Tema 4: Transformada de Laplace Curso 2007/08 1. Calcula la

Tema 4: Transformada de Laplace
Curso 2007/08
1. Calcula la transformada de Laplace de las siguientes funciones
a) f (t) = sen αt
b)
f (t) = e5t
c)
d)
f (t) = tet
e)
f (t) = t3 − t
f ) f (t) = sen t · cos t
g)
f (t) = te−2t sen 3t
h) f (t) = t3 sen t
i)
f (t) = e5t cos 3t
f (t) = et · cos t · sen 2t
2. Calcula la transformada de Laplace de las siguientes funciones definidas a trozos


(
 t si 0 ≤ t ≤ 1

0 si 0 ≤ t ≤ 1
1 si 1 < t ≤ 2
a) f (t) =
b) f (t) =

t si t > 1


0 si t > 2
( 2
(
t − 1 si 0 ≤ t ≤ 2
sen t si 0 ≤ t ≤ π
c) f (t) =
d) f (t) =
2
si t > 2
0
si t > π
3. Sea la función E(t) que a cada número t ≥ 0 le asigna su parte entera, es decir,
E(t) es un número natural de forma que E(t) ≤ t < E(t) + 1. Calcula L[E](z).
4. Una función f : [0, ∞) → R es periódica con periodo T > 0 si para cada t ≥ 0 se
tiene que f (t) = f (t + T ). Comprueba que su transformada de Laplace es
Z T
1
e−tz f (t) dt
L[f ](z) =
1 − e−T z 0
5. Usa el resultado del problema anterior para calcular la transformada de Laplace de
la función periódica de periodo T = 2 extendida a partir de
(
(
t
si 0 ≤ t ≤ 1,
π si 0 ≤ t ≤ 1
b) f (t) =
a) f (t) =
2 − t si 1 ≤ t ≤ 2
0 si 1 < t ≤ 2
6. Calcula la transformada de Laplace de f (t) = | sen t|.
7. Calcula la transformada de Laplace de
Z t
f (t) =
e−x sen x dx,
0
8. La convolución de f, g : [0, ∞) −→ R es una nueva función f ∗ g : [0, ∞) −→ R
definida como
Z t
f ∗ g(t) =
f (t − x)g(x) dx.
0
Comprueba que L[f ∗ g](z) = L[f ](z) · L[g](z).
9. Comprueba que
dL[f (t)]
(z) = −L[tf (t)](z).
dz
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10. Calcula la transformada inversa de la función racional
F (z) =
Az + B
(z 2 + 1)2
usando
a) La propiedad de convolución.
b) Las derivadas de L[sen](z) y L[cos](z).
c) La fórmula general de residuos.
11. Calcula la transformada inversa de Laplace de las funciones siguientes
z2
a) F (z) =
1 + z3
b) F (z) =
1
(z − 1)(z 2 − 2)
z+7
+ 2z + 5
d) F (z) =
1
(z + 1)(z + 2)(z 2 + 2z + 10)
e) F (z) =
ze−πz
z 2 + 2z + 5
f ) F (z) =
(z − 1)e−z
z3 + 2
g) F (z) =
z+1
z4
h) F (z) =
e−az
i) F (z) =
1 + z2
j) F (z) =
z
(z − 1)(z + 2)2
l) F (z) =
z2
(z − 2)(z 3 − 1)
c) F (z) =
k) F (z) =
z2
e−z
z−1
+ 2
z
z +2
z+1
+ 9)
ez z 2 (z 2
12. Utiliza la transformada de Laplace para resolver los problemas de Cauchy asociados
a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
a) y 0 (t) + 3y(t) = e−2t , con y(0) = 2.
b) y 00 (t) + y(t) = t, con y(0) = 1, y 00 (0) = −2.
c) y 00 (t) + βy(t) = cos(ωt), con y(0) = −1, y 0 (0) = 0.
d) y 00 (t) + y 0 (t) − 2y(t) = 5e−t sen t, con y(0) = 1, y 0 (0) = 0.
e) y 000 (t) + 5y 00 (t) + 17y 0 (t) + 13y(t) = 1, con y(0) = y 0 (0) = 1, y 00 (0) = 0.
f ) y 00 (t) + 2y 0 (t) + 2y(t) = 5 cos t, con y(0) = 2, y 0 (0) = 4.
g) y 00 (t) + y(t) = sen(ωt), con y(0) = 0, y 0 (0) = 1.
