5 Variables aleatorias discretas

UNIDAD
5
Variables aleatorias
discretas
Objetivos
Al finalizar la unidad, el alumno:
•
•
•
•
•
•
•
utilizará el método de puntos muestrales asociado a
variables aleatorias
distinguirá una variable aleatoria discreta de una
variable aleatoria continua
distinguirá y aplicará el concepto de función de probabilidad, de distribución de probabilidad y de
función de distribución acumulada
calculará probabilidades por medio de las variables
aleatorias discretas
encontrará el valor esperado de unavariable aleatoria
discreta
encontrará la varianza de una variable aleatoria
discreta
resolveráproblemasrelacionadoscon el valor esperado
y la varianza de una variable aleatoria discreta
Introducción
En la teoría de las probabilidades no siempre es fundamental encontrar todas las
combinaciones de resultados del espacio muestral, sino clasificar todos los elementos del
espacio muestral con cantidades que indiquen cierta propiedad, por ejemplo, al tomar un
artículo de un conjunto que contiene tanto no defectuosos como defectuosos (donde el
evento se puede definir “la cantidad de artículos buenos”), se tiene que cada evento está
representado por un número que muestra la cantidad de artículos no defectuosos.
Basados en lo anterior, de alguna manera se define una función que asigna un
valor numérico a cada evento del espacio muestral, a la que se llama variable aleatoria.
La importancia de definirla reside en la introducción de las funciones a la teoría de
probabilidades, donde sus propiedades se heredan al cálculo de probabilidades.
En esta unidad se introducen conceptos básicos como:
•
•
•
•
•
función de probabilidad de una variable aleatoria discreta
distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta
función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta
valor esperado de una variable aleatoria discreta
varianza de una variable aleatoria discreta
5.1 Variables aleatorias: método de puntos muestrales
En las unidades anteriores se calcularon probabilidades de eventos en los que la forma de
elección de sus elementos era fundamental. Sin embargo, por medio del estudio de los
diferentes fenómenosaleatorios que ocurren a nuestro alrededor, es posiblepercatarse de
que en la mayoría de ellos sólo es de imporancia conocer una medida numérica referente
al experimento. Por ejemplo:
• al lanzar tres monedas, podrían ser sólo de interés las probabilidades relacionadas con la cantidad de caras águila que resulten en dicho experimento
• al lanzar dos dados, podría ser sólo de interés conocer las probabilidades
relacionadas con la suma resultante de los puntos
• un estimado de la vida promedio de las lámparas de un fabricante
• medir la temperatura, humedad, u otra variable del medio
Para calcular las probabilidades correspondientes a los fenómenos de los ejemplos
anteriores, o semejantes, seharáuso del método de puntosmuestrales, cuyo procedimiento
se divide en cinco pasos:
1. Definir el experimento.
2. Establecer los eventos simples o elementales asociados con el experimento y
someter a prueba cada uno para asegurarse de que no se pueden descomponer
más. Esto define el espacio muestral S, donde cada elemento del espacio
muestral se llama punto muestral.
146
3. Asignar a cada punto muestral en Suna probabilidad adecuada.
4. Definir el evento de estudio A, como una colección específica de puntos
muestrales.
5. Calcular P(A), sumando las probabilidades de los puntos muestrales de A.
Ejemplo 1
Se lanzan tres monedas, y se calculan las probabilidades relacionadas con la cantidad de
caras águila resultantes de dicho experimento.
1. Analizando las características del experimento, es posible notar que pueden ocurrir
cero, uno, dos o tres caras águila; por otra parte, se sabe que su espacio muestral tiene
ocho elementos
S= {sss, ass, sas, ssa, aas, asa, saa, aaa}
donde, s= cara sol y a = cara águila.
Sepuede establecer una correspondenciaentre lospuntosmuestralesy losvalores
numéricos que se asignan al experimento (0, 1, 2 o 3), de la siguiente manera
sss
0
ass, sas, ssa
1
aas, asa, saa
2
aaa
3
Al punto muestral de las tres caras sol (o caras águla) le corresponde el valor 0;
a cada punto muestral que tiene una sola cara águila le corresponde el valor 1, etc.
Se definió una función entre lospuntos muestrales y los valoresnuméricosasignados,
de donde surge la siguiente definición.
Definición 5.1
Dado un experimento con espacio muestral S, se llama variable aleatoria del experimento a la
función numérica que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral.
En la teoríade probabilidades, generalmente sesimboliza alasvariablesaleatorias
por letras mayúsculas y sus elementos por letras minúsculas.
Como se mencionó en la definición 5.1, una variable aleatoria representa una
función, cuyo dominio esel espacio muestral (del experimento aleatorio), y su rango el
conjunto (o subconjunto) de los números reales, obtenido como resultado de asignar
un valor real a los puntos del espacio muestral del experimento.
Dada S el espacio muestral del experimento y Rx R, donde R, representa al
conjunto de los números reales, se tiene
X :S
RX
que representa la función cuyo dominio es Sy su rango Rx. Su representación gráfica
se muestra en la figura 5.1.
