Manual de teoría Trigonometría Matemática Bachillerato Manual de

Manual de teoría:
Trigonometría
Matemática
Bachillerato
Realizado por José Pablo Flores Zúñiga
Trigonometría:
José Pablo Flores Zúñiga
Página 1
Contenido:
4) Trigonometría
4.1 Trigonometría Básica
4.2 Funciones Trigonométricas
4.3 Trigonometría en el plano Cartesiano
4.4 Identidades Trigonométricas
4.5 Ecuaciones Trigonométricas
Trigonometría:
José Pablo Flores Zúñiga
Página 2
Trigonometría
4.1 Trigonometría Básica
____
CB Es la hipotenusa
____
____
CA Y AB son catetos
Razones trigonométricas
Razones inversas
Razón
Fórmula
Inversa
Fórmula
cateto opuesto
hipotenusa
senθ
csc θ
hipotenusa
cateto opuesto
cateto adyacente sec θ
hipotenusa
cos θ
hipotenusa
cateto adyacente
cateto opuesto cot θ
cateto adyacente
tan θ
cateto adyacente
cateto opuesto
Ejemplo: Calcular la medida de x según la figura
csc 65º =
x=
15
x
15
= 13,59 cm
csc 65º
Trigonometría:
José Pablo Flores Zúñiga
Página 3
4.2 Funciones trigonométricas
Los valores de los ángulos son en π radianes
Función Seno
f ( x) = senx
Dominio: IR
Rango: [− 1,1 ]
Periodo 2π
Interseca al eje y en (0,0)
Gráfica:
2
y
x
12
-12
-2
Función Coseno
f ( x) = cos x
Dominio: IR
Rango: [− 1,1 ]
Periodo 2π
Interseca al eje y en (0,1)
Gráfica:
2
y
x
12
-12
-2
Trigonometría:
José Pablo Flores Zúñiga
Página 4
Función Tangente
f ( x) = tan x
π

Dominio: IR −  + kπ tal que k ∈ Z 
2

Codominio IR
Periodo π
Interseca al eje x en x = kπ con k ∈ Z
Gráfica:
y
10
x
-10
10
-10
Trigonometría:
José Pablo Flores Zúñiga
Página 5
4.3 Trigonometría en el plano cartesiano
Plano cartesiano
Ángulos :
Ángulo positivo: si la rotación es sentido contrario a las
manecillas del reloj.
Ángulo negativo: si la rotación va en sentido de las
manecillas del reloj.
Ángulo cuadrantal: si el lado final de un ángulo coincide
con un semieje coordenado.
Ángulo de referencia: es el ángulo positivo que forma con
el semieje x.
Ángulo Coterminal: es el ángulo que falta para completar
una revolución
Trigonometría:
José Pablo Flores Zúñiga
Página 6
Valores positivos para las funciones trigonométricas:
Existe una frase para aprendérselas es: todos sentimos
tantas cositas. Es una dirección positiva y recordar
además las inversas.
Calculo de razones trigonométricas:
π π π
, y o sea 45º, 60º y 30º
4 3 6
se trabajan con triángulos especiales:
Para los valores de ángulos:
Para ángulos superiores se trabaja con el ángulo de
referencia y el valor va a dar positivo o negativo
dependiendo la posición en el plano cartesiano.
También hay valores para ángulos cuadrantales según la
siguiente tabla. También se pueden calcular con una
calculadora científica moderna y si el valor le da error
matemático es porque es un valor infinito:
Trigonometría:
José Pablo Flores Zúñiga
Página 7
θ
0º
90º
180º
270º
360º
senθ
0
1
0
-1
0
cos θ
1
0
-1
0
1
tan θ
0
∞
0
∞
0
csc θ
∞
1
∞
-1
∞
sec θ
1
∞
-1
∞
1
cot θ
∞
0
∞
0
∞
Ejemplos
Calcular el valor sen150 º + cos 315º
El ángulo de referencia para 150º es 30º y el ángulo de
referencia para 315º es 45º además al estar en el IV
cuadrante el coseno es positivo.