h) y 00 (t) + 4y(t) = sen t, con y(0) = 0, y 0 (0) = 0.
i) y 00 (t) + 4y(t) = cos t, con y(0) = y 0 (0) = 0.
13. Considera un circuito LRC con L = 2 henrios, R = 16 ohmios, C = 0,02 faradios y
una fuerza electromotriz E(t) = 100 sen(3t) que va oscilando respecto al tiempo.
a) Obtén la ecuación diferencial que verifica Q(t), la carga en función del tiempo.
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b) Determina Q(t) si en el momento de conectar el circuito la carga del condensador es igual a cero.
c) Determina Q(t) si inicialmente la carga es de 1.5 culombios.
14. En el caso de un circuito LRC en el que no se tiene ninguna resistencia la ecuación
diferencial que describe la carga del condensador en función del tiempo es de la
forma,
1
LQ00 (t) + Q(t) = E(t)
C
y se denomina oscilador armónico. Resuelve la ecuación anterior en los siguientes
casos:
a) La fuerza electromotriz E(t) es constante y la carga en el momento inicial es
nula.
b) La fuerza electromotriz es de la forma E(t) = sen(ωt + σ) y Q(0) = 1 al
conectar el circuito.
15. Usa la transformada de Laplace para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales
lineales
2y100 (t) − y200 (t) − y10 (t) − y20 (t) + 9y1 (t) − 3y2 (t) = 0
2y100 (t) − y200 (t) + y10 (t) + y20 (t) + 7y1 (t) − 5y2 (t) = 0
con las condiciones iniciales y1 (0) = y10 (0) = 1, y2 (0) = y20 (0) = 0.
16. Obtén la solución del sistema de ecuaciones diferenciales
3y10 (t) + y20 (t) − 2y1 (t) = 3 sen t + 5 cos t
2y10 (t) + y20 (t) + y2 (t) = sen t + cos t
para las condiciones iniciales y1 (0) = 0, y2 (0) = −1.
17. Resuelve el problema y 00 (t) + y 0 (t) = f (t) con valores iniciales y(0) = 0, y 0 (0) = 2,
siendo f (t) la función definida a trozos
(
t si 0 ≤ t < 1
f (t) =
0 si t ≥ 1
18. Resuelve la ecuación diferencial y 00 (t) + y(t) = f (t) con condiciones iniciales nulas
y(0) = y 0 (0) = 0 y la función definida a trozos

1 si 0 ≤ t < 1





 0 si 1 ≤ t < 2
f (t) =

−1 si 2 ≤ t < 3





0 si t ≥ t
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19. Resuelve con transformada de Laplace la ecuación diferencial y 00 + 2y 0 + y = f (t),
con las condiciones iniciales y(0) = y 0 (0) = 0 y
(
t si 0 ≤ t < 1
f (t) =
0 si t ≥ 1.
20. Resuelve el problema y 00 + 2y 0 + 5y = f (t), con las condiciones iniciales y(0) = 0,
y 0 (0) = 1 y la función
(
sen t si t ∈ [0, π],
f (t) =
0
si t > π.
21. Utiliza la transformada de Laplace para resolver la ecuación integro–diferencial
Z t
0
y(x)dx = f (t)
y (t) + 2y(t) + 1 + 2
0
con la condición inicial y(0) = 2, donde
(
t si 0 ≤ t ≤ 2,
f (t) =
0 si t > 2.
22. Resuelve la siguiente ecuación diferencial
y 00 (t) + 2y 0 (t) + 5y(t) = f (t)
con las condiciones iniciales y(0) = 0, y 0 (0) = 1, donde
(
1 si 0 ≤ t ≤ 1,
f (t) =
0
si t > 1
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