147
X:S
S
Rx
e
x
Dominio
Rx
Rango
Los elementos del rango de una variable aleatoria generalmente se representan
por letras minúsculas correspondientes a la variable aleatoria; de tal manera que
X(e) = x
representa a la función X evaluada en el elemento muestral e, cuya imagen es x.
Al efectuar el estudio de un experimento aleatorio por medio de lasvariablesaleatorias
(al igual que se hizo en los cursos de cálculo en el estudio de las funciones), primero se
debedefinir la función analizada, y posteriormente, encontrar su dominio y su rango.
En el caso de las tres monedas, la variable aleatoria X se definirá de la siguiente
forma:
X: “cantidad de caras águila en el lanzamiento de las tres monedas”
Luego, al evaluar la función de los ocho puntos muestrales, se tiene
X (sss) 0,
X (ass) X( sas) X (ssa) 1,
X (aas) X (asa) X (saa) 2,
X (aaa) 3
2. Es posible calcular las probabilidades de los eventos elementales Ei con i = 1, 2, 3…;
que son equiprobables, cuya probabilidad respectiva es 1/ 8. Al representar los eventos,
se tiene
E1
E5
sss , E2
ass , E3
sas , E4
ssa
aas , E6
asa , E7
saa , E8
aaa
De tal forma que
3.
P(Ei )
1
, con i
8
1,
, 8.
donde se verifica que
P(Ei ) 0, yque
P(Ei ) 1
i
Ahora se calculan las probabilidades de cada uno de los valores de la variable
X, pero antes se simboliza
4. P(X = x): “probabilidad de que a la variable aleatoria X se le asigne o tome el valor
x = 0, 1, 2, 3,…”.
148
Por otro lado, se observa que X = 0, ocurre cuando se presenta el evento E1, por
lo que se tiene
P(X
1
8
0) P(E1 )
Asimismo, X = 1 ocurre cuando se presenta E2 o E3 o E4, es decir, la unión
de los tres eventos; éstos, por ser elementales y no contener al mismo elemento, son
mutuamente excluyentes, por tanto
5. P(X 1) P(E2
E3
1
8
E4 ) P(E2 ) P(E3 ) P(E4 )
1
8
1
8
3
8
Con base en el análisis anterior, para X = 2 y X = 3, se tiene
P(X
2) P(E5 ) P(E6 ) P(E7 )
P(X
3) P(E8 )
1
8
1
8
1
8
3
8
1
8
Como se puede notar, los elementos de la variable X no son equiprobables.
Generalización de asignación de probabilidades a los valores de una variable
Para construir un evento de estudio A y completar la metodología de puntos muestrales,
es necesaria la siguiente definición.
Definición 5.2
S( A
Dado S el espacio muestral del experimento, a cada evento A
un número P(A) (probabilidad de A), de tal manera que P( A ) P(X x), donde
con X variable aleatoria; en P(A) se cumplen los axiomas de Kolmogorov.
Ejemplo 2
S) se le asigna
x = 0, 1, 2, 3, . . .,
Se lanza una moneda tres veces. Se calcula la probabilidad de obtener caras sol en dos de
los tres lanzamientos.
Se utiliza el método de puntos muestrales.
1. Observación de los resultados de los lanzamientos de la moneda
S
sss, ass, sas, ssa, aas, asa, saa, aaa
2. Los eventos simples o elementales asociados son los mismos que en el ejemplo 1
E1
E5
sss , E2
ass , E3
sas , E4
ssa
aas , E6
asa , E7
saa , E8
aaa
P(Ei )
1
, con i
8
3. Se tiene
1,
,8
149
4. El evento de estudio es
A: “en dos de los lanzamientos el resultado sea cara sol”
Una revisión de los puntos muestrales indica que para este evento
A = {E2, E3, E4}
5. Por tanto,
P(A) = P(E2 ) + P(E3 ) + P(E4 ) = 3/ 8
Antes de continuar, vale la pena detenerse a analizar el avance matemático que
se ha logrado en la construcción de una teoría de probabilidades, ya que
sino que, al introducir el concepto de función, de manera implícita se están heredando todas las
probabilidades.
Dichas propiedades son las operaciones de suma, resta, multiplicación, división,
derivación, integración, etcétera.
En las siguientes secciones se analizarán variables aleatorias discretas y en la
unidad 6 se presentan algunosmodelosespecialesde ellas. Con respecto a lasvariables
aleatorias continuas, su análisis comienza en la unidad 7. Por lo pronto, el estudio
continúa con la separación de las variables aleatorias (al igual que las funciones) en
discretas y continuas.
5.2 Variables aleatorias discretas
La introducción de las variables aleatorias al estudio de la probabilidad es de gran
importancia por relacionar ésta con las funciones. Por tanto, de aquí en adelante se
considerarán más conceptos relacionados con la teoría de funciones. La sección comienza
con la definición de variable aleatoria discreta.
Definición 5.3
Dado un experimento aleatorio con X como variable aleatoria con rango
aleatoria discreta ( VAD), cuando el conjunto R
x
Rx, se llama a X variable
Nota
Las variablesaleatoriasdiscretas tienen cabida cuando la variable del experimento es tal que
se requiere de un conteo para determinar sus elementos. Como se verá en los siguientes
ejemplos.