Es equivalente la expresión a: sen30 º + cos 45º
Utilizando los triángulos especiales:
1
sen30º =
2
2
cos 45º =
2
sen30º + cos 45º
=
1
2 1+ 2
+
=
2 2
2
Calcular el ángulo coterminal para un ángulo de 210º
para completar la revolución falta 210º-360º = -150º
Cuanto es: (sen330º )3
El ángulo de referencia de 330º es 30º como esta en el IV
cuadrante el valor de seno es negativo:
1
Es equivalente a (− sen 30º )3 , sen 30º =
2
3
1
 1
Entonces:  −  = −
8
 2
Trigonometría:
José Pablo Flores Zúñiga
Página 8
En el círculo trigonométrico el radio tiene el valor de una
unidad
Ejercicios Propuestos:
Determinar los valores de las funciones trigonométricas del
ángulo θ si ( x, y ) es un punto del lado final de dicho ángulo
1) (2,2 )
2) (− 3,4 )
3) (− 5,−12)
4) (8,−6 )
5) (− 5,−6 )
Determinar el cuadrante en que termina el ángulo si:
1) senθ y cos θ son ambos negativos
2) senθ y cot θ son ambos positivos
3) tan θ y csc θ son ambas negativas
Hallar la medida del ángulo de referencia para:
5
1) π
3
15
2) π
4
Encontrar el valor exacto para las
trigonométricas:
1) sen120 º
2) tan 135º
7
3) cot π
4
funciones
Resuelva las operaciones dando una respuesta exacta:
1) sen 45º + sec 0º − csc 60 º + cot 45º
2) cot 270 º + cos 90 º − tan 180 º − cos 180 º + sen 60 º + sec 30 º
3) 2 cos 360º (sen 45º + cot 30º ) + sec 60º
Trigonometría:
José Pablo Flores Zúñiga
Página 9
4.4 Identidades trigonométricas:
Por cociente
tan θ =
cot θ =
senθ
cos θ
cos θ
senθ
Pitagóricas
sen 2θ + cos 2 θ = 1
1 + tan 2 θ = sec2 θ
1 + cot 2 θ = csc2 θ
Ángulos negativos
sen(− θ ) = − senθ
cos(− θ ) = cos θ
tan (− θ ) = − tan θ
csc(− θ ) = − csc θ
sec(− θ ) = sec θ
cot (− θ ) = − cot θ
Trigonometría:
Cofunciones
sen(90º −θ ) = cos θ
cos(90º −θ ) = senθ
tan (90º −θ ) = cot θ
cot (90º −θ ) = tan θ
csc(90º −θ ) = sec θ
sec(90º −θ ) = csc θ
recíprocas
1
csc θ =
senθ
1
sec θ =
cos θ
1
cot θ =
tan θ
José Pablo Flores Zúñiga
Página 10
Para realizar este tipo de ejercicios no existe ningún
método que permita llegar a la respuesta buscada,
solamente se pueden hacer transformaciones mediante las
identidades y sólo se logra satisfactoriamente con
abundante práctica de esta.
Ejemplos:
comprobar que sec2 x • csc2 x = sec2 x + csc2 x
Entonces resolvamos sec2 x + csc2 x
sec 2 x + csc 2 x
=
=
=
1
cos 2 x
+
1
sen 2 x
sen 2 x + cos 2 x
cos 2 x • sen 2 x Recuerde que heterogéneas
1
cos 2 x • sen 2 x
1
1
=
•
cos 2 x sen 2 x
= sec 2 x • csc 2 x
Comprobar que tan θ =
1
cot θ
1
cot θ
1
=
cos θ
senθ
senθ
=
= tan θ
cos θ
Trigonometría:
José Pablo Flores Zúñiga
Página 11
Demostrar que cos β (tan β + cot β ) = csc β
cos β (tan β + cot β )
= cos β tan β + cos β cot β
senβ
cos β
= cos β
+ cos β
cos β
senβ
cos 2 β
= senβ +
senβ
sen 2 β + cos 2 β
=
senβ
1
=
= csc β
senβ
Demostrar que: (1 + senα )(1 − senα ) = cos 2 α
(1 + senα )(1 − senα )
Por fórmula notable :12 − sen 2α
= 1 − sen 2α
= cos 2 α
Demostrar que
csc ϑ
= cot ϑ
sec ϑ
csc ϑ
sec ϑ
1
= senϑ
1
cos ϑ
cos ϑ
=
= cot ϑ
senϑ
Trigonometría:
José Pablo Flores Zúñiga
Página 12
Demostrar que tan z +
cos z
= sec z
1 + sen z
cos z
Resolvemos la suma heterogénea
1 + sen z
tan z (1 + sen z ) + cos z
1 + sen z
tan z + tan z sen z + cos z
=
1 + sen z
sen z sen z
+
sen z + cos z
cos
z
cos
z
=
1 + sen z
tan z +
sen z + sen 2 z + cos 2 z
cos z
=
1 + sen z
sen z + 1
= cos z
1 + sen z
1
=
cos z
= sec z
Demostrar que sen(90º −α ) sec α = 1
sen(90º −α ) sec α
= cos α • sec α
1
= cos α •
cos α
=1
Trigonometría:
José Pablo Flores Zúñiga
Página 13
Ejercicios Propuestos
Demostrar las siguientes identidades
1) (sec x + tan x )(1 − sen x ) = cos x
2)
tan x − cot x
= tan x • sec x − csc x
cos x
3) tan 2 x + 1 = sec2 x
4)
1
1
+
= 2 csc 2 x
1 + cos x 1 − cos x
5) (1 + cos v )(1 − cos v ) = sen 2v
6) cscη − senη = cot η cosη
7)
8)
9)
sec 2 ρ − 1
sec 2 ρ
1 − tan 2 ω
1 + tan 2 ω
= − sen 2 ρ
= 2 cos 2 ω − 1
1 − senα
= (tan α − sec α )2
1 + senα
10)
cos x
1 − sen x
=
1 + sen x
cos x
Trigonometría:
José Pablo Flores Zúñiga
Página 14
4.5 Ecuaciones Trigonométricas
Consejos para resolver ecuaciones trigonométricas
Repasar resolución de ecuaciones vistas en álgebra
Utilizar identidades trigonométricas para convertir la
ecuación en términos de una sola función
trigonométrica preferiblemente seno o coseno.
