escalares reales). Fijemos f0 2 End(V ) tal que
V = Ker(f0 ) Im(f0 ), y consideremos la aplicación
F : End(V ) ! End(V ),
F (f ) = f
f0 .
(a) Probar que Im(f0 ) = Im(f0 f0 ). Deducir que h : Im(f0 ) ! Im(f0 )
dada por h(v) = f0 (v), es un isomorfismo.
(b) Probar que F es un endomorfismo de End(V ).
(c) Probar que Ker(F ) = {f 2 End(V ) : Im(f0 ) ✓ Ker(f )}.
(d) Probar que Im(F ) = {f 2 End(V ) : Ker(f0 ) ✓ Ker(f )}.
(e) Probar que dim(Ker(F )) = dim V · dim(Ker(f0 )) y
dim(Im(F )) = dim V · dim(Im(f0 )).
Alumnos con los dos parciales pendientes: Preguntas 1,2,3.
Alumnos con sólo el segundo parcial pendiente: Preguntas 2,3.
Para subir nota (con ambos parciales aprobados): Pregunta 4.
Duración: 2h 30 min.
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