Ejemplo 3
1. Se analiza una muestra de diez artículos donde existen tres defectuosos. La variable
aleatoria se define como X: “la cantidad de extraccionessin reemplazo para encontrar
los tres artículos defectuosos de la muestra”.
Rx = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (conjunto finito)
150
2. Se lanza una moneda; la variable aleatoria se define como X: “la cantidad de lanzamientos hasta obtener una cara águila”. Esta variable es discreta y su rango es
Rx = {1, 2, 3, 4,...} (conjunto infinito numerable)
3. Se lanza un dado dos veces. La variable aleatoria se define como X: “la resta del
primer resultado menos el segundo”.
Rx = {–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} (conjunto finito)
4. El problema de las correspondencias: se tiene n parejas (2n personas, n > 1); se escriben
sus nombres en pedazos de papel y se introducen en una urna, posteriormente se
extraen al azar para formar parejas. La variable aleatoria se define como X: “número de
parejas que coincidan con su pareja”. Esta variable puede tomar los valores
Rx = {0, 1, 2,..., n – 2, n} (conjunto finito)
5.2.1 Distribución de probabilidad
En la sección anterior se hizo mención a los axiomas de Kolmogorov relacionados con las
variables aleatorias; ahora bien, con base en las probabilidades de las variables aleatorias
discretas, es posible definir una función de probabilidad.
Definición 5.4
Dado un experimento con su variable aleatoria discreta
X y con el rango igual a RX = {x1, x2,..., xn}
función de probabilidad de la
variable aleatoria discreta
X , como
p( xi )
P(X
xi ), si xi
RX
si xi
RX
0,
Por medio de diagramas de Venn se puede ilustrar la función de probabilidad (ver
figura 5.2).
X:S
Rx
p
e
x
[
p : Rx
S
]
[ 0,1]
Rx
A partir de la función de probabilidad se introduce una definición más, la de
distribución de probabilidad.
151
Definición 5.5
Dado un experimento con variable aleatoria discreta X , rango RX = {x1, x2,..., xn}
numerable), y función de probabilidad p(x), se llama distribución de probabilidad el conjunto de
R que cumple
parejas (x , p(x )), para toda x
i
p(xi)
a)
i
i
X
0
p( xi ) 1
b)
i 1
Otro concepto probabilístico de importancia es la función dedistribución acumulada.
Definición 5.6
Dado un experimento con variable aleatoria discreta X , rango RX = {x1, x2,..., xn}
numerable), y función de probabilidad p(x) se llama función de distribución acumulada (fda) de
la variable aleatoria discreta X
discontinua en cada punto x
R , tal que
i
X
F(x)
p( xi ), para toda
y
xi
RX
y xi
x
i
A partir de la definición de F(x), se deduce que
•
•
F(x) es una función no decreciente, es decir, para todos los reales x, y, si x y,
entonces F(x) F(y)
la gráfica de F(x) es una función escalonada, en donde cada salto representa la
probabilidad del punto de discontinuidad a la derecha (ver ejemplo siguiente)
De lím F(x) 0 y lím F(x) 1, se deducen de las propiedades a) y b) de las
x
x
funciones de probabilidad.
Se analiza el ejemplo relativo al lanzamiento de tres monedas. Donde X: “la
cantidad de caras águila en el lanzamiento de tres monedas”.
Es claro que RX = {0, 1, 2, 3}.
Por otro lado, se calcularon las probabilidades para los elementos de la variable:
p(0) P(X
0)
p(1) P(X 1)
p(2) P(X
2)
p(3) P(X
3)
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
3
8
3
8
Por tanto, su función de probabilidad estará dada por la expresión
p( x)
1
, para x 0, 3
8
3
, para x 1, 2
8
0, para otro valor
152
Mientras que su función de distribución acumulada, de acuerdo con la definición
5.6, será
0, si x 0
F( x)
1
, si 0
8
4
, si 1
8
7
, si 2
8
1, si 3
x 1
x 2
x 3
x
Se puede comprobar que se cumplen las condiciones anteriores, con respecto a
la función de probabilidad y la función de distribución acumulada.
Las gráficas de la función de probabilidad y la acumulada son:
F(x)
p(x)
1
1
0.6
0.6
0.2
0.2
0
1
2
3
X
0
1
a)
Nota
2
3
X
b)
En la figura 5.3 los segmentos verticales de la función de probabilidad son simbólicos,
puesto que en caso contrario no se trataría de una función. El valor de la función está
representado por el círculo negro, y en los demás puntos vale cero.
Los saltos de discontinuidad en la función de distribución acumulada muestran
los valores de la probabilidad, en dichos puntos, de la variable aleatoria discreta.
Ejercicio 1
1. Dada la variable aleatoria X con función de probabilidad
p( x)
1
0, 1, 2
, para x
3
0, para cualquier otro caso
o
calcula la función de distribución acumulada para X.
2. La variable aleatoria se define como X: “el número de clientes que en un día se
quejan por el servicio de una tienda”.
a) calcula el valor de k para que la función
f (x)
k(x 1), con x 0, 1, 2, 3, 4
0,
con x 0, 1, 2, 3, 4
sea una función de probabilidad de X.