Factorizar si es posible.
Resolver la ecuación
Al encontrar la solución inmediata se determina la
posibilidad de encontrar más soluciones.
Ejemplos:
I) sen2 x − cos 2 x = 0 en el intervalo [ 0, 2π
]
sen2 x − (1 − sen 2 x) = 0 Se utilizó una identidad
sen2 x − 1 + sen2 x = 0 Aplicación de álgebra
2sen 2 x = 1
1
sen 2 x =
2
1
sen x = ±
2
x = ±45º
Trabajando sen x es positivo y es positivo en el I y II
cuadrante
El ángulo de referencia de 45º es 45º
Y colocamos el ángulo de referencia en el segundo
cuadrante dando un ángulo de 135º. De manera análoga
trabajamos con sen x es negativo.
La solución se da la medida de ángulos en π radianes por
lo que hay que convertir las soluciones:
Trigonometría:
José Pablo Flores Zúñiga
Página 15
1 3 5 7 
S =  π, π, π, π
4 4 4 4 
II) resolver: sen(90º −φ ) + cos φ = 3 en el intervalo [ 0, 2π ]
sen(90º −φ ) + cos φ = 3
cos φ + cos φ = 3 Aplicando identidades
2 cos φ = 3
3
cos φ =
2
φ = 30º
El coseno es positivo. En el plano cartesiano es positivo en
I y IV cuadrante por lo que falta la solución del IV cuadrante
El ángulo de referencia de 30º es 30º
Ahora colocamos el ángulo de referencia en el IV cuadrante
y el ángulo formado es de 330º
 1 11 
Damos la solución en π radianes: S =  π , π 
6 6 
III) Resolver 1 + cot α = 1 en el intervalo [ 0, 2π
1 + cot α = 1
cot α = 0
α = 270 º
]
El ángulo de referencia de 270º es 90º
90º también es solución. Ahora damos la solución en π
radianes:
1 3 
S =  π, π
2 2 
Trigonometría:
José Pablo Flores Zúñiga
Página 16
IV) Resolver la ecuación: sen2θ − 5 cos(90º −θ ) + 6 = 0 en el
intervalo [ 0, 2π ]
sen2θ − 5 cos(90º −θ ) + 6 = 0
sen 2θ − 5senθ + 6 = 0 Utilizamos la identidad de cofunción
Y note que es una ecuación cuadrática para visualizarla
decimos que sea x = senθ y sustituimos en la ecuación:
x2 − 5x + 6 = 0
x=3
x=2
Ya encontrado el valor de x regresamos a la ecuación
trigonométrica:
senθ = 3 Y senθ = 2
Puesto que el seno tiene un valor máximo de 1, las dos
ecuaciones no tienen solución: S = Ø
V) Resolver la ecuación: senα − 2 senα • cos α = 0 en el
intervalo [ 0, 2π ]
senα − 2 senα • cos α = 0
senα (1 − 2 cos α ) = 0 Factorizando por factor común
Salen dos ecuaciones: senα = 0 y 1 − 2 cos α = 0
Si senα = 0
α = 0º El ángulo de referencia es 0º y el seno es positivo en
el segundo y primer cuadrante por lo que 180º es solución.
Si 1 − 2 cos α = 0
1 = 2 cos α
cos α =
1
2
α = 60º
El ángulo de referencia de 60º es 60º y el coseno es
positivo en el primer y cuarto cuadrante por lo que el ángulo
que tiene uno de referencia en el cuarto cuadrante es 300º
5π 
 π
por lo que la solución es radianes: S = 0, , π , 
3
 3
Trigonometría:
José Pablo Flores Zúñiga
Página 17
Ejercicios Propuestos:
Resolver las siguientes ecuaciones en el intervalo [ 0, 2π
]
1) 4 cos2 x − 3 = 0
2)
tan A
=1
cot A
3) 2 senα − 1 = 0
4) 2 senα + 1 = 0
5) 2 cos β + 1 = 0
(
)
6) (tan x − 1) 4sen 2 x − 3 = 0
7) 2 senλ − csc λ = 1
8)
3 + 2 senθ = 0
9) sen2 a + sen a − 6 = 0
10) 2 cos2 β + cos β = 0
11) 2 cos2 ε = 3 + 3sen ε
12) 4 cot θ = 3 csc 2 θ
13) 5senβ − 2 cos2 β = 1
14) 3 sec2 α = 4 tan 2 α
Trigonometría:
José Pablo Flores Zúñiga
Página 18
Anexos
Teorema de Pitágoras
Sea un triángulo rectángulo en el cual c es la medida de la
hipotenusa, a y b las medidas de los catetos:
c2 = a 2 + b2
Triángulos Especiales
Triángulos especiales para uso de trigonometría
Ley de Senos y Cosenos
Ley de Senos
a
b
c
=
=
senA senB senC
Trigonometría:
Ley de Cosenos
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc • cos A
José Pablo Flores Zúñiga
Página 19
Tigronometría:
José Pablo Flores Zúñiga
Página 20