Tema 5 - Aplicaciones Lineales

Tema 5 - Aplicaciones Lineales
 CONCEPTO
 NUCLEO E IMAGEN
 CARACTERIZACION Y
DIMENSION
 ASOCIACION CON MATRICES
 MATRIZ CAMBIO DE BASE
 17 
APLICACIÓN LINEAL
Dados los espacios vectoriales (V,+) y (V’ ,+) sobre K, y una aplicación de f: V
una aplicación lineal si cumple dos condiciones (  ,  K   u,v  V )
V’. Se dice que es
f(v + u) = f(u) + f(v)

f(v) =  f(v)
De lo que se deduce
f(u + v) =  f(u) +  f(v)
Consecuencias:
(i) f(-x) = -f(x)
(ii) f(0) = 0
(iii) f(1 x1 + ... + n xn) = 1 f(x1),
xi  V,
i  K,
i = 1,...,n
( La imagen de la suma es la suma de las imágenes )
(iv) Tanto la identidad como la función nula son aplicaciones lineales I: V
Ej.- Demostrar que f : R 3
R2
V
0: V
V’
f(x,y,z) = (x,y) es aplicación lineal
¿Se cumple? f( (x,y,z) +  (x’,y’,z’) =  f (x,y,z) +  f(x’,y’,z’)
[ f(x,y,z)  (x,y) ]
f( (x,y,z) +  (x’,y’,z’)) = f (x + x’, y + y’,z + z’) = (x + x’, y + y’)
[ f(x,y,z)  (x,y) ]
(x + x’, y + y’) = (x,y) + (x’,y’) =  f(x,y,z) +  f(x’,y’,z’)
Ej.- Averiguar si f : R
¿Se cumple?
R
f(x) = x 2 es aplicación lineal
f ( (x)) =  f (x)
f (2 (5)) = 2 f (5)  100  50
No es aplicación lineal
NUCLEO E IMAGEN DE F
Ker(f) = { x  V : f(x) = 0 }
Se denomina núcleo ó kernel ker (f) al conjunto
Llamamos imagen de f a la expresion
}
Im (f) = { y  V’ tal que y = f(x) para algún x  V
Para calcular la imagen de una aplicación debemos hallar las imágenes de los vectores de una de sus
bases. La envoltura lineal de estas imágenes serán la imagen de la aplicación (ver ejemplo).
PROPIEDAD:
Ker (f) e Im (f) son subespacios de V y V’ respectivamente.
Demostración:
Recordemos que H es subespacio vectorial de E   ,  K   u +  v  H
 u,v  H
(i) Demostramos que Ker f es s.e.v de V
Sean x,y  Ker (f)  ,  K  Ker f   Entonces como f es lineal se tiene:
f (x + y) =  f(x) +  f(y) =  · 0 +  · 0 = 0
(ii) Demostramos que Im f es s.e.v de V’
Sean u,v  Im (f)  ,  K  Im  . Entonces como f es lineal se tiene:
u = f(x) x  V
 u +  v  Im f ¿?   f(x) +  f(y) = f(u +  v) donde (u +  v) 
V
 18 
v = f(y) y  V
PROPIEDAD:
Las antiimagenes de un punto por medio de una aplicación f, se obtienen sumando el núcleo Ker f de la
aplicación f a una antiimagen de dicho punto:
y  V’  f-1 (y) = { x + Ker f / f(x) = y , para algún x  V }
Ej.- Calcular el nucleo y la imagen de la aplicación f(x,y,z) = (x+y+z , y+2z)
a) Calculamos el nucleo: Ker f = { (x, y, z) / f (x, y, z) = 0 }
Resolvemos un sistema
x + y + z = 0  y = -2z 
y + 2z = 0
x -z = 0  x = z


