`ALGEBRA LINEAL Enginyeria Quımica Sucesiones, series y

ÀLGEBRA LINEAL
Enginyeria Quı́mica
Sucesiones, series y convergencia
1. Calcula los siguientes lı́mites
µ
µ
¶ n
¶n
3n + 2 n2 +3
n+5
a) lim
b) lim
n→∞
n→∞
n+5
n
Ãr
c) lim
n→∞
n+1
n+2
2. Calcular los siguientes lı́mites
1 + 2 2 + 33 + · · · + nn
n→∞
nn
√
√
√
1 + 2 + 3 + ··· + n
√
(b) lim
n→∞
n n
(a) lim
1 + 21/2 + 31/3 + · · · + n1/n
n→∞
n
1
log(2) + 2 log(1 + 12 ) + 13 log(1 + 13 ) + · · · + n1 log(1 + n1 )
(d) lim
n→∞
1 + 12 + · · · + n1
¡
¢2
¡
¢3
¡
¢n
1 · 2 + 12 1 + 12 + 31 1 + 13 + · · · + n1 1 + n1
(e) lim
n→∞
1 + 12 + · · · + n1
(c) lim
1! + 2! + · · · + n!
n→∞
n!
log 1 + log 2 + · · · + log n
(g) lim
n→∞
n log n
(f) lim
1
(h) lim P (n) n
n→∞
(i) lim na−n
n→∞
con P un polinomio
con a > 1
1 + 21/2 + 31/3 + · · · + n1/n
.
n→∞
n
1 + 2 2 + 32 + · · · + n2
(k) lim
n→∞
n3
n2 + 2n
(l) lim
n→∞ 3n2 + log n
(j) lim
(m) lim {(n + 1)(n + 2) · · · (n + n)}1/n
n→∞
1
!n
1
2
n
an + an + · · · + an
(n) lim
n→∞
n
1
(o) lim (an + bn ) n
con a > 0,
con a, b ∈ R>0 ,
n→∞
a 6= b
3. Con a > 0, se define por recurrencia la sucesión a1 =
√
a · an−1 . Calcular el lı́mite.
√
a y an =
4. Probar que la sucesión
1
1
1
+ 2 + ··· + 2
2
1
2
n
an =
es monótona creciente y acotada, y por tanto convergente.
5. Sea {an } una sucesión de números reales no nulos. Probar que
an+1
| < 1,
an
lim |
n→∞
implica que limn→∞ an = 0
6. Estudia la convergencia de las siguientes series
X
X 1
X n
X
1
a)
b)
c)
d)
(−1)n (n1/n − 1)
n
n(n
+
3)
log
n
4
n≥1
n≥2
n≥1
n≥1
X (−1)n
e)
nε
n≥1
con ε > 0
n≥1
k)
np
X
i) (log n)p
n≥1
µ
√
n≥2
X
n≥1
X
h)
n3 e−n
X
f)
1
1
−√
n
n−1
con relación a p
X
l)
n≥1
con relación a k
X (−1)n
o)
nα
n≥1
con α ∈ R
X nn
r)
n!3n
n≥1
s)
n≥1
qn
1
− pn
n≥1
j)
Xµ
n≥1
¶
X log n
m)
nk
n≥1
X
X
g)
(−1)n
log(n2 + n + 3)
log(n2
1
+ n + 3)
¶log(log n)
1
log(log n)
1
¡
¢
n log 1 + n1
X (−1)n
con α > 0
α
n(log
n)
n≥3
µ
¶
X 1
X (−1)n 2n
(−1)n
p)
sin
α
>
0
q)
nα
n
n!
n≥1
n≥1
¶
Xµ 1
1
con 0 < p < q
t)
+i n
2n
3
n≥1
n)
2