153
b) calcula P(1 X 4)
3. Dada X una variable aleatoria discreta con función de distribución de
probabilidad
0.4, si x
P(X
1
0.2, si x 0
x)
0.3, si x 2
0.1, si x 3
calcula la función dedistribución
de distribución acumulada de X.
4. Dada la función de distribución acumulada
0,
si x
1
0.2, si 1 x 0
F ( x)
0.6, si 0 x 1
0.7, si 1 x 2
1,
si x 2
calcula P(X 1.5).
5. Dada la función de distribución acumulada
0,
si x
1
0.2, si 1 x 0
F ( x)
0.6, si 0 x 1
0.7, si 1 x 2
1,
a) calcula P(X
b) calcula P(X
1.5)
1.5 X
si x 2
2.5)
5.2.2 Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Al estudiar un experimento por medio de variables aleatorias es de suma importancia
analizar el comportamiento de éstas. En las secciones anteriores, para las variables
aleatorias discretas se estudiaron algunos conceptos; en la presente y siguiente sección
se verán dos conceptos más, donde cada uno origina un parámetro para describir a una
variable aleatoria discreta.
Por ejemplo, en el experimento sobre el lanzamiento de dos dados, la variable
aleatoria discreta se define como
X: “la suma de puntos resultantes de los dados”
Se obtiene el rango de X
Rx = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
154
Calculando sus probabilidades, se tendrá su distribución de probabilidad:
X = xi
2
3
4
5
6
7
8
9
p(xi)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
10
3
36
11
12
2
36
1
36
Al analizar la tabla de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X,
observamos que las probabilidades de los elementos del rango de la variable representan
una especie de “peso” del valor de la variable (ver unidad 1, media ponderada).
Efectivamente, al calcular su media ponderada, se tiene
2
1
36
3
2
36
9
4
4
36
3
36
10
5
4
36
3
36
6
11
5
36
2
36
12
7
1
36
6
36
8
5
36
7
Definición 5.7
X , rango RX = {x1, x2,..., xn} (puede ser
p(x), se llama valor esperado de o esperanza
a la cantidad que denotada por E(X) o se calcula por
Dado un experimento con variable aleatoria discreta
matemática de
E(X )
xi p( xi )
i 1
Nota
El valor esperado de una variable aleatoria discreta X es un parámetro de dicha variable
que representa el valor promedio que se espera suceda al repetir el experimento, en
forma independiente, una gran cantidad de veces. De lo anterior, se concluye que E(X)
siempre es un valor intermedio de los RX = {x1, x2,..., xn}. En el ejemplo anterior de los
dados, se espera que dicho promedio sea igual (o se aproxime) a siete.
Cuando la variable aleatoria discreta X tiene un rango infinito numerable, el valor
esperado es una serie
E(X )
xi p(xi )
i 1
Si la serie converge absolutamente,
xi p( xi )
i 1
entonces E(X) se designa como valor promedio de X.
Cuando la variable aleatoria discreta X tiene un rango finito, el valor esperado es
n
E(X )
xi p(xi )
i 1
y se puede considerar un valor medio ponderado de los valores de RX, x1, x2,..., xn, con pesos
respectivos p(x1), p(x2),..., p(xn). Por otro lado, se debe tener bien claro que E(X) y promedio
155
ponderado de un conjunto de datos no son sinónimos, puesto que E(X) es un parámetro
asociado a una variable aleatoria discreta X, mientrasque el promedio ponderado esresultado
de una combinación aritmética entre ciertos datos.
Propiedades del valor esperado de una variable aleatoria discreta
1. Valor esperado de una constante. Dada X = b constante
E(b) = b
Si la variable puede tener sólo un valor, su promedio de ocurrencia tiene que
ser igual a dicho valor.
2. Si realizamos un cambio de variable lineal Y = aX + b, en donde a y b son constantes,
el valor esperado de la nueva variable estará dado por
Teorema 5.1
Dado un experimento con variable aleatoria discreta
numerable), y función Y = f(X) = aX
Se tiene que yi axi
Por otro lado,
X , rango RX = {x1, x2,..., xn}
+ b, con a y b constantes, entonces E(Y) = aE(X) + b.
b, y p(yi ) p(xi ), para toda i.
E(Y)
yp
i (yi )
i 1
(axi
b)p(xi )
i 1
descomponiendo en dos sumatorias
E(Y)
(axi )p(xi )
i 1
bp(xi )
i 1
puesto que a y b son constantes
E(Y) a
xi p(xk ) b
i 1
p(xi )
i 1
como
xi p(xi ) y
E(X )
i 1
E (Y )
p(xi ) 1
i 1
aE( X ) b
Ejercicio 2
1. La variable aleatoria X tiene la función de probabilidad
p( x)
calcula la media de X.
1
0, 1, 2
, para x
3
0, para cualquier otro caso
o
156
2. Dada X una variable aleatoria discreta, con función de distribución de probabilidad
0.4, si x
P(X
1
0.2, si x 0
x)
0.3, si x 2
0.1, si x 3
calcula el valor esperado de la variable X.
3. Dada X una variable aleatoria discreta, con distribución de probabilidad P(X = –2) =
0.3, P(X = 0) = 0.4, P(X = 1) = 0.3; calcula su valor esperado.
