Práctica 12

 Ecuaciones Diferenciales Curso 15‐16 Cálculo II Prácticas Matlab Práctica 12 (10/05/2016) Objetivos o
Representar las isoclinas de una edo de primer orden como apoyo para trazar un campo de direcciones. o
Representar el campo de direcciones de una edo de primer orden y entender su significado. o
Representar las soluciones de una edo de primer orden. o
Utilizar representaciones gráficas para profundizar en el estudio de las soluciones de una ecuación diferencial de primer orden. Comandos de Matlab 1.‐ Para resolver ecuaciones diferenciales de forma simbólica dsolve('eq', 'cond', 'var') Ejemplos: >>
>>
dsolve('Dx = -a*x')
dsolve('Dy = a*y', 'y(0) = b')
Ejercicios Dadas dos curvas C1 y C2 que se cortan en un punto (x,y) diremos que se cortan ortogonalmente si sus rectas tangentes en dicho punto son ortogonales. Dada una familia de curvas que depende de un parámetro diremos que una curva C es una trayectoria ortogonal a dicha familia si en cada punto en que C corta a una curva de la familia lo hace ortogonalmente, es decir, las dos rectas tangentes en el punto de corte son perpendiculares. Asimismo, dadas dos familias de curvas Y1 e Y2 diremos que la familia de curvas Y2 son las trayectorias ortogonales a la familia Y1 si cada curva de la familia Y2 corta ortogonalmente a la familia Y1 y toda curva ortogonal a esta última familia pertenece a Y2. PÁGINA 2
MATLAB: ECUACIONES DIFERENCIALES Dada la familia de curvas F  x, y, C   0 , consideramos la ecuación diferencial y '  f  x, y  cuya solución es dicha familia de curvas. La ecuación diferencial de la familia de curvas ortogonales se obtiene como solución de la ecuación diferencial y ' 
1 1
. f  x, y 
Trayectorias ortogonales (a) Halla la ecuación diferencial de las siguientes familias de curva 1. Todas las circunferencias con centro el origen (b) Halla la ecuación diferencial de la familia de curvas ortogonales a la familia del apartado anterior y representa en una misma figura una muestra de curvas de ambas familias. Repite el apartado para considerando las siguientes familias 2. La familia de parábolas 2Cx  y 2
3. La familia de hipérbolas xy  C 4. La familia de elipses Cx  y  1 2
2
Solución: Familia Ecuación diferencial x2  y 2  C 2 y '  x / y 2Cx  y 2 y
2x
y
y' 
x
xy  C Cx 2  y 2  1 y' 
y'  
1 y2
xy
Ecuación diferencial Familia ortogonal familia ortogonal y'  y / x y  Cx y'  
2x
y
x
y
xy
y' 
1 y2
y' 
Para representar las curvas de la familia 1 y su familia ortogonal %Representación de la familia
hold on
for C=1:4
fun=strcat('x^2+y^2-(',num2str(C^2),')');
ezplot(fun)
end
%Busqueda de la familia ortogonal
solu=dsolve('Dy=y/x','x')
%Representación de la familia ortogonal
for C=-pi:pi/8:pi
fun=strcat(num2str(tan(C)),'*x');
ezplot(fun,[-4,4,-5,5])
end
axis equal
hold off