(x, y, z) = (z, -2z, z) = z (1,
-2, 1)
El nucleo lo formarán todos los vectores que sean una c.l. del vector (1,-2,1), es decir, el nucleo es la
clausura ó envoltura lineal del vector resultante. Por que la imagen de todos esos vectores es cero.
Ker f = < (1, -2, 1) >
b) Calculamos la imagen de f Im (f) = { y  V’ tal que y = f(x) para algún x  V }
Calculamos las imagenes de la base canónica de R 3
Im f = < ( f (1, 0, 0), f (0, 1, 0), f (0, 0, 1) > = < (1, 0), (1, 1), (1, 2) > = < (1, 0), (1, 1) >
SISTEMA GENERADOR DE Im f
BASE
DE Im f
CARACTERIZACION DE AP. LINEALES
La aplicación lineal f es inyectiva  Cuando f(x) = f(y)  x = y
No puede haber 2 elementos con la misma imagen
De esto se deduce que si f es inyectiva tendrá un único Ker f = {0}
La aplicación lineal f es suprayectiva si para cada x’  V’   x  V / f(x) = x’
Toda imagen tiene su antiimagen. Todo elemento de V’ le corresponde uno de V.
La aplicación lineal f es biyectiva  es inyectiva y suprayectiva.
DIMENSIÓN DE LAS AP.LINEALES
Teorema de las dimensiones:
Si tenemos una aplicación f: V
V’ lineal se verifica que
dim V = dim Ker (f) + dim Im (f)
Si f es una ap.lineal se cumple que:
a) Si B = {e1, e2,..., en} es sistema generador de V  {f(e1), f(e2),..., f(en)} es sistema gen. de Im (f)
b) Si {e1, e2,..., en} es libre  {f(e1), f(e2),..., f(en)} es libre. El caso inverso ( ) no puede asegurarse.
 19 
MATRIZ ASOCIADA A UNA AP. LINEAL
Dada f: V
V’ ap. lineal  B = {e1, e2,..., en} una base de V  B’ = {e1’, e2’,..., em’} una base de
V’
Veamos como construir la matriz asociada a f en las bases de sus espacios inicial (V) y final (V’) que se
corresponden con B y B’. La matriz resultante se denota por ( f ) BB’
(1) Calculamos las imágenes de los vectores de la base del espacio inicial B f(e1),f(e2)....f(en)
(2) Expresamos f(e1),...,f(en) como c.l. de la base B’ (ya que la aplicación es f:V
para obtener las coordenadas de los vectores respecto a la base B’.
V’ y B’es base de V’)
(3) Colocamos cada vector resultante de (2) como columna de una matriz (f ) BB’
Paso 1
Paso 3
f(e1) = a11e1’ + a12 e2’+...+a1m em’
...
...
... ...
f(en) = ane1’ + an2 e2’+...+an m em’
Paso 2

(a11, a12,...,a1m) B’

...
(f)BB’ =
....
a11 ... an1
(an1, an2,..., anm) B’
a1m ... anm
Ej.- Calcular la matriz asociada a la función f(x,y,z) = (x+y+z , y+2z) y las bases
B = { (1,1,1) , (0,2,1) , (0,0,3)}  B’ = { (1,1) , (0,1)}
Calculamos las imágenes
f(1,1,1) = (3,3)
f(0,2,1) = (3,4)
f(0,0,3) = (3,6)
Expresamos imágenes de los vectores de B como c.l. de B’
(3,3) =  (1,1) +  (0,1)
=3
+=3
=0
(3,4) =  (1,1) +  (0,1)
=3
+=4
=1
(3,6) =  (1,1) +  (0,1)
=3
+=6
=3
(3,3) = (3,0) B’
(3,4) = (3,1) B’
(3,4) = (3,3) B’
Una vez tenemos las coordenadas de los vectores de B respecto a B’, construimos la matriz
(f)BB’ = 3 3 3
013
ECUACION MATRICIAL DE UNA AP.L
Dada f: V
V’ ap. lineal  B = {e1, e2,..., en} una base de V  B’ = {e1’, e2’,..., em’} una base de
V’
y fBB’ la matriz asociada a ambas bases.
x  V  f(x)  V’
x  V  x = x1e1 + x2 e2 +...+ xn en (x es c.l. de su base)
f(x) = f (x1 e1 + x2 e2 +...+ xn en ) = por ser aplicación lineal = x1f(e1) + x2f(e2) +...+ xn f(en)
= x1
a11
...
+...+ xn
am1
...
a1n
=
am n
..
x1a11 +...+ xna1m
..
..
x1a11 +...+ xna1m
= fBB’ ·
x1
...
x1
Una aplicación lineal queda determinada por una cualquiera de sus matrices asociadas
( f (x) )B’ = ( f ) BB’ · (x) B
 20 
1 0
Ej.- Calcular la imagen de (1,3), conociendo (f) BB’ = 2 0
y las bases
0 1
B = { (1,0) , (1,1)}  B’ = { (1,1,1) , (0,1,1), (0,0,1),}
Expresamos el vector (1,3) como c.l. de la base B porque necesitamos las coordenadas (x)B
(1,3) = (1,0) +  (1,1)   = 3
+ = 1   = -2
(1,3) = (-2,3)B
(-2,3) son las coordenadas del vector (1,3) respecto a la base B (x) B
Aplicamos la fórmula:
(f(x))B’ = (f) BB’ · (x) B  (f(1,3))B’
2 0
3
1 0
-2
= (-2,-4,3)B’
0 1
Pasamos el vector a la base B
(-2,-4,3)B’ = 2(1,1,1) - 4(0,1,1) + 3(0,0,1) = (-2,-6,-3)
RANGO DE UNA AP. LINEAL
Llamamos rango de una aplicación lineal f:V
f(1,3) = (-2,-6,-3)
V’ a la dimensión de Im f
Rango f = Rango ( f ) BB’ = dim Im f
Si A = fBB’ entonces las columnas de A son las coordenadas respecto de la base B’ de un sistema
generador de Im ( f ), y por tanto rg A = dim Im (f) = rg f
Por tanto el rango de una aplicación será el mismo que el de cualquiera de sus matrices asociadas.
 21 
 22 