4. Dada la función de distribución acumulada
0,
si x
0.2, si
F ( x)
1
1 x 0
0.6, si 0
x 1
0.7, si 1 x 2
1,
si x 2
calcula la media de la variable aleatoria X.
5. Dada X una variable aleatoria discreta, con distribución de probabilidad P(X = –2) =
0.4, P(X = 0) = 0.2 y P(X = 1) = k; calcula
a) la constante k
b) E(X)
c) el valor esperado de la variable Y = 12.25X + 10
5.2.3 Varianza de una variable aleatoria discreta
Un sólo parámetro no es suficiente para describir el comportamiento de una variable
aleatoria discreta, por lo que es necesario otro parámetro que indique, en cierta medida,
la variabilidad de losvalores de la variable en relación con el valor esperado.
Definición 5.8
X , rango RX = {x1, x2,..., xn} (puede ser
p(x), se llama varianza de la cantidad simbolizada
Dado un experimento con variable aleatoria discreta
por V(X) o
2
X , y se calcula por
V (X )
(xi
E(X ))2 p( xi )
i 1
Debido a que las unidades en que se mide la variable aleatoria y su varianza no
coinciden –la varianza tiene las unidades cuadradas de la variable–, se suele introducir
otra definición con base en la raíz cuadrada positiva de la varianza. Por tanto,
Definición 5.9
Se llama desviación estándar de una variable aleatoria discreta
la varianza
X
V( X)
X a la raíz cuadrada positiva de
157
La varianza de la variable aleatoria discreta X es un parámetro positivo de dicha
variable, el cual representa el valor esperado de los cuadrados de las desviaciones que tiene
cada uno de los valores xk RX , con respecto al valor esperado de la variable aleatoria
discreta X.
Propiedades de la varianza de una variable aleatoria discreta
1. De la definición de valor esperado de una variable aleatoria, se deduce
V (X )
(xi
E(X ))2 p(xi ) E[X E(X )]2
i 1
2
2
2. La fórmulaV (X ) E(X )
es una propiedad, ciertamente un poco más cómoda,
referente al cálculo de la varianza de una variable aleatoria discreta X con distribución
de probabilidad conocida. pero que no se emplea en la definición debido a que en
su expresión no refleja el objetivo de la varianza, a diferencia de la expresión que se
empleó al definirla.
Teorema 5.2
Dado un experimento con variable aleatoria discreta X , rango RX = {x1, x2, x3...}
numerable), y función de probabilidad p(x), entonces
E ( X 2 ) [ E ( X )] 2
V( X)
V (X )
( xi
E( X 2 )
2
E(X ))2 p(xi )
i 1
desarrollando el binomio al cuadrado
( xi2
V(X )
2xi E ( X )
E 2 ( X )) p( xi )
i 1
descomponiendo en sumatorias
x2i p(xi )
V (X )
i 1
E2(X )p( xi )
2xiE(X )p(xi )
i 1
i
E(X) es constante
V (X ) E(X 2 ) 2E(X )
xi p( xi ) E2 (X )
i 1
p(xi )
i
por definición de E(X)
V (X ) E(X 2 ) 2E(X )E(X ) E2 (X )
V (X ) E(X 2 ) E2 (X ) E(X 2 )
Nota
2
El cuadrado del valor esperado X se simboliza por E2 ( X ) [ E( X )] 2
2
.
158
3. La varianza de una constante vale cero. Si X = c, entonces V(X) = 0, lo que refleja que
no existe variabilidad entre los elementos de la variable aleatoria discreta.
4. Si se realiza un cambio lineal de variable Y = aX + b, en donde a y b son constantes, la
varianza de la nueva variable estará dada por
Teorema 5.3
Dado un experimento con una variable aleatoria discreta X , con rango R
= {x1, x2, x3...} (puede ser
X
Y = aX + b una función con a y b constantes, entonces
V(Y) = a2 V(X)
V (Y) E(Y2 ) E2(Y)
del teorema 5.2, sustituyendo Y = aX + b
V (Y )
E(( aX
b) 2 ) [ E (aX
b)] 2
desarrollando el primer binomio y por el teorema 5.1
V (Y) E(a2X 2 2abX b2 ) [aE(X ) b]2
puesto que a y b son constantes
V (Y)
a2E(X 2 ) 2abE(X ) b2
a2E2(X ) 2abE(X ) b2
por la definición de E(X)
V (Y)
a2E(X 2 ) a2E2 (X )
factorizando a2
Ejemplo 5
V (Y )
a2 E( X 2 )
V (Y )
a2V ( X )
E2( X )
1. Dada (xi, p(xi )) la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X,
como se muestra
se calcula
a) el valor esperado
b) la varianza de X
159
a)
E(X )
xi p(xi ) ( 3)0.4 ( 1)0.3 (1)0.2 (2)0.1
1.1
i 1
b)
V (X )
(xi
E(X ))2 p(xi )
i 1
( 3 ( 1.1))2 0.4 ( 1 ( 1.1))2 0.3 (1 ( 1.1))2 0.2 (2 ( 1.1))2 0.1
1.444 0.003 0.882
0.961
3.29
La desviación estándar es igual a 3.29 = 1.814.
Empleando el teorema 5.2, resultaría más sencillo el cálculo.