y 2  2 x2  C y 2  x2  C x 2  y 2  log y 2  C MATLAB: PRÁCTICA 12 PÁGINA 3 Dada la ecuación diferencial y '  f  x, y  , si y  x  es solución y P  xo , yo  un punto de la gráfica de y  x  , entonces la pendiente a y  x  en el punto P es igual a f  xo , yo  . Si en cada punto  x, y  del plano, trazáramos segmentos rectilíneos que pasaran por  x, y  y tuvieran como pendiente f  x, y  obtendríamos el campo de direccional de la ecuación diferencial. En la práctica el campo direccional se observa trazando pequeños segmentos rectilíneos en algún conjunto representativo de puntos del plano XY. 2 Campo de direcciones Dibujar el campo de direcciones de la ecuación diferencial y '  sen x  y , representar también la solución particular que cumple la condición inicial y  0   1 Código Matlab clear all
f=inline('sin(x)+y','x','y');
[u,v]=meshgrid(-3:1:3,-10:1:1);
[n,m]=size(u);
du=ones(n,m);
dv=f(u,v);
q=quiver(u,v,du,dv)
set(q,'ShowArrowHead','off')
hold on
%Representando las isoclinas
%Isoclinas f(x,y)=cte
contour(u,v,dv)
%Resolviendo la ecuación diferencial
syms x y
solu=dsolve('Dy=sin(x)+y','y(0)=-1','x')
plot(0,-1,'r*')
ezplot(solu,[-3,3])
hold off
Dada la ecuación diferencial y '  f  x, y  , es fácil observar que la pendiente de la solución y’ tiene valor constante en todos los puntos de la curva f  x, y   c . Estas curvas se llaman isoclinas. Para ciertas ecuaciones diferenciales es sencillo representar unas cuantas isoclinas y luego insertar los segmentos rectilíneos tangentes a la solución en varios puntos de cada curva. PÁGINA 4
MATLAB: ECUACIONES DIFERENCIALES Isoclinas Considerar la ecuación diferencial y  = 2 x (a) Representa las isoclinas de pendientes 1,  0.5, 0, 0.5, 1 y sobre 3 ellas el campo de direcciones. (b) Representa las soluciones que pasan por los puntos  0, 0.5  ,  0, 0  y  0, 0.5  . Nota: Este es el ejercicio propuesto número 5. Apartado a) Resulta inmediato comprobar que la solución general de esta ecuación diferencial es: y  x2  C
Puedes encontrar esta solución, con el siguiente comando: dsolve('Dy=2*x','x')
En la siguiente tabla se muestran las ecuaciones de las isoclinas y las soluciones particulares pedidas. Pendiente Isoclina Punto Constante Solución particular 2
 y   y  2 x   x0 , y0  ( C  y0  x0 ) ( y  x 2  C ) C  0.5 y  x 2  0.5 C  0 y  x2 x0  0, 0.5  0, 0   0, 0.5 C  0.5 y  x 2  0.5 0.5 x 1/ 4 1 x 1/ 2 1 x  1 / 2 0.5 x  1 / 4 0 Apartado b) Representa con Matlab las isoclinas y una muestra del campo de direcciones en el cuadrado  1,1   1,1 . Representa también las soluciones particulares indicadas, destacando sobre ellas los puntos del enunciado.
[u,v]=meshgrid(-1:0.2:1,-1:0.2:1);
[n,m]=size(u);
du=ones(n,m);
z=f(u,v);
dv=z;
q=quiver(u,v,du,dv);
set(q,'ShowArrowHead','off')
hold on
%Representando las isoclinas
%Isoclinas f(x,y)=cte
MATLAB: PRÁCTICA 12 PÁGINA 5 contour(u,v,z)
%Representando las soluciones
x=-1:0.1:1;
for C=-0.5:.5:0.5
plot(x,x.^2/2+C,'r')
end
%Dibujando los puntos
plot([0 0 0],[-0.5 0 0.5],'o')
axis equal
hold off
4 Representa el campo de direcciones y traza diversas curvas solución para la ecuación diferencial dada (a) y  = xy (b) y  = x  y (c) y  = 1  xy Resumen de comandos Se recogen aquí los comandos utilizados en esta práctica que se darán por conocidos en las prácticas siguientes y que conviene retener porque se podrán preguntar en las distintas pruebas de evaluación. También se supondrán conocidos los comandos que fueron utilizados en prácticas anteriores y en las prácticas de Cálculo I. 
Para resolver ecuaciones diferenciales: dsolve