V(X )
E( X 2 ) [ E( X ) ] 2
( 3)2 0.4 ( 1)2 0.3 (1) 2 0.2 (2) 2 0.1 ( 1.1) 2
3.6 0.3 0.2 0.4 1.21 4.5 1.21 3.29
2. Dada (yi, p(yi)) la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta
Y, definida por Y = 25X – 10, cuyos valores se encuentran en la tabla siguiente, se
calcula el valor esperado y la varianza de Y.
De la tabla de distribución y las fórmulas para el valor esperado y la
varianza, es posible calcularlas directamente. Pero, de la relación Y = 25X – 10 y el
teorema 5.1, se simplifican los cálculos, ya que E(Y) = E(25X – 10) = 25E(X) – 10.
Por tanto, es suficiente calcular el valor esperado y la varianza de la variable
aleatoria discreta X.
E(X )
xi p(xi ) (1)0.15 (2)0.20 (4)0.35 (6)0.25 (7)0.05 3..80
i 1
Por tanto, E(Y) 25E(X ) 10 (25)3.8 10 85.
De forma similar para la varianza, se emplea el teorema 5.3, V (Y) a2V (X ).
V(X )
E( X 2 ) [ E( X ) ] 2
(1) 2 0.15 (2) 2 0.2 (4) 2 0.35 (6)2 0.25 (7) 2 0.05 (3.8) 2
0.15 0.8 5.6 9 2.45 14.44 18 14.44 3.56
Finalmente, la varianza de Y es V (Y) 252 V (X ) (625)3.56 2 225.
Mientras que su desviación estándar es
Y
V (Y)
25 V (X )
47.17.
160
Ejercicio 3
1. Dada X una variable aleatoria discreta con función de distribución de probabilidad
0.4, si x
1
0.2, si x 0
P(X
x)
0.3, si x 2
0.1, si x 3
calcula la varianza de X.
2. Dada X una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad
P(X
2) 0.3, P(X 0) 0.4, P(X 1) 0.3, calcula V(X).
3. Dada la función de distribución acumulada
0,
si x
0.2, si
F ( x)
1
1 x 0
0.6, si 0
x 1
0.7, si 1 x 2
1,
si x 2
calcula la varianza de la variable aleatoria X.
4. Dada X una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad
PX
2 0.4,P X 0 0.2 yP(X 1) k
a) encuentra la constante k
b) si Y = 45X – 25, calcula la varianza de Y
Ejemplos
1. Considérese un sistema de agua que f luye a través de unas válvulas de I hacia D
(ver diagrama siguiente). Las válvulas v1, v2, y v3 funcionan independientemente,
y cada una se abre mediante una señal con probabilidad de p = 0.8. Calcula la
distribución de probabilidad para X: “el número de válvulas abiertas de I hacia D
después de haber enviado la señal”.
v1
I
L1
D
L2
v2
v3
161
En este caso, la variable aleatoria discreta toma los valores X = {0, 1, 2, 3}.
Para calcular las probabilidades correspondientes se toman en cuenta que lasválvulas
funcionan independientemente, recordando que si A y B son independientestambién
lo son las parejas, Ac y Bc, A y Bc, Ac y B.
P(X
i ), la probabilidad de que i válvulas estén abiertas, i = 0, 1, 2, 3.
P(vi ) p 0.8, la probabilidad de que la válvula i esté abierta, i = 1, 2, 3.
P(vci ) 1 p 0.2, la probabilidad de que la válvula i esté cerrada, i = 1, 2, 3.
0) P(v1c
P(X
P( X
1)
P(v1
v2c
v2c
v3c ) P(v1c)P(v2c )P(v3c ) (1 p)3
v3c )
P(v1c
P(v1 ) P(v2c ) P(v3c )
p(1 p)2
P( X
2)
P(v1
v2
P(X
3) P(v1
p(1 p)2
P(v1c
P(v1 ) P(v2 ) P(v3c )
p2 (1 p)
v3c ) P(v1c
P(v1c ) P(v2 ) P(v3c )
p(1 p) 2
v3c )
v2
v2
v3 )
p2 (1 p)
P(v1
v2c
3(0.8)(0.2)2
0.096
v3 )
P(v1 ) P(v2c ) P(v3 )
3 p2 (1 p)
v3 ) P(v1 )P(v2 )P(v3 ) (p)3
v2
v3 )
P(v1c ) P(v2c ) P(v3 )
3 p(1 p) 2
P(v1c ) P(v2 ) P(v3 )
p2 (1 p)
v2c
0.23 0.008
3(0.8)2 (0.2)
0.83
0.384
0.512
3
P(X
Cumpliéndose así que
i ) 1.
i 0
2. Con base en las condiciones del problema anterior, se encuentra la distribución
de probabilidad para X: “el número de vías abiertas de I hacia D después de haber
enviado la señal”.
En este caso la variable aleatoria discreta, toma los valores, X = {0, 1, 2}. Para
calcular las probabilidades correspondientes se pueden emplear los pasos anteriores,
considerando las líneas paralelas L1 y L2.
La probabilidad de que la línea 1 esté abierta: P(L1) = P(v1) = 0.8.
La probabilidad de que la línea 1 esté cerrada: .. P(Lc1 ) = 1 – P(L1) = 1 – 0.8 = 0.2
Laprobabilidad dequela línea 2 esté abierta: P(L2) = P(v2 v3) = P(v2)P(v3) = p2 = 0.64.
La probabilidad de la línea 2 esté cerrada: P(Lc2 ) 1 P(L2 ) 1 0.82 0.36.
Dada P(X = i) la probabilidad de que i líneas estén abiertas, i = 0, 1, 2:
P(X
P(X 1) P(L1
0) P(Lc1
Lc2 ) P(Lc1 )P(Lc2 ) (0.2)(0.36) 0.072
L2 ) P(L1
L 2 ) P(L1 ) P(L2 ) P(L1
L2 ) P(L1
0.8 0.64 2(0.8)(0.64) 0.416
P(X
2) P(L1
L2 ) P(L1 )P(L2 ) (0.8)(0.64) 0.512
L2 )
162
2
Cumpliéndose así que
i ) 1.
P(X
i 0
Se resuelve ahora el problema de las correspondencias entre objetos.
3. En un examen se le pide a niños que hagan corresponder cada uno de los tres
dibujos de animales con la palabra que identifica a cada animal. Si un niño relaciona
aleatoriamente las tres palabras con los tres dibujos, se calcula la distribución de
probabilidad para X: “el número de correspondencias correctas”.
Dada P(X = i) la probabilidad de que existan i correspondencias (i = 0, 1, 3);
nótese que no existe el valor 2, puesto que si se tienen dos correspondencias, automáticamente se tendrá la tercera.
Veamos los seis (3! = 6) casos de correspondencia que pueden suceder, considerando que los animales tienen las letras A, B y C:
A
B
C
Cantidad
de correspondencias
correctas
A
B
C
3
A
C
B
1
B
A
C
1
B
C
A
0
C
A
B
0
C
B
A
1
De la tabla deducimos las probabilidades de la distribución de X
P(X = 0) = 2/ 6 = 1/ 3,
P(X = 1) = 3/ 6 = 1/ 2,
P(X = 3) = 1/ 6
Ejercicios propuestos
1. Dada X: “el número de clientes que en un día se quejan por el servicio de una tienda”.
a) calcula el valor de k para que la función
f (x)
k( x 1), con x 0, 1, 2, 3
0,
con x 0, 1, 2, 3
sea una función de probabilidad de X.
b) calcula P(1 X 2)
2. Encuentra el valor c, de manera que la siguiente función sea una distribución de
probabilidad de la variable aleatoria discreta X, RX = {1, 2, 3}
f (x) c(x2
4) para x 1, 2, 3
3. Una urna contiene ocho esferas negras y doce blancas. Se sacan tres esferas una tras
otra con reemplazo. Si un jugador gana $10 cuando las tres esferas son negras y paga
$3 en otro caso. Calcula cuánto se espera que gane o pierda después de jugar varias
veces un día determinado.
163
4. La producción diaria de una fábrica es de 20 artículos, de los cuales siempre
resultan dos defectuosos. Se toma una muestra de cuatro artículos. Sea X la
variable aleatoria que asigna el número de artículos defectuosos en la muestra,
calcula
a) la distribución de probabilidad para X
b) cuántos artículos de la muestra, se espera sean defectuosos
5. El gerente de un almacén ha construido la siguiente distribución de probabilidad
para la demanda diaria (número de veces utilizada) de una herramienta
x
0
1
2
p(X = x)
0.1
0.5
0.4
El costo por utilizar cada vez la herramienta es $90. Calcula la media y la
varianza del costo diario por el uso de tal herramienta.
6. La producción diaria de una fábrica es de doce artículos, de los cuales hay dos
defectuosos. Se toma una muestra de tres artículos. Dada X la variable aleatoria
que asigna el número de artículos defectuosos en la muestra, calcula la función de
probabilidad de X.
7. Se sabe que de un grupo de cinco componentes, dos son defectuosos. Un inspector
prueba los componentes uno por uno hasta encontrar los dos defectuosos. Dada Y:
“el número de pruebas necesarias hasta encontrar el segundo defectuoso”, calculala
distribución de probabilidad para Y.
8. Cinco esferas numeradas del uno al cinco se encuentran en una urna. Se toman dos
al azar y se anotan sus números. Calcula la distribución de probabilidad para
a) el mayor de los dos números seleccionados
b) la suma de los dos números seleccionados
9. Un sistema de agua fluye a través de las válvulas A y B (ver diagrama adjunto). Las
válvulas 1-4 funcionan independientemente, y cada una se abre mediante una señal
con 0.8 de probabilidad. Calcula
a) la distribución de probabilidad para el número de vías abiertas
b) la varianza de la distribución del inciso anterior
c) la distribución de probabilidad para el número de válvulas abiertas
1
A
B
2
3
4
164
Autoevaluación
1. Con el propósito de verificar la exactitud de sus estados financieros, las compañías
tienen auditores permanentes. Supóngase que los empleados de una compañía
efectúan asientos erróneos 5% de las veces. Si un auditor verifica tres asientos al
azar, calcula la probabilidad de que detecte más de un error.
a)
b)
c)
d)
0.857
0.95
0.00725
0.25
2. Un cliente potencial para una póliza de seguro por 20 mil dólares tiene una casa en
un área que, de acuerdo con las estadísticas, puede sufrir pérdida total en un año
con 0.001 de probabilidad, y pérdida de 50%, con 0.01 de probabilidad. Calcula la
esperanza que tendría que cobrar la compañía de seguros por una póliza anual, para
salir a mano con todas las pólizas de este tipo, ignorando todas las otras pérdidas
parciales.
a)
b)
c)
d)
120
180
160
240
3. Dada X una variable aleatoria que representa el número de clientes que en un día se
quejan por el servicio de una tienda, cuya función de probabilidad es
f (x)
0.1( x 1), con x 0, 1, 2, 3
0,
con x 0, 1, 2, 3
calcula cuántos clientes se espera acudan a quejarse por el servicio en un día
determinado.
a)
b)
c)
d)
3
1.5
1
2
4. La producción diaria de una fábrica es de 20 artículos domésticos, de los cuales
siempre resultan dos defectuosos. Se toma una muestra de cuatro artículos. Dada
X la variable aleatoria que asigna el número de aparatos defectuosos en la muestra,
calcula cuántos aparatos de la muestra se espera sean defectuosos. Calcula el valor
teórico.
a)
b)
c)
d)
1
0
0.4
0.5
165
5. Un sistema de agua fluye a través de las válvulas A y B (ver el diagrama adjunto).
Las válvulas del uno al cuatro, funcionan independientemente y cada una se
abre mediante una señal con 0.8 de probabilidad. Calcula la probabilidad de que
exactamente una vía esté abierta.
a)
b)
c)
d)
0.4928
0.25
0.75
0.4816
6. En un examen se le pide a niños que hagan corresponder cada uno de los tres
dibujos de animales con la palabra que identifica a cada animal. Si un niño asigna
aleatoriamente las tres palabras a los tres dibujos, calcula la probabilidad de que
exista una sola correspondencia correcta.
a)
b)
c)
d)
0.67
0.33
0.5
0.4
7. El gerente de un almacén construyó la siguiente distribución de probabilidad de la
demanda diaria (número de veces utilizada) de una herramienta
x
0
p(X = x)
0.05
1
2
3
0.40 0.35 0.20
El costo por utilizar cada vez la herramienta es $30. Calcula el costo medio diario
por el uso de la herramienta.
a)
b)
c)
d)
51
35
17
49
8. La producción diaria de una fábrica es de 40 aparatos domésticos, de los cuales
hay cinco defectuosos. Si se reparten aleatoriamente diez aparatos en un centro
comercial, calcula la probabilidad de que ningún aparato defectuoso quede en el
centro comercial.
a)
b)
c)
d)
0.33
0.25
0.2165
0.965
166
9. Al sumar todaslasprobabilidades de la distribución de probabilidad de una variable
aleatoria discreta X, el resultado es igual a
a)
b)
c)
d)
depende de los valores de la variable X
uno
menor a uno
cualquier valor entre cero y uno
10. Indica cuál de las siguientes afirmaciones define una variable aleatoria
a)
b)
c)
d)
una representación de los eventos
una representación del espacio muestral
una asignación de probabilidades para los elementos muestrales
una función que asocia un número real a cada evento del espacio muestral
Respuestas de los ejercicios
Ejercicio 1
0 si x 0
1. F(x)
1
si 0
3
x 1
2
si 1 x 2
3
1 si x 2
2.
a) k =
1
15
b) 0.6
0 si x
0.4 si
3.
F(x)
0.6 si 0
1
1 x 0
x 2
0.9 si 2 x 3
1 si x 3
4. 0.7
5.
a) 0.3
b) 0.3
Ejercicio 2
1. 1
2. 0.5
167
3. –0.3
4. 0.5
5.
a) 0.4
b) –0.4
c) 5.1
Ejercicio 3
1. 2.25
2. 1.41
3. 1.25
4.
a) 0.4
b) 3 726
Respuestas de los ejercicios propuestos
1.
a) 0.1
b) 0.5
2.
1
26
3. $2.168 de pérdida
4.
a)
1
3
b) 0.4
5. valor esperado $117; varianza $3 321
6
si x 0
11
6. p(x)
9
si x 1
22
1
si x 2
22
0
si x 0, 1, 2
168
7. P(Y = 2) = 0.1, P(Y = 3) = 0.2, P(Y = 4) = 0.3, P(Y = 5) = 0.4
8.
a) P(X = 2) = 0.1, P(X = 3) = 0.2, P(X = 4) = 0.3, P(X = 5) = 0.4
b) P(Y = k) = 0.1, con k = 3, 4, 8, 9 y P(Y = k) = 0.2, con k = 5, 6, 7
9.
a) P(X = 0) = 0.0976, P(X = 1) = 0.4928, P(X = 2) = 0.4096
b) 0.4099
c) P(X k) Ck4 (0.2)k (0.8)4 k , k 0, 1, 2, 3, 4
Respuestas de la autoevaluación
1. c)
2. a)
3. d)
4. c)
5. a)
6. c)
7. a)
8. c)
9. b)